Моментная последовательность

Для классической проблемы моментов построения аналогичные по заданной моментной последовательности 8 = (8 ) о (5 IR ) строим подобно (0.1) квазиядерное произведение [c.384]

П. Рассмотрим случай определенной моментной последовательности 5. Покажем, что в этом случае любые два оператора Л и Л (е, / Е) самосопряжены и коммутируют. [c.420]

В дальнейшем мы будем строить разложение по обобщенным совместным собственным векторам некоторого счетного семейства коммутирующих самосопряженных операторов. В случае определенной моментной последовательности х этим семейством будет служить А = (Л ) 1, где (еа)а=1 — некоторая последовательность векторов [c.422]

X. Докажем единственность меры а в представлении (2.6) в случае определенной проблемы моментов. Пусть ф Ф е фиксировано, числовая моментная последовательность 5ф, = (х , ф (8). .. (8) ф) л [c.428]

Замечание 3. Приведем еще одно удобное условие определенности. Будем предполагать, что для данной моментной последовательности 5 = (5 )/ о при некотором т (5) Т выполняется оценка [c.431]

Рассмотрим моментную последовательность s= (s ) Q, Srj (Ф "), где сопряжение — обычный переход к комплексному сопряжению. Переписывая каждое в ба-зисе (I I = ")> запишем ее в форме s = ( 6 (или s = [c.432]

Оценка (2.35) позволяет выписать условие определенности (2.5) для любой рассматриваемой сейчас моментной последовательности или условие (2.30). Полученное представление имеет вид (2.6), где Фре заменено на (К ) или, точнее, на некоторое негативное (IR , ( + лг р) dx). [c.434]

Пример 2.6. Остановимся на случае моментных последовательностей s = ( п) о составленных из элементов негативных гильбертовых пространств. Пусть Я гз Яо =з ZD Я — цепочка с инволюцией. Ее всегда можно рассматривать как часть цепочки с инволюцией [c.434]

В качестве можно брать, например, негативные соболевские пространства. Но можно брать н позитивные соболевские — об этом более подробно будет сказано в 5, п. 4, Сейчас мы лишь выпишем, во что переходит представление (2.38). Так,, если моментная последовательность 5 = (5п) о состоит из достаточно гладких функций (хх.....х ) точек , .,х К , то при некотором условии типа определенности она допускает представление [c.435]

Наметим два других доказательства теоремы 2.1 (правда, не в полном ее объеме), отражающих иные подходы к получению интегральных представлений моментной последовательности. [c.437]

Замечание 1.По существу мы сейчас доказали приведенный вариант теоремы 2.1 при более общем понятии определенности 5 = (5 ),7=о для каждого конечномерного с Ф конечномерная моментная последовательность зр = 8 ,р) о должна быть определенной. Изложенное в п. 1 доказательство в этом случае также применимо, так как сейчас по-прежнему справедлив шаг И доказательства теоремы 2.15 (в этом можно убедиться с помощью теоремы 1,15). Приведем третий способ доказательства теоремы 2.1 —с использованием результатов гл. 4, 1, п. 4 о представлениях линейного [c.438]

Аналогичные построения можно провести и в случае обобщенной моментной последовательности, рассмотренной в п. 4. Однако теперь семейство А = (Ле)ебм е не будет обладать сильным циклическим вектором, спектр не будет простым, а формулы (2.68) и (2.69) существенно усложнятся подробности см. в работах Березанского [7, 9, 10]. [c.448]

Пример 2.10. Рассмотрим опять определенную моментную последовательность 5= ( л) о примера 2.4 с й = 2, 3,. .. н предположим, что она инвариантна лишь относительно обращения времени. Точнее, выберем т] = (О, Ло) где Ло — некоторое фиксированное вращение в пространстве X точек (ж, ), переводящее точку (О, 1) в (О, —1) и тем самым Э (х, О (- . О = (- . —О Предположим, что 5 инвариантна в смысле примера 2.9, но только относительно одного единственного преобразования т] группы Е . Так как 5 как моментная последователь, ность примера 2.4 вещественна относительно инволюции, порожденной комплексной чертой, то соединении с инвариантностью относительно т] она будет вещественна относительно инволюции 0 примера 2.7. Предположим дополнительно, что 5 — ОШ-п. о. Это свойство благодаря (2.69) отражается на характере ее спектральной меры 0 следующим образом она инвариантна относительно преобразования в ОК ) и [c.449]

Коснемся здесь обобщения на моментные последовательности рассмотренного в п. 1 вида двух задач классической степенной проблемы моментов усеченной проблемы моментов и проблемы моментов Стилтьеса. [c.450]

Усеченная проблема моментов заключается в выяснении возможности доказательства для 5 формулы (2.6) с л = О, 2т, т. е. продолжения 5 до моментной последовательности (5 ) о, и в описании всех спектральных мер ст, участвующих в этом представлении. [c.450]

Остановимся вкратце на обобщении проблемы моментов Стилтьеса. В классической ситуации вопрос сводится к выяснению по заданной моментной последовательности 5 = (5 )Г=о (5 6 Н ) условия, при котором носитель ее спектральной меры а сосредоточен на полуоси [О, оо), т. е. когда соответствующий оператор сдвига Л будет неотрицательным. Это условие сводится к дополнительному условию п. о. для любой финитной последовательности ф = (фу) о (ф/6 (С ) [c.451]

Предполагая для определенной моментной последовательности выполнение условий (2.77) с тем или иным набором векторов Ес Фке, [c.451]

Доказательство теоремы ведется по схеме, которая уже применялась в 2 при получении представлений моментных последовательностей. Прежде всего построим соответствующие пространства и операторы. [c.455]

Будем рассматривать определенные моментные последовательности, [c.480]

По условию класс С S2n — квазианалитический, поэтому S = (s ) =o — определенная моментная последовательность и из [c.481]

Теорема 5.3. Каждая моментная последовательность функций, удовлетворяющая условию определенности, допускает представление в виде скалярного континуального интеграла V /г g [c.505]

Легко видеть, что и обратно каждая моментная последовательность, удовлетворяющая условию определенности, может быть записана в виде (1). Таким образом, представление (1) эквивалентно представлению (2.33). [c.651]

О двумерных степенных моментных последовательностях//Укр. мат. журн.— [c.668]

Наша цель — получить для общей моментной последовательности 5 представление типа (2.3), налагая при этом некоторые дополнительные ограничения на рост при п оо, обобщающие соответствующие условия для конечномерной проблемы моментов. Предварительно полезно заметить, что условие (2.1) влечет вещественность т. е. включение ((Фке) ") = ((Ф ")ке) (п 2+)- Для доказат ьст-ва зафиксируем ф = (ф/)у1о Со, обозначим a k = 5,+ (ф ф,) и затем в условии (2.1) заменим ф на Х фь где Х1 ([)1. В результате [c.419]

Теорема 2.1. Яусть 5 = (5 ) =о — моментная последовательность, удовлетворяющая условиям определенности или квазиопределенности. Утверждается, что существует конечная мера 3 (Фке) Э а н - [c.419]

III. Рассмотрим случай квазиопределенной моментной последовательности 5. Пусть (ва)а=2 — последовательность из Е и вектор е, = = е, такие, что л. о. ((еа)а=1) плотна в Ф. Построим семейство эрмитовых операторов (Л ) ,. Из II следует, что подсемейство (Л а=2 состоит из самосопряженных коммутирующих операторов, вещественных относительно инволюции °. Далее справедлива следующая лемма, доказательство которой удобно привести позже. [c.422]

Замечание 1. Из приведенного доказательства (шаг IX) следует, что мера а в представлении (2.6) в действительности сосредоточена не на Фре, а на некотором негативном пространстве Я т(5),ке, где индекс т (х) Т зависит от моментной последовательности 5 (точнее, мера а задана на Зэ (Я т(5),Ре))- Поясним, что это замечание не находится в противоречии с тем, что всякая последовательность 5 вида (2.6) моментная для его реализации необходимо, чтобы х дополнительно была определенной или квазиопределенной. Вложение Яо.Ре <= Я т 5),Ре = Я т (2),Ре КВаЗИЯДерНО. [c.431]

Сейчас, разумеется, можно было бы сформулировать результат и в случае ква-знопределенной моментной последовательности. [c.435]

Пример 2.7 (моментность типа Остервальдера — Шрадера). Представление моментной последовательности примера 2,4 (если все требуемые условия выполнены) имеет, как указывалось, вид [c.435]

Покажем, как можно доказать теорему 2.1 в определенном случае без замечания 1 к ней) предельным переходом при с1 ооу> из й-мерной проблемы можнтов. Будем считать без ограничения общности, что 0=1. Пусть Р — конечномерное педпространство Ф, инвариантное относительно инволюции —. Рассмотрим сужение функционала 5 на Р " с Ф 5п,р = Р п 2-ь)- Очевидно, последовательность 5р = (5 ,р) =,о будет моментной определенной, причем представление (2.6) для нее эквивалентно представлению (2.3) определенной конечномерной моментной последовательности. Таким образом, можно считать, что у нас имеется для формула вида (2.6), которая, как легко понять, переписывается следующим образом [c.437]

Рассмотрим результаты п. 1 с несколько другой точки зрения. Пусть 5 = (5 ) о (5 (Ф ") ) — определенная моментная последовательность. В пространстве построенном по квазискалярному произведению (2.7), действуют операторы семейства А = [c.446]

Однако, к сожалению, такое расширение без дополнительных условий можно произвести лишь в редких случаях 1) когда Ф = (С и мы рассматриваем классическую усеченную проблему моментов (сейчас имеется лишь один оператор Л1) 2) когда т = 1, т. е. наша моментная последовательность имеет вид 5 = (5 , 5 , причем она невырождена, т. е. если в (2.74) ф =7 О, то знак неравенства строгий. [c.451]

Доказательство. Интеграл (4.32) с точностью до множителя совпадает с интегралом (4.24), в котором т продолл<ена нулем на Я 2. Поэтому по лемме 4.3 он сходится указанным образом. Равенство (4.32) вытекает из второй части этой леммы. Моментность последовательности (4.32) следует из моментности последовательностей вида (4.30). [c.481]

Как было выяснено в п. 2 (в частности, в теореме 4.3), производные в О от п. о. функции на гильбертовом пространстве, если она дифференцируема, образуют моментную последовательность. Для квантовой теории поля существенную роль играет такая п. о. функция к, например, на пространстве (1 ) (с1 = 2, 3,. ..), которая обеспечивает для производных в О моментность Остервальдера — Шрадера (см. [c.491]

О результатах п. 4 по обобщенной степенной проблеме моментов уже упоминалось. Добавим лишь, что их интерпретация для функционалов типа Вайтмана содержится в работе Березанского [9] при этом под таким функционалом понимается последовательность обычных (а не обобщенных) функций нарастающего числа переменных, удовлетворяющая части аксиом Вайтмана (в основном, условию п. о.). Возможный учет групповой иивариаитиости пояснен в п. 5, правда, лишь в случае симметрических моментных последовательностей п. 1 (см. пример 2.9). Случай обобщенной степенной проблемы моментов рассматривается аналогично. Учет только групповой инвариантности для функционалов Вайтмана рассмотрен Самойленко Ю. С. [1] и Корсунским [2]. [c.650]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология