Функционалы экстремали

Поскольку X ( ) является экстремалью функционала /, величина / (е), определяемая соотношением (У,52), должна иметь экстремум при О, и, следовательно, ее производная (е)/ е ири 8 == (] должна обращаться в нуль как производная функции одной переменной в точке экстремума. [c.199]

Если же экстремаль функционала (У,48) есть максималь, то [c.202]

Допустим, что при е " О уравнение ( ,77) определяет экстремаль функционала ( ,48), т. е. [c.204]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

СЛИ теперь выбрать величины ij так, чтобы функция /, описываемая соотношением (V,164), имела минимум или максимум в зависимости от постановки исходной оптимальной задачи, то тем самым определяется и экстремаль функционала, минимизирующая или максимизирующая его значепие. [c.221]

Метод кусочно-линейной аппроксимации. При применении этого метода искомая экстремаль аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Для ее отыскания весь интервал интегрирования в выражении функционала (У,162) разбивается на N равных частей и оно заменяется приближенно равной ему конечной суммой [c.221]

Уравнения (У,189) и (У,190), характеризуюш,ие экстремаль функционала (У,44), допускают исключение параметра 5 и запись уравнения экстремали в явном виде. Определяя величину параметра з из уравнения (У,190) [c.226]

Для определения функций фгл(,г/) требуется найти условный минимум функционала (IX. 48) на кривых Ф (у), называемых экстремалями. Рассмотрим основные методы решения этой вариационной задачи. [c.242]

Функции x(fi(t) в этом случае называются экстремалями функционала /(л ), Причем, в зависимости от того, придает функ- [c.202]

Дальнейшие выкладки имеют целью получить уравнение, которому должна удовлетворять неизвестная функция x(t) для того, чтобы она могла быть экстремалью функционала (V, 48). Допустим, что эта экстремаль известна и задана в виде уравнения [c.210]

Теперь условие того, что функция x(t) есть экстремаль функционала /, может быть сформулировано как требование равенства нулю первой вариации функционала б/ (V, 64), откуда также следует найденное выше уравнение Эйлера. [c.212]

Найдем теперь для функционала (V, 48) первую вариацию 61, которая должна обращаться в нуль, если функция x(t) является экстремалью функционала. [c.215]

Если теперь x(t) является экстремалью функционала (V, 48), то его первая вариация (V, 82) должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении для вариации обращается в нуль вследствие того, что, экстремаль x(t) удовлетворяет уравнению Эйлера и, следовательно, обращает в нуль подынтегральное выражение. [c.217]

Пример V-3. Для функционала (V, 44), рассмотренного в примере V-2 [дан реактор идеального вытеснения, где проводится параллельная реакция первого порядка (V, 30)], записать уравнение Эйлера с граничными условиями, определяющее экстремаль функционала x(t). Эта экстремаль представляет в исходных обозначениях оптимальное соотношение между концентрацией исходного вещества А и продукта реакции ХА — ХА(ХР), при котором заданный выход продукта Р достигается в реакторе с минимальным временем пребывания реагентов. [c.219]

В данном случае простой проверкой можно убедиться, что уравнение (V, 133) превращается в тождество. Это означает, что любая функция x(t), удовлетворяющая граничным условиям задачи, является экстремалью функционала (V..48). [c.227]

Решение системы уравнений (V, 169) позволяет найти значения экстремали в заданном числе точек и тем самым построить кусочно-линейную функцию, аппроксимирующую экстремаль функционала (V, 162). [c.234]

Для того чтобы убедиться, что найденная экстремаль действительно является решением исходной оптимальной задачи, т. е. обеспечивает максимальное значение функционала (V, 44) [или минимальное значение x(ft), так как на основании уравнения (V, 47) f(ft) = —I/ko], необходимо проверить выполнение условия Лежан-дра (V, 67) для всех точек экстремали, описываемой уравнениями (V, 189) и (V, 190). [c.238]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двустороннее варьирование, наличие ограничений (V, 260) и (V, 261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (V, 260) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления поиском решения в виде функции, по-разному определенной в ряде интервалов, на которых x(t) = xi, x(t) = х2 или xi оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (V, 261) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, по-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (V, 261) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или полностью по ее границе. [c.254]

Чтобы показать, что функционал (10.62) удовлетворяет условиям, выведенным в разд. 10.2, (10.14) и (10.16), запишем соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа для экстремалей с учетом дополнительных условий (10.15) [c.141]

Допустим теперь, что при = О уравнение (102) определяет экстремаль функционала (86) [c.48]

Рассмотрим теперь вопросы определения параметра а. Предположим, что мы умеем достаточно точно вычислять величину интеграла в формуле для функционала / и находить экстремаль Ха задачи (V-31). Пусть задано такое, что Ха (t) = х t), тогда имеем [c.298]

Поскольку функция ы) (/) произвольна, для обращения в нуль интеграла в выражении (У,57) достаточно равенства нулю во всем нтгервале интегрирования соотношения, стоящего в квадратных скобках. Отсюда следует, что если Jl (/) является экстремалью функционала (У,48), то она должна удовлетворять уравнению [c.200]

В об[цем случае функционала (У,14),. экстремаль которого характеризуется решением системы уравнений (У,65), довольно сложно с юрмулировать условия, позволяющие определить тип экстремали. Л [шь когда искомой является только одна ( зункция, т. е. решается задача отыскания экстремали функционала (У,48), проверка типа экстремали может быть выполнена относительно просто. Так, когда эьстремаль функционала (У,48) является минималью, для любой ее точки должно соблюдаться условие [c.202]

Найдем теперь для функционала (У,48) первую вариацию б/, кото[)ая должна обрагцаться в нуль, если функция х (1) является экстремалью функционала. [c.204]

В даипом случае и )0С 1 011 проверкой можно убедиться, что уравнение (У,133) превращается в тождество. Это означает, что любая ([ упкция X (О, удовлетворяющая граничным условиям за щчи, являс1Ч я экстремалью функционала (У,48). [c.215]

Для того чтобы убедиться, что найденная экстремаль действительно является решением исходной оптимальной задачи, т. е. обес- 1ечивает максимальное значение функционала (У,44) [или минимальное значение так как на основании уравнения (У,47) т( ) = [c.226]

Поскольку x(t) является экстремалью функционала /, величина 7(е), определяемая соотношением (V, 52), должна иметь экстремум при е = 0 и, следовательно, ее процзводная dl(e)/ds при 8 = 0 должна обращаться в нуль как производная функции одной переменной в точке экстремума. [c.211]

Допустим, что при е = 0 уравйение (V, 77) определяет экстремаль функционала (V, 48), т.е. [c.216]

Это означает, что найденная экстремаль является максималью функционала (V, 44) и, следовательно, решением исходной оптимальной задачи. [c.238]

Уравнения (V, 189) и (V, 190), характеризующие экстремаль функционала (V, 44), допускают исключение параметра s и запись уравнения экстремали в явном виде. Определяя величину парамет pa s из уравнения (V, 190) [c.238]

Допустим, что искомая экстремаль х — x[t) нам известна. Введем в рассмотрение такую дифференцируемую функцию ш 1). что она обрашается в нуль на концах интервала интегрирования функционала (86) [c.45]

Величина 7, равная произведению 1 0)е, обычно называется первой вариацией функционала I. НаР1Исанное выше условие на экстремаль х ) может [c.46]

Если теперь x(t) является экстремалью функционала (86), то его первая вария,п,ия должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении (105) обрашается в нуль в силу того, что экстре.маль удовлетворяет уравнению Эйлера и, следовательно, обращается в нуль подынтегральное вьфажение. Для того, чтобы удовлетворить условию равенства нулю первой вариации, должно быть выполнено еще одно условие на не.эакрепленном конце экстремали [c.49]

Решения уравнений (48) и (49), как следует из самого их вывода, так же как и решения исходных уравнений (27), должны быть экстремалями функционала 8р1р. [c.132]

Смотреть страницы где упоминается термин Функционалы экстремали: [c.207] [c.212] [c.143] [c.144] [c.144] [c.40] [c.69]

Методы оптимизации в химической технологии издание 2 (1975) -- [ c.202 , c.203 , c.210 ]

ПОИСК

Справочник химика 21

Химия и химическая технология