Функционалы

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

Приведенный перечень функционалов показывает, что непосредственная и опосредованная взаимосвязь аппаратных факторов может обусловить разнообразные представления о теории работы ГА-техники. С ) етом этого факта в настоящей [c.35]

При использовании понятия фазового пространства критерий оптимальности можно считать функцией переменных х,- и определенной в (н / )-мерном пространстве. этих переменных, значение которой зависит от положения точки в данном пространстве, или функционалом (см. главу V) с величиной, обусловленной выбором траектории, соединяющей две точки, или в более общем случае две области фазового пространства. [c.55]

Функционалу / (У,3) может быть придан наглядный геометрический смысл. Так, например, если представить совокупность функций [c.192]

Это утверждение, вообще говоря, нетривиальное и требующее особого доказательства, позволяет представить функционал (У,44) как сумму трех функционалов [c.229]

Поскольку на изотермических участках на основании ограничений (V,201) не допускается двустороннее варьирование экстремали, для функционалов (V,203) и /,ч (V,205), вообще говоря, нельзя записать уравнений Эйлера. Однако для функционала 1 (V,204) можно вь[вести уравнение Эйлера, причем его общее решение совпадает с решением уравнения Эйлера для функционала (V,44), которое в параметрической форме представляется в виде уравнений (V,174) и (V,176). [c.230]

Первая нормальная форма функциональ ная зависимость неключевых атрибутов от составляющих первичного ключа [c.211]

Четвертый этап рассматриваемой ППР преследует несколько целей 1) оценку с заданной точностью одного параметра или подвектора параметров 2) минимизацию коэффициентов корреляции между двумя параметрами или группой параметров 3) уточненную оценку вектора параметров в конкурирующих кинетических моделях. Оценки констант, полученные на втором этапе, обычно не удовлетворяют необходимым требованиям точности, поэтому на третьем этапе они уточняются при проведении последовательно планируемых прецизионных экспериментов выбором критерия оптимальности планов, анализом функционалов от информационной матрицы, а также отдельных ее элементов и подматриц. [c.171]

Отметим также, что используемая для выбора стратегия проведения прецизионных экспериментов и для установления точности получаемых оценок кинетических констант матрица М (е) является информационной матрицей линеаризованной но константам кинетической модели. Конечно, если испытываемая модель существенно нелинейно параметризована, то М (е) следует рассматривать лишь как первое приближение к истинной информационной матрице плана эксперимента. В тех случаях, когда требуется получить оценки отдельных констант с особенно большой точностью, в качестве критериев оптимальности плана необходимо использовать максимум выборочной плотности распределения илп некоторые функционалы от истинной информационной матрицы. [c.192]

Для известного начального состояния объекта х (0) требуется отыскать управляющие функции и (т), те [О, 0] и величину управляющего параметра 0, доставляющие максимум функционалу в [c.336]

В соответствии с концепцией, положенной в основу системь СПРИНТ, архитектура системы имеет два уровня функциональ ный (декомпозиция системы на функционально независимые под системы) и пользовательский (реализация средств программно поддержки). [c.344]

Например, если нужно найти оптимальный температурный профиль реактора или оптимальный способ изменения температуры Т при пуске реактора, должны быть найдены оптимальные функции У ( ) II Т (т), где — длина, т — время- Этим функциям отвечает оптимальное численное значение оптимизируемой величины У, называемое функционалом, причем У =Т[Т (0] или V = = У[Т (т)]- Такие задачи решают вариационными методами и их, как правило, удается сформулировать в виде найти экстремум функционала [c.212]

Для процессов с медленной дезактивацией катализатора определение экстремали Т (т), обеспечивающей экстремум некоторому функционалу, имеет большое техническое значение. Ниже рассматривается такое определение для характерной ситуации. [c.224]

Величина критерия оптимальности и зависит от всего температурного профиля Т (<), т. е. является функционалом от функции Т (О- Отыскание функции, приводящей заданный функционал к максимуму, является основной задачей вариационного исчисления, на основе которого и должна решаться поставленная в этом разделю задача. [c.369]

Из условия наилучшей аппроксимации функционала функционалом / 3 вытекает, что функционал [c.440]

Принцип нумерации, применяемый для соединений и радикалов, одинаков, с единственным исключением, а именно в соединениях наименьший номер дается главной (функциональ- [c.85]

При мягкой обработке щелочью. хлорированных парафиновых углеводородов, содержаишх 4 атома хлора и больше, удается заменить гидрокс ильны.ми группами лишь часть хлора ис.ходного материала, остальные атомы хлора замещаются другими функциональиы.ми группами. Так получают продукты, представляющие собой более или менее вязкие, слабо окрашенные масла, которые благодаря своим свойствам можно испо.льзовать непосредственно д.ля замасливания и жирования или использовать как основные компоненты соответствующих эмульсий, при.меняемых в текстильной и кожевенной промышленности. [c.249]

Особенностью задач динамической оптимизации является то, что значение критерия оптимальности оиределяетси не только положением, существующим в рассматриваемый момент времени, но и предысторией процесса, начиная с некоторого начального момента. Поэтому оценка эффективности процесса должна учитывать его поведение в течение всего исследуемого нестационарного периода. Это приводит к необходимости использования в качестве критериев оптимальности интегральных оценок (функционалов) вида [c.23]

Методы вариационного исчисления (см. главу V) обычно используют для решения задач, в которых критерии 0птнмал1л10стн представляются в виде ((функционалов (1,27) и решениями которых являются неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статическо оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации. [c.31]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 220), обычно позволяю1цне свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного нро-грамкшрования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнения Эйлера. [c.31]

Критерий оптимальности процесса зависиг не тслько от начальных и конечных значений переменных состояния но также и от значений переменньгх состояния х,- () и управляющих воздействий (/), которые они и[)нпимак)т при изменении независимой переменной в интервале т.е. критерий оптимальности н К)цесса задан некоторым функционалом (см. главу V) [c.177]

Пределы интегрирования в соотноигенин (У,7) могут быть известными конечными числами, но возможны также случаи, когаа один или оба предела бесконечны. Кроме того, целый ряд задач вариационною исчисления сводится к рассмотрению функционалов, у которых пределы интегрирования неизвестны. [c.193]

Основная задача вариационного исчисления заключается в от1,1-скапип таких непрерывных функций х (/), которые придают заданному функционалу максимальное или минимальное значение. При этом, как и в обычном анализе, на неизвестные функции, подлежащие определению, могут быть наложены различные ограничивающие условия. [c.193]

Метод Ритца. Основная идея этого метода заключается в том, что решение вариационной задачи с функционалом [c.220]

Для этого попытаемся оценить величины функционалов 1 к 3. Функционал /1, определяемый выражением (У,203), легко вычис- дяется с учетом уравнения (У,211), в результате чего получим [c.232]

Естественно, что система уравнений (VI,229) и (VI,230) не совсем )квнвалептиа исходному уравнению (VI,227), 1юскольку условию (VI,230) могут удовлетворять не только оптимальные управления, ио и управления, которые придают функционалу (VI,213) минимальное значение, а также управления, определяющие локальные максимумы этого функционала. Таким образом, система уравнений (VI,229) и (VI,230) является лишь необходимым условием оптимальности, тогда как уравнение (VI,227) содержит и достаточное условие в форме гребовання максимизации. Однако на практике для отыскания оптимальных управлений в ироцессе часто достаточно рассмотреть решение системы уравнений (VI,229) и (VI,230). [c.312]

Для решения указанных задач обычно достаточно проанализировать некоторые функционалы от информационной матрицы М (е), а также ее отдельные элементы и подматрицы. При этом при планировании прецизионных экспериментов часто используют критерии D-, А-, -оптимальности планов. Критерий D-on-тимальности часто называют детерминантным, а критерий -опти-мальности — критерием формы. [c.189]

Указывалось также (стр, 322), что задача о быстродействии является частным случаем более общей задачи о минимизации функционала (VII,67), когда (рд 1. Аналогично целый ряд задач, в которых требуется получить минимальное или максимальное пачеиие одной или нескольких переменных состояния в конце процесса, представляет собой частный случай задачи с функционалом (VII,67). Так, нанример, если нужно найти минимальное значение переменной %1 при t = то оптимальную задачу можно сформулировать как задачу минимизации функционала [c.334]

Реорганизованный функционал с исключенной координатой имеет координаты Ф1(11з) = Ф(01, - -. , 0 -1, 04 1,. . . , 0д) и опять представляется в виде ФхСф) = (Ф (в)Поскольку для I > выполняется 0г Р(4 )1 ГО справедливо Ф[0(<)] Ф [гJ)(i)l, т. е. исходный Ф(0) и реорганизованный Ф1( ф) функционалы эквивалентны в том отношении, что их точки минимума связаны соотношениями 0 (Ф) = (г)), . . ., 1 51 1, Р (гр ), г )Г+1,. . (Ф ) = в (Ф),. . ., 0 - (Ф), 0 + (Ф),. ..,0д (Ф)). Таким образом, по линии спуска для Фа при > 1 можно построить спуск для Ф и наоборот. [c.228]

В заключение обзора методов минимизации еще раз отметим, что выбор того или иного метода связан с конкретной задачей. Для решения обратных задач, где приходится минимизовать функционалы вида (3.137), методы, учитывающие специфику минимизуемой функции, оказываются более эффективными, чем универсальные методы [16, 82]. При плохой обусловленности матрицы Гесса ( овражная ситуация) наилучшим образом зарекомендовали себя методы, основанные на применении неявной разностной схемы [113, 120] и линеаризации [31]. Если в результате минимизации найден минимум функционала (3.137) (т. е. матрица Гесса не вырождена), то значения параметров, соответствующие этому минимуму, являются оценками их математического ожидания. При этом остается лишь оценить точность найденных параметров по (3.133), и обратную задачу можно считать решенной. [c.229]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Можно построить и другой алгоритм, упрощающий решение вариационных задач- Заманчивым представляется сочетание методов вариационного и динамического программирования- Применив кусочно-линейную аппроксимацию, можно оптимизировать функционал У по кусочкам от конца интервала к началу т,,. В соответствии с принципом динамического программирования это обеспечит оптимальную величину всему функционалу У =2 г Так, для N участка, зная Х = x ж определив как функцию а я-1> Х[ = х , (х —Хд/.хУАт, Ат, можно найти, используя однофакторный поиск, величину обеспечивающую экстре- [c.215]

Экономическая оценка проекта. Хотя в процессе решения проектных (как и любых других) задач используются на различных стадиях различные критерии, в наиболее общем виде качество работы той или иной установки важно выполнить используя показатели экономической эффективности. Так или иначе любая работа по созданию химического производства должна оцениваться экономическими показателями, однако на отдельных этапах удобнее воспользоваться другими критериями ввиду удобства их применения. Например, при решении итерационных задач по моделированию отдельных процессов лучше воспользоваться критериями, определяющими условия сходимости. Это выполнение материального и теплового баланса, равенство суммы концентраций в мольном измерении единице и т. д. Обычно они относительно просто выражаются через управляющие параметры в виде функционалов, суммы квадратов отклонений, аддитивных функций и содержат параметры, наиболее ярко характеризующие экстремальные свойства критерия. Конечные значения таких критериев определяют рабочие характеристики соответствуюпщх программ такие, как точность, быстродействие и т. д. Тем не менее затраты [c.105]

Экономическая оценка функционирования ХТС. В качестве критерия эффективности пользователь может по выбору использовать приведенные затраты, любую из их составляющих или любое другое сформированное им выражение. Капитальные затраты рассчитываются либо по методу функциональых единиц, либо на основании метода прейскурантных цен. Стоимость продукции и ее составляющие оцениваются на основании результатов моделирования ХТС и ряда вспомогательных коэффициентов. Результатом работы данного подуровня является расчет статей приведенных затрат, включая прейскурантную стоимость оборудования, капитальные вложения в объекты основного производственного назначения и общую сумму капитальных вложений, а также затраты по отдельным статьям себестоимости продукции и полную себестоимость [5]. [c.605]

После такого преобразования новые функционалы как цели адаптацни для оценок коэффициентов каждой из функций (2.30) запишутся в виде [c.99]

Если р, (5 53) 8, то согласно [8] в качестве приближенного решения уравнения Аг=з с приближенной правой частью з берется элемент z =Я з , а), полученный с помощью регуляризирующего оператора Я (з, а), где а= а (8, 5д) согласовано с погрешностью исходных данных Это решение называется регуляризо-ванным решением, а числовой параметр а — параметром регуляризации. Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. В работах [8—11] развит вариационный принцип построения регуляризирующих операторов, основанный на понятии стабилизирующих функционалов. Различные способы построения регуляризирующих операторов и определения параметра регуляризации рассмотрены в [5, 16— 18]. В работах [19—21] даны характерные примеры решения нри-кладных задач методом регуляризации. [c.286]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология