Экстремумы

Задача линейного программирования в общей форме найти экстремум линейной функции [c.322]

Другими словами, свободная энтальпия системы при равновесии принимает значение экстремума (минимума). [c.127]

Изменение молярной электропроводности с разведением, характеризующееся появлением экстремумов на кривой к—V, связано с аномальной электропроводностью. [c.132]

Упражнение .15. Докажите, что корни уравнения ( .49) действительны. Упражнение .16. Покажите, что функция с (i) имеет экстремум, если [c.101]

Однородным азеотропом принято называть такую совокупность жидкой и паровой фаз рассматриваемой двухфазной системы, которая под заданным внешним давлением при каком-то составе имеет либо максимальную, либо минимальную точку кипения. Согласно второму закону Д. П. Коновалова, в экстремумах точек кипения растворов составы жидкой и паровой фаз совпадают и поэтому жидкая фаза азеотропа кипит при постоянной температуре и находится в равновесии с паром одного и того же с ней состава. По этой причине азеотропы иногда называются постоянно кипящими смесями. [c.33]

Таким образом, для определения со мы получили уравнение теплопроводности (7.51) с коэффициентом и, зависящим от искомой функции. Исследуем характер зависимости (7.52). Функция х(ст) обращается в нуль при ст = О и ст = 1. Стандартная процедура исследования (7.52) на экстремум приводит к выводу, что эта функция имеет максимум [c.220]

Другими словами, потенциал Ф при равновесии должен представлять собой экстремум, или — при равновесии потенциал постоянен. Если сравнить уравнения (9-1) и (9-5), то станет ясно, что обе формулировки условий равновесия по существу одинаковы. Для инженерной практики зависимость (9-1), которая выражает условия равновесия рычага, часто оказывается более подходящей, так как может быть непосредственно применена для расчета и содержит только такие величины, которые практически доступны измерению. [c.124]

До сих пор мы основывались непосредственно на втором законе термодинамики и в конечном счете искали экстремум энтропии системы как функцию какой-либо непостоянной, содержащей экстенсивную величину состояния X системы (например, У в случае, когда перегородку можно было считать подвижной). Однако полностью равноценным будет способ, когда вместо экстремума энтропии отыскивается экстремум какого-либо другого свойства системы, который будет соответствовать условию (9-4, а). [c.126]

Как физическое равновесие какой-либо системы в любом случае характеризует экстремум соответственно выбранной функции (энтропии, свободной энтальпии), так и здесь можно сказать, что экстремум целевой функции (максимальная прибыль, минимальная себестоимость) является показателем экономического равновесия . Это — не формальная аналогия. Если физическая система не находится в состоянии равновесия, то начинаются самопроизвольные изменения в направлении равновесия. Если элемент процесса не находится в экономическом равновесии, то также возникают изменения, стремящиеся привести его к равновесным условиям. Это доказывает нам закон снижения себестоимости. [c.321]

Общее определение симплексного метода найти экстремум линейной формы [c.326]

Минимум целевой функции (15-49) при условии (15-48) можно найти с помощью метода условного расчета экстремума. Для решения этой задачи удобно использовать метод Лагранжа [7]. [c.329]

Если отыскивается экстремум целевой функции g ( 1, а между [c.330]

Эта система уравнений содержит (га -(- т) переменных и столько же уравнений, а следовательно, она определяется. Мы получим значения для т неизвестных множителей и для х , х ,.. Хп технологических переменных, при которых целевая функция обладает экстремумом и которые удовлетворяют т зависимостям. [c.330]

Одновременное определение оптимальных основных размеров аппарата и технологических переменных протекающего в нем процесса наиболее просто производится при наличии одной переменной. В этом случае математическая модель не представляет большой сложности и ее решение, следовательно, можно провести по обычным или условным методам расчета экстремума. Однако реальный технологический процесс гораздо сложнее в аппаратурно-процессных единицах, у которых число степеней свободы больше единицы. [c.331]

Расчет экстремума проводится с многими переменными, причем при решении задач такого рода на первый план выступают численные методы, которые особенно хорошо применимы при машинных расчетах. [c.331]

Определение экстремума путем дифференцирования с уменьшением числа переменных [c.331]

Если целевая функция имеет две переменных (самое большое — три) и легко дифференцируется, то для определения экстремума следует установить значения переменных (за исключением одной) и путем дифференцирования найти локальное значение экстремума целевой функции. Затем переменным дают новые значения и повторяют расчет до тех пор, пока будет невозможно вычертить кривую локальных экстремумов. Метод хорошо иллюстрируется рис. 15-10, построенным на основе рис. 15-9. [c.331]

Начиная с любой точки ( 4), можно переместиться в любую другую точку пространства и рассчитать для нее значение целевой функции. Если расчетное значение функции меньше, чем в точке Л, то следует идти дальше в этом направлении если же она больше, то пробуют рассчитать изменение функции в противоположном направлении. Этот и предыдущий методы требуют проведения многих ступеней расчета из-за случайного характера проб. Путь отыскания экстремума можно определенным образом наметить с помощью так называемого триангуляционного метода, описанного ниже. [c.333]

Изменение Ag целевой функции должно быть максимальным, точнее говоря, ДУ1 и ДУа подбираются так, чтобы при выполнении условия (15-55) изменение было максимальным. Это условный метод нахождения экстремума, причем решить такую задачу можно с помощью множителей Лагранжа. Решение приводит к следующей зависимости [c.334]

Если они известны, то в соответствии с заданным интервалом ступени Аи с помощью зависимости (15-57) устанавливается самое крутое направление для определения экстремума. Следующая точка намечается на расстоянии Аи от точки А, а самое крутое направление определяется по рассмотренному выше методу. Логический ход такого метода обеспечивает приближение к отыскиваемому градиенту с каждым шагом. [c.334]

Общим во всех четырех описанных численных методах являются пробы, но в последовательном ряду результатов отклонения точек от самой крутой линии постепенно уменьшается кроме того, необходимо, чтобы во всех методах интервал ступени при приближении к экстремуму уменьшался, и конечное его значение должно быть таким, чтобы приблизиться к экстремуму с заданной точностью. Методы описаны для случаев с двумя переменными, однако они пригодны при любом числе переменных и хорошо программируются для машинного расчета. [c.334]

Градиентный метод расчета экстремума. Первая ступень. Интервал ступени Аы=дГ,=—0,02 [c.336]

Выше указывалось, что оптимальные основные размеры и технологические переменные зависят от величины экономических коэффициентов, так что оптимизация должна производиться при одновременном технико-экономическом анализе. Отыскивается экстремум такой целевой функции, независимая переменная которой умножена на ее экономический коэффициент. [c.337]

Экстремум определяется по значению а , при котором выполняется условие [c.338]

Задача оптимизации состоит в том, чтобы отыскать те значения d , ар, которые дают экстремум суммы + + [c.342]

При оптимизации значения р изменяют до тех пор, пока G не достигнет экстремума. Так как оптимум для предыдущей р—1 ступени уже известен и, следовательно [c.343]

Суммируемые величины в правой части уравнения (15-81) постоянны, поэтому определение экстремума полной целевой функции сводится к определению экстремума /р . При оптимизации путем [c.345]

При переходе от воды к нeвoдны г растворителям с высокой диэлектрической проницаемостью существенных изменений в зависимости электропроводности от концентрации не наблюдается. Однако в растворах с низкой диэлектрической проницаемостью, например в смеси диоксана с водой, обычный для водных растворов ход кривой молярная электропроводност — концентрация нарушается, и на ней появляются экстремумы. На рис. 4.5 показана зависимость молярной электронроводности от разведения, типичная для таких растворов. [c.113]

Следовательно, приближение к равновесию всегда носит характер экспоненциального спада п затухающие колебания не возникают. Это является общим свойством всех процессов установления химического равновесия. Принцип микроскопической обратимости (называемый также принципом детального равновесия) утверждает, что при равновесии сложной системы химических реакций каждая отдельная реакция должна находиться в равновесии. Это исключает возможность образования непрерывных циклов, например цепи реакций А В С А, скорости которых таковы, что концентрации всех веществ остаются постоянными. Таким образом, очевидно, что, приближаясь к равновесию, разность между текущими концентрациями веществ и их равновесными значениями затухает экспоненциально, а не путем затухающих колебаний. Конечно, в ходе реакции концентрации некоторых веществ могут проходить через максимумы или минимумы, прежде чем достигнуть своих равновесных значений. Однако число таких экстремумов ограничено (их может быть не более В — 1 в процессе, включающем Я независпмых реакций), в то время как в случае затухаюшцх колебаний чпсло максимумов и минимумов бесконечно. [c.78]

Иногда равновесные соотношения бывают настолько своеобразными, что монотонность возрастания съема тепла < омин/ с уменьшением предельных концентраций нарушается и на графике QDuкJD = Ц (г/гр) появляется экстремум. Такое нарушение монотонности встречается не только для заведомо далекой от идеальности системы этанол — вода, но и для весьма близкой к идеальности смеси бензол — толуол, показанной на рис. 111.21. В этих случаях во всем интервале составов, где нарушается монотонность [c.155]

Но мере уи( [ичения неидеальности раствора возрастает и степень отклонения от линейности, которая может оказаться настолько ()ол1.ми)й, что монотонность кривой зависимости давления нара раствора от его состава нарушается и на ней появляется экстремум. Так, в случае положительных отклонений от идеальности иа изотермической кривой суммарного давления в этом случае появляется максимум. Эти растворы образуются из чистых кодаюнеятов большей частью с погло1цением тепла. Согласно В. А. Кирееву 115 поглощение тепла нри образовании раствора уменьшает количество энергии, которое нужно затратить при [c.45]

Возможны также случаи, при которых одно из слагаешхх правой части уравнения (15-47) изменяется не монотонно с независимой переменной У, а обнаруживает экстремум при определенном значении У. Такое слагаемое, по-видимому, играет значительную роль в себестоимости, т. е. [c.337]

При определении минимальной работы сжатия трехступенчатого компрессора расчет экстремума целевой функции с двумя пзремен-ными был приведен к расчету экстремумов двух функций с ояной [c.341]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология