Инвариантно-групповые решения

Инвариантно-групповые решения. Для построения класса решений системы (1) берется любая подгруппа Н С G, находится ее базис инвариантов (Ji,. .., J,) и к системе (1) добавляются соотношения вида [c.80]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов, 1 азовая лина,мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, функционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Группа Галилея. В данном параграфе описывается групповое свойство инвариантности уравнений газовой динамики его применение к построению классов частных решений излагается в 12. Исходные уравнения газовой динамики здесь удобно взять в следующем виде [c.74]

Частично инвариантные решения. Теория группового анализа позволяет выделять и изучать в качестве упрощенных моделей не только классы инвариантных решений. Одно из возможных обобщений понятий инвариантного решения достигается за счет отказа от полной инвариантности и использования частичной инвариантности многообразия относительно группы преобразований основного пространства. Это приводит к понятию и алгоритму отыскания так называемых частично инвариантных решений. [c.116]

Термин автомодельность уже встречался в 13 для описания частных случаев кратных волн, обладающих конической автомодельностью. В более щирокой трактовке, применительно к физическому содержанию решаемых задач, автомодельными принято называть решения, которые получаются путем анализа размерностей всех участвующих величин. С точки зрения теоретико-группового подхода это равносильно использованию допускаемых уравнениями групп растяжений. Однако свойство некоторой группы преобразований быть группой растяжений зависит от выбора системы координат в пространстве основных переменных. На самом деле единственным инвариантным характеристическим свойством групп растяжений является то, что они абелевы (коммутативны). Поэтому рационально использовать термин автомодельный применительно к любым решениям, инвариантным относительно абелевых подгрупп основной группы. При этом представление рещения в той системе координат, в которой группа является группой растяжений, удобно называть автомодельным в узком смысле. [c.197]

С любым решением факгорсисгемы уравнения системы Е совместны и, тем самым, имеют решения. Такие решения называются инвариантно-групповыми решениями, произведенными группой Н или, коротко, Н-решения-ми. Ясно, что это будут не все решения системы (1), они образуют лишь определенный класс решений, характеризуемый тем, что в нем искомые функции связаны инвариантпы.чш соотношениями (16). [c.80]

Рассматривается широко распространенный частный случай инвариантно-групповых решений, в котором добавление дополнительных соотношений вида (8.16) к исходной системе не влечет переопределенности результирующей системы дифференциальных уравнений, а сразу приводит к определенной факторсистеме. Приводимое ниже построение применимо для любых систем дифференциальных уравнений здесь оно обсуждается применительно к системе (8.1). Временно, для краткости записи формул, используются сокращенные обозначения независимых переменных (ж, у, 2, г) = (жь Х2- хз, ж ) = ж и искомых функций и, V, V), р,р) = -= щ, П2, из, и4, иг>) = и. [c.108]

Прежде чем переходить к их изложению, опишем класс автомодельных решений в переменных годографа. Существование этого класса определяется групповыми свойствами уравнения Трикоми, его инвариантностью относительно преобразования подобия. Следуя [32], решения уравнения Трикоми для функции тока ф и у) будем искать в виде [c.61]

Надлежащее обобщение ряда фактов, аналогичных упомянутому выше, привело к созданию теории группового анализа дифференциальных уравнений, основы которой были заложены более 100 лет тому назад норвежским математиком Софусом Ли. Эта весьма общая и, в известном смысле, законченная теория дает алгоритмы выявления в полном объеме свойства инвариантности любых дифференциальных уравнений и использование этого свойства для отыскания классов частных решений путем упрощения исходных уравнений -за счет понижения размерности (уменьшения числа независимых переменных), [c.74]

Заметим, что при анализе модулированных фаз удобно исходить из выражений термодинамических потенциалов в координатном пространстве. Для получения потенциалов, пригодных в окрестности некоторой лифшицевской точки, можно использовать следующий прием. Вначале следует сконструировать потенциал из компонент параметра порядка в самой лифшицевской точке для некоторого НП, описывающего основную (не модулированную) структуру. Затем следует добавить к этому выражению градиентные члены (первой, второй и т.д. степени), инвариантные относи- ел >но группы симметрии исходной фазы. Они и расширяют область применимости потенциала с исходной точки на некоторую ее окрестность. Теоретико-групповая номенклатура параметра порядка для этой окрестности становится уже не актуальной, поскольку дальнейший анализ фаз, получающихся минимизацией функционала, переносится на решение соответствующего дифференциального уравнения. [c.184]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология