Нелинейное дифференциальное уравнение

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа впоследствии было названо уравнением Лейбензона. [c.181]

При численном интегрировании уравнения Эйлера, представляющего собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка [c.219]

Исследовать внутреннюю диффузию нри конечной скорости адсорбции гораздо труднее, поскольку мы сразу же сталкиваемся с нелинейными дифференциальными уравнениями. Общий метод, описанный в конце предыдущего раздела, можно применить к решению уравнений с кинетическими зависимостями типа (VI.20). Получить какие-либо общие результаты здесь, однако, трудно, вследствие большого числа параметров, входящих в кинетическую зависимость, и необходимости численного интегрирования. [c.141]

Таким образом, условия (VII.76) являются как необходимыми, так и достаточными. В теории нелинейных дифференциальных уравнений существует теорема, утверждающая, что если уравнения, линеаризованные в окрестности стационарного состояния, имеют устойчивые решения, то нелинейные уравнения имеют решения, возвращающиеся к стационарному состоянию, если возму- [c.174]

Мы получаем, таким образом, систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, заданными на разных концах реактора. Решать такие уравнения — сложная задача, так как нри этом возникают явления численной неустойчивости и ошибки расчета начинают накапливаться и угрожающе возрастать. Так, можно было бы попытаться решать уравнение (IX. 104) при постоянной Т, задавшись пробным значением прп а = О, вычислив = - Ра интегрируя уравненпе от [c.295]

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (6.8) линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится-для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения. [c.185]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

Дифференциальное уравнение называется линейным, если зависимая переменная и ее производные имеют только первую степень и отсутствуют их взаимные произведения. Остальные уравнения называются нелинейными. Если производная высшего порядка входит в первой степени в нелинейное дифференциальное уравнение, то оно называется квазилинейным. [c.411]

Для систем последовательных реакций более высокого порядка, чем первый, в общем не имеется точного решения. Причина здесь состоит в том, что подобные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые не имеют точных решений за исключением некоторых частных случаев. [c.45]

Третье уравнение не является независимым, поскольку его можно получить из стехиометрического уравнения реакции и уравнений (1) и (2) системы (III.7А.2). Таким образом, можно рассматривать только первые два уравнения. Если продифференцировать уравнение (2) системы (III.7А.2) еще раз и сложить с уравнениями (1) и (2), то получается нелинейное дифференциальное уравнение [c.46]

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

При анализе систем нелинейных дифференциальных уравнений используется техника квазилинеаризации [3], базирующаяся на линеаризации правой части системы (3.78) по зависимым переменным и замене однократного решения исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений многократным решением модифицированных систем линейных дифференциальных уравнений. [c.211]

Если же хотят применить аналитический метод, то для каждой отдельной системы нелинейных дифференциальных уравнений нужно разрабатывать собственные методы решения. Много работ такого типа было уже проведено, однако наши сведения по указанному вопросу весьма поверхностны. Хиггинс в прекрасном обзоре на эту тему приводит обширный список возможных подходов к решению. Здесь кратко дано несколько методов решения нелинейных систем. [c.106]

Таким образом, следует считать, что все представляющие практический интерес объекты, в которых протекают химические реакции, характеризуются системами нелинейных дифференциальных уравнений для решения последних необходимы вычислительные машины. Подробные описания особых типов моделей, которые обычно исполь- [c.117]

Поведение многих реакторов этого типа и, в частности, тех реакторов непрерывного действия, двумерные модели которых были составлены в главе И, можно описать с помощью обоб-тенной модели. Эта модель состоит из двух нелинейных дифференциальных уравнений, выражающих материальный и тепловой балансы [c.81]

Для уравнений, описывающих поведение химических реакторов, обычно не удается найти аналитического решения, так как эти уравнения, как правило, нелинейны и неинтегрируемы в квадратурах. Для получения же приближенных решений можно использовать современную вычислительную технику, которая позволяет находить с требуемой точностью и на любом конечном промежутке времени частные решения нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому вычислительные методы могут быть успешно применены для предсказания режима реактора при заданных значениях параметров и выбранных начальных условиях. [c.121]

У-5-3. Модель Данквертса. Вообще говоря, применение модели Данквертса неудобно для реакций второго порядка или любых других реакций, приводящих к нелинейным дифференциальным уравнениям. Однако этой моделью можно иногда пользоваться для определения условий, характеризующих предельные случаи поведения реагирующих систем. [c.123]

В общем случае решение этого нелинейного дифференциального уравнения может быть получено только численными методами. Его удается линеаризовать, используя упрощенную форму записи изотермы расклинивающего давления [c.214]

Нелинейное дифференциальное уравнение (III, 2) соответствует нелинейному неоднородному уравнению Фредгольма [c.224]

Изменение степеней покрытия поверхности бд и 0о веществом А и кислородом согласно приведенному механизму (М), описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений [c.317]

Скорость реакции, характеризующая прирост или убыль реагента в точке мембраны, очевидно, зависит от неравновесного состава / ( i, Сг,. .., Сп) и изменяется во времени и по координате. Реагенты диффундируют в мембране, причем ввиду сопряженности процессов возможно ускорение, замедление массопереноса и даже активный перенос отдельных реагентов Кинетическая модель мембранной системы, в которой исключен конвективный перенос, представляет систему одномерных нелинейных дифференциальных уравнений локального баланса массы реагентов [c.29]

Уравнение (7.23) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с граничными условиями и с постоянными коэффициентами. Решение таких уравнений представляет определенные трудности вследствие плохой сходимости, сильно зависящей от значений коэффициентов. [c.275]

Процесс массообмена в нестационарном режиме описывается в общем случае системой нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными [c.413]

Распознавание типа уравнений производится с помощью переменной NM, значение которой изменяется от О до 3. При каждом из этих значений организуется ввод необходимой информации и обращение к соответствующим процедурам. Поскольку при решении систем нелинейных дифференциальных уравнений производится линеаризация, то иа каждом шаге интегрирования выполняется М итераций по уточнению начального значения переменных. [c.338]

Пример. Ниже будет показано (см. 8.5), что многие нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие химические процессы в реакторах с перемешиванием, с помощью специальной замены переменных могут быть приближены к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами типа [c.292]

Второй способ состоит в минимизации среднеквадратичного критерия, в который входят не производные, а сами переменные состояния системы (концентрации, температуры и т. п.). В этом случае возникает необходимость решать исходную систему нелинейных дифференциальных уравнений столько раз, сколько делается шагов при движении к оптимуму, причем число этих шагов [c.461]

Заметим, что требование линейности системы в незначительной мере ограничивает общность предлагаемой методики, которая применима, для широкого класса нелинейных объектов, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов химической технологии такова, что практически почти всегда есть возможность свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру [8], либо с помощью простой замены переменных [15]. [c.475]

Прежде всего представим нелинейную систему дифференциальных уравнений (8.42) в форме системы линейных и квазилинейных интегральных Зфавнений. Как уже отмечалось, это можно сделать либо путем разложения в степенной ряд решения нелинейного дифференциального уравнения по специальным образом введенному параметру [8 ] (этот метод подробно изложен также в работе [15]), либо с помощью специальной замены переменных [15]. В данном случае к цели быстрее приводит второй метод. Последовательно преобразуем каждое из уравнений системы (8.42) к интегральному виду. [c.485]

В заключение параграфа рассмотрим статистические задачи, возникающие при определении параметров кристаллизации. Задача исследования кинетики кристаллизации сводится к установлению вида функций, входящих в математическую модель процесса кристаллизации, и определению численных значений их параметров. Из предыдущего параграфа можно было увидеть, что чаще всего искомая зависимость представлена в виде нелинейных дифференциальных уравнений вида [c.320]

Математические модели представляют собой совокупность математических объектов и отношений (уравнений), описываюших изучаемый физический процесс на основе некоторых абстракций и допущений, опирающихся на эксперимент и необходимых с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. При моделировании процессов разработки нефтегазовых месторождений эти соотношения в общем виде представляют собой сложные (обычно нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями (см. гл. 2, 8, 10). [c.379]

Наиболее наглядно можно проиллюстрировать основные идеи принципа максимума для процесса, описываемого системо ) обыкновенных (в общем случае нелинейных) дифференциальных уравнений [c.320]

Taким образом, моделью стационарного движения идеального дисперсного потока является автономная динамическая система первого порядка, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением с правой частью, зависящей от параметров. Уравнение (2.78) показывает, что состояние дисперсного потока при принятых выше допущениях полностью и однозначно определяется заданием одной переменной (в данном случае — объемной концентрации дисперсной фазы). Это означает, что другие гидродинамические переменные Ыд, иы,= с- д являются функциями только объемной концентрации и не зависят явно ни от других переменных, ни от пространственной координаты h. Для установившегося движения частиц факт зависимости относительной скорости движения фаз щ только от объемной концентрации частиц был экспериментально установлен в работах [146-151]. [c.90]

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связц между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью . Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе Примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощг.ю специальной замены переменных. [c.495]

Форма записи, исходной системы уравнений математического описания процесса ректификации, зависит от того, как представлены составы нефтяных смесей в непрерывном или в дискретном виде. При непрерывном представлении смеси все уравнения имеют тот же ЪУ1Ц, что и для случая дискретного представления, отличаясь введением дифференциальных функций распределения состава смеси вместо концентраций компонентов. То есть, для непрерывного представления смесей искомым и являются кривые функций распределения составов, а для дискретного представления -концентрации компонентов. В первом случае задача расчета сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений во втором -к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, математического описания процесса ректификации. [c.9]

Сопремемпая теория цепных реакций позволяет получить уравнения таких цепных процессов, для которых изменениями концентраций исходных продуктов можио пренебречь. Эти уравнения характеризуют условия начала реакции. Именно на начальных стадиях реакции проявляются рассмотренные выше явления пределов самовоспламенения. В общем случае, учитывая роль выгорания или расходования в результате реакции исходных продуктов, можно получить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решить которые довольно сложно, поэтому такие общие решения рассматривать не будем. Если же одна реакция протекает медленно, а другие — быстро, то система заменяется одним уравнением, которое легко решается. [c.221]

В реакционно-диффузионных мембранах, где возникают, мигрируют и распадаются промежуточные химические соединения, массоперенос описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых неоднозначно и сильно зависит от степени неравновесностн системы при этом в результате сопряжения диффузии и химической реакции возможно возникновение новых потоков массы, усиливающих или ослабляющих проницаемость и селективность мембраны по целевому компоненту. При определенных пороговых значениях неравно-весности, в так называемых точках бифуркации, возможна потеря устойчивости системы, развитие диссипативных структур, обладающих элементами самоорганизации. Это характерно для биологических природных мембран, а также для синтезированных полимерных мембранных систем, моделирующих процессы метаболизма [1—4]. [c.16]

Подставив выражения для химического сродства Аг, скорости реакции Vrr и перекрестного коэффициента г в уравнение диссипативной функции (7.77) и интегрируя ifo по объему мембраны (см. 7.45), можно получить уравнение для расчета и анализа потерь эксергии в процессе селективного проницания через реакционно-диффузионную мембрану. Необходимое значение степени сопряжения массопереноса и химического превращения находят по уравнению (1.18) на основе опытных значений коэффициента ускорения Фь Предполагается также, что известно распределение концентраций всех компонентов разделяемой газовой смеои и веществ матрицы мембраны, участвующих в реакциях, как решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (1.26). Энергетическая эффективность процесса при 7 = Гер оценивает эксергетический к. п.д., вычисляемый по уравнению (7.71). [c.255]