Экстремаль

Оптимизация управления нестационарным процессом заключается в том, что независимые технологические переменные, соответствующие неустановившемуся состоянию главного потока, коррелируются так, чтобы целевая функция в каждый момент принимала экстремаль- [c.352]

Поскольку X ( ) является экстремалью функционала /, величина / (е), определяемая соотношением (У,52), должна иметь экстремум при О, и, следовательно, ее производная (е)/ е ири 8 == (] должна обращаться в нуль как производная функции одной переменной в точке экстремума. [c.199]

Если же экстремаль функционала (У,48) есть максималь, то [c.202]

Допустим, что при е " О уравнение ( ,77) определяет экстремаль функционала ( ,48), т. е. [c.204]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

СЛИ теперь выбрать величины ij так, чтобы функция /, описываемая соотношением (V,164), имела минимум или максимум в зависимости от постановки исходной оптимальной задачи, то тем самым определяется и экстремаль функционала, минимизирующая или максимизирующая его значепие. [c.221]

Метод кусочно-линейной аппроксимации. При применении этого метода искомая экстремаль аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Для ее отыскания весь интервал интегрирования в выражении функционала (У,162) разбивается на N равных частей и оно заменяется приближенно равной ему конечной суммой [c.221]

Уравнения (У,189) и (У,190), характеризуюш,ие экстремаль функционала (У,44), допускают исключение параметра 5 и запись уравнения экстремали в явном виде. Определяя величину параметра з из уравнения (У,190) [c.226]

Выше рассмотрен поиск экстремума алгебраических функций. Большой класс задач требует поиска не численных значений аргументов, а оптимальных функций (их называют экстремалями). [c.211]

Интегрирование уравнений (VI-41) или (VI-43) аналитически обычно не удается выполнить- Но имеются простые случаи, когда вид экстремалей может быть найден- Это часто удается осуществить без перехода к уравнению Эйлера, как и в приведенных выше численных методах- Все эти методы носят название прямых. [c.216]

Т тооо = 25 °С. Далее расчет был выполнен для интервала 6000—7000 часов. Найдено = Г ооо = 410 °С и т. д. Сопоставление экстремали, найденной по такому простому методу и по методу локальных вариаций, показало, что вид кривых одинаков. Для иллюстрации на рис. У1-16 приведены экстремаль Т (т) и осуществленное в экспериментальном исследовании изменение Т. Видно, что реализация экстремали позволит ощутимо увеличить производство целевого продукта, [c.226]

Изложенный выше метод допускает получение более тонких признаков оптимальности для тех процессов, которые уже удовлетворяют дискретному принципу максимума. Следуя (61], будем называть такие процессы экстремалями Понтрягина. [c.189]

Технология получения критерия оптимальности экстремали Понтрягина остается такой же, как в предыдущем разделе. Меняется лишь способ построения варьированного семейства, содержащего исследуемую экстремаль, и анализ промежуточных необходимых условий оптимальности, доставляемых нелинейным программированием. [c.190]

Ниже приведены наиболее распространенные термопары, используемые при температуре до 2800 °С (в скобках — экстремаль- [c.63]

Подшипники букс чугуновозов, шлаковозов, сталевозов, подшипники агломашин и других узлов металлургического оборудования, работающих в условиях экстремалы<ых температур [c.345]

Изэнтропические течения. Поля экстремалей [c.84]

В предыдущем подразделе уже было установлено, что в плоских изэнтропических течениях величины а и постоянны на экстремалях, то есть в плоскости а, экстремали изображаются точками. Из (1.17) [c.84]

При этом, конечно, уравнения (3.44)-(3.46) не выполняются. Пусть найдено решение задачи 3. Предположим, что экстремаль bh найденного решения лежит целиком в области [c.101]

Из (3.49) следует, что только неравенство 6<р < О, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина ф. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

При V = 1 уравнения на экстремалях упрощаются. В случае независимой переменной у из (2.36), (2.37), (2.11), а также из (2.30) с учетом [c.102]

Исходные данные задачи, то есть (рис. 3.14) координаты точек а и Ь, функции А гр), Щф), У( ). РоИ ) на характеристике ас и величина ((1 - 1/), могут быть таковы, что при решении задачи 3 экстремаль ЬЛ в плоскости а,1 частично (при V = ) или целиком (при 1/ = 0 н и = I) лежит в области [c.103]

Вспоминая содержание последних подразделов, можно кратко сказать следующее. Пусть необходимо решить задачу 4 с некоторыми исходными данными. Если решение задачи 3 с теми же исходными данными приводит к тому, что экстремаль ЬЛ в плоскости а, 1 целиком принадлежит области (3.48), то тем [c.107]

Рассмотрим в плоскости г, а всю экстремаль, отвечающую найденным множителям Лагранжа. Напомним, что величина г определена формулой (2.50) и при фиксированной величине взаимно однозначно связана с у. Выражение (2.50) было введено для осесимметричного случая, однако, его можно использовать и в случае плоского течения. На рис. 3.20 изображена экстремаль одного из типов, которые получаются при осесимметричных течениях. [c.108]

Итак, минимум х может иметь место, если экстремаль bh принадлежит области (4.11) и если варьирование положения точки h ведет к увеличению Х- Если экстремаль целиком или частично принадлежит области (4.12), то минимум х на найденной экстремали не достигается. [c.113]

На экстремалях функции о, , ф, Аг и переменная у связаны равенствами (2.11), (2.28)-(2.30) при А5 = 0. Эти равенства имеют вид [c.113]

Входящие В это равенство вторые производные на экстремалях выражаются формулами [c.114]

Из формул (4.6) и (4.14) следует, что dy/da = О при Г = 0. Иными словами, граница области минимального сопротивления совпадает с геометрическим местом таких точек экстремалей, в которых ускорения бесконечны. [c.114]

На диаграмме пс показана область более отрнцате.чьпых потенциалом, которая реализуется лишь прп экстремаль ых п труднодостижимых у е /I о в п я х. [c.189]

Дальнейшие выкладки имеют целью получить уравнение, которому должна удовлетворять неизвестная функция (/) для того, чтобы оиа могла быть экстремалью функционала (У,48). Допустим, что эта экстремаль известна и задана в виде уравпеиня [c.199]

Поскольку функция ы) (/) произвольна, для обращения в нуль интеграла в выражении (У,57) достаточно равенства нулю во всем нтгервале интегрирования соотношения, стоящего в квадратных скобках. Отсюда следует, что если Jl (/) является экстремалью функционала (У,48), то она должна удовлетворять уравнению [c.200]

Теперь условие того, что функция х (/) есть экстремаль фупк-шюнала /, мол ет быть сформулировано как требование равенства нулю первой вариации фуикщюнала б/ (У,64), откуда также следует найденное вынк" уравнение Эйлера. [c.201]

Другими словами, возможны случаи, когда решение уравнений Эйлера дает не экстремаль, а линию иной природы, что можно сравнить с решениями уравнения д.х 1 О, определяющего экстре-М1льные точки функции х, среди которых могут встречаться точки перегиба или точки более сложного типа, если функция д зависит [c.202]

В об[цем случае функционала (У,14),. экстремаль которого характеризуется решением системы уравнений (У,65), довольно сложно с юрмулировать условия, позволяющие определить тип экстремали. Л [шь когда искомой является только одна ( зункция, т. е. решается задача отыскания экстремали функционала (У,48), проверка типа экстремали может быть выполнена относительно просто. Так, когда эьстремаль функционала (У,48) является минималью, для любой ее точки должно соблюдаться условие [c.202]

Найдем теперь для функционала (У,48) первую вариацию б/, кото[)ая должна обрагцаться в нуль, если функция х (1) является экстремалью функционала. [c.204]

Сели теперь х (1) является экстремалью функционала (У,48), то его первая вариация (У,82) должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении для вариации обращается в нуль вследствие того, что экстремалью ) удовлетворяет уравнепн10 Эйлера и, следовательно, обращает в нуль подьштегральное выражение. [c.205]

В даипом случае и )0С 1 011 проверкой можно убедиться, что уравнение (У,133) превращается в тождество. Это означает, что любая ([ упкция X (О, удовлетворяющая граничным условиям за щчи, являс1Ч я экстремалью функционала (У,48). [c.215]

Решение системы уравнений (У,169) позволяет найти значения экстремали в заданном числе точек и тем самым построить кусочнолинейную функцию, аппроксимирующую экстремаль функционала (V,lб2). [c.222]

Для того чтобы убедиться, что найденная экстремаль действительно является решением исходной оптимальной задачи, т. е. обес- 1ечивает максимальное значение функционала (У,44) [или минимальное значение так как на основании уравнения (У,47) т( ) = [c.226]

Это означает, что найденная экстремаль является максималью <[)ункционала (У,44) и, следовательно, решением исходной оптимальной задачи. [c.226]

Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двухстороннее варьирование, наличие ограпиче-Н1п1[ (У,260) и (У,261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа (У,261) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления иоиском решения в виде функции, п( -разному определенной в ряде интервалов, на которых х ) = л , x t) х или д < X (/) < х , как было сделано ири расчете оптимального температурного профиля в реакторе. При ограничениях же типа (У,260) вариационную задачу даже таким способом в общем случае, ио-видимому, нельзя решить. Это объясняется тем, что при ограничениях типа (У,260) экстремаль функционала может проходить не только внутри дозволенной области, но также частично или нолностью по ее границе. [c.242]

Одной из экстремальных характеристик в плоскости а, О является прямая а = тг/2. В работе [34] выяснено, что поверхность перехода через скорость звука, опирающаяся на некоторый контур и являющаяся одновременно характеристической поверхностью, обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, опирающихся на тот же контур. В осесимметричном случае такими поверхностями могут быть либо плоскости перпендикулярные к оси симметрии, либо поверхности, образующие которых являются цепными линиями. Во втором случае угол в меняется на характеристике. Следовательно, упомянутая экстремаль в плоскости х,у должна бьггь цепной линией. Однако, трудно ожидать, чтобы в окрестности всякой характеристической поверхности, на которой а = ж/2, существовало решение задачи Коши или некоторой краевой задачи. Этот вопрос представляет собой предмет самостоятельного исследования. Здесь можно указать, что в осесимметричном изэнтропическом случае, когда газ является совершенным, такое решение не существует. [c.88]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология