Решение систем уравнений

Следует отметить, что решение систем уравнений (IV,46) и (IV,41) иа практике может оказаться достаточио сложным. Однако вывод, сделанный относительно равенства производных (IV,46) при оптимальном распределении иотоков сырья, сам ио себе представляет практический интерес и может быть использован для организации управления производством. [c.148]

Приведенные процедуры совместно с процедурами определения параметров насыщенной жидкости, давления и температуры насыщения составляют основной пакет процедур термодинамических свойств реальных газов. С их помощью реализуются процедуры определения нужных термодинамических параметров по любым двум известным. Такие процедуры непосредственно используются при решении систем уравнений термодинамических процессов в элементах проточных частей ступеней центробежных компрессоров. [c.35]

После решения систем уравнений (V)—(VII) определяют из известных соотношений коэффициент фа и абсолютную скорость потока при выходе из рабочего колеса [c.94]

Для решения систем уравнений, приведенных в п. 1.3, необходимо определить термические и калорические величины по любым двум параметрам состояния. Виды таких операций представлены в табл. 3.1. Пары па- [c.102]

Определенные сложности вызывает и численное решение систем уравнений, описывающих процесс в аппаратах с перемешиванием. Дело в том, что граничные условия даже для стационарного режима заданы на разных концах аппарата. При числен- [c.71]

После нахождения решения систем (XI.71), написанных для нескольких температурных профилей Тр 1) (р = I, 2,. . ., Р), к и Вд определяются решением систем уравнений для каждой -и [c.441]

Поиск оптимальной стратегии решения линейных, нелинейных или трансцендентных систем уравнений математических моделей ХТС вида (П 6), (И, 7) или (И, И) осуществляют путем исследования топологических свойств ДИГ, отображающих характеристические особенности этих систем уравнений. Стратегию решения систем уравнений ХТС методом декомпозиции и разрывов при некотором наборе выходных переменных отображают в виде ациклического или циклического информационного графа. Оптимальным циклическим информационным графом системы уравнений называют такой циклический граф, для которого размер максимального замкнутого контура графа наименьший. Если символическая математическая модель ХТС представляет собой совместно замкнутую систему уравнений, то информационный граф является циклическим. [c.98]

Основная трудность расчета массообменных процессов заключается в обеспечении решения систем уравнений материального и теплового балансов, причем сложности в обеспечении сходимости решения обычно возрастают при разделении смесей с сильно неидеальными свойствами. [c.134]

Ускорение и обеспечение сходимости решения систем уравнений баланса производится часто путем введения форсирующих процедур, основанных на особенностях решаемых задач или путем объединения положительных сторон методов различных групп. Так, объединение методов линеаризации и релаксации для получения хорошего начального приближения позволяет решать более широкий класс задач при высокой скорости сходимости. На рис. 4.11 приведено характерное изменение невязки (например, по материальному балансу) для методов со скоростью сходимости первого и второго порядков в зависимости от числа итераций и изменение последней при объединении этих методов [48]. [c.135]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Это особенно эффективно при оперировании с разреженными матрицами, появляющимися при решении дифференциальных уравнений разностными методами или расчете многоступенчатых аппаратов. [c.261]

В настоящее время известно большое количество алгоритмов расчета массообменных процессов (ректификация, экстракция, абсорбция, адсорбция и т.д.), отличающихся степенью детализации отдельных элементов, но, по сути, предназначенных для решения систем уравнений материального и теплового балансов, нелинейность которых зависит от точности описания парожидкостного равновесия, кинетики массопередачи, гидродинамики потоков. Объем входной информации зависит от точности модели, однако выходная информация подавляющего большинства алгоритмов практически одинаковая — профили концентраций, потоков и температур по высоте аппарата и составы целевых продуктов. Правда, соответствие результатов расчета реальным данным будет определяться тем, насколько точно в модели воспроизведены реальные условия. [c.314]

Наиболее распространенный метод решения систем уравнений математической модели, учитывающей тепловые балансы на ступенях разделения, заключается в поочередном уточнении величин материальных потоков и значений составов. Вначале по принятым приближенно значениям потоков рассчитываются составы по всем ступеням разделения. Далее производится коррекция первоначально принятых потоков пара и жидкости, после чего вновь производится расчет составов и т. п. [c.307]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ХТС [c.72]

Рассмотрим особенности методов решения систем уравнений математических моделей ХТС на ЦВМ. [c.72]

Возможность разработки специальных методов вычислений для решения систем уравнений математических моделей ХТС, обеспечивающих минимальные затраты машинного времени ЦВМ, а также значительное уменьшение объема памяти ОЗУ, требуемого для хранения элементов матрицы ХТС и проведения итерационных процедур, обусловлена характеристическими особенностями систем уравнений (функциональных соотношений или информационных связей) математических моделей ХТС (см. стр. 43). Помимо этого система уравнений математической модели любой ХТС обладает свойством разрешимости относительно информационных переменных. Это свойство состоит в том, что для любого уравнения [c.73]

ОБЩАЯ МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ БАЛАНСОВ ХТС [c.79]

Циклический потоковый граф ХТС, потоковый граф которой изображен на рис. 1У-11, представлен на рис. 1У-17. Построение и исследование топологических особенностей материальных и тепловых графов позволяет формализовать процесс составления и получения оптимальных алгоритмов решения систем уравнений балансов ХТС. [c.134]

Наличие замкнутых контуров в информационно-потоковом мультиграфе обусловливает трудоемкость вычислительных процедур при решении системы уравнений математических моделей ХТС. Анализ, топологических особенностей мультиграфа системы позволяет так выбрать свободные информационные переменные (ИП), чтобы полностью исключить или сократить число и размеры замкнутых контуров в графе, т. е. разработать оптимальную стратегию решения систем уравнений математических моделей сложных ХТС. [c.145]

Разработанный на основе анализа топологических свойств циклических потоковых графов алгоритм расчета материальных и тепловых балансов ХТС формализует процесс составления и определения оптимальной стратегии решения систем уравнений балансов и создает объективные предпосылки для автоматизации выполнения указанных операций с помощью ЭВМ при анализе химико-технологической системы на стадиях проектирования и эксплуатации. Наряду с этим предложенный алгоритм позволяет находить точки оптимального размещения контрольно-измерительных приборов для контроля за технологическими потоками ХТС и непрерывно получать информацию о неизмеряемых с точки зрения оперативного контроля значениях технологических потоков системы с целью повышения качества управления технологическими процессами. [c.219]

За последнее время предложено несколько языков специального автоматизированного программирования и обращения к машине для прямого решения систем уравнений [64]. [c.178]

Система уравнений (2—1) содержит и + 1 неизвестных и имеет бесконечное число решений. Для получения однозначного решения систему уравнений необходимо дополнить соотношением вида [c.35]

Оператор АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМА используется для решения систем уравнений не выше 55-го порядка. Вся информация о системе задается в круглых скобках вслед за наименованием оператора. Она содержит порядок системы, наименования матрицы системы и столбца свободных членов. Решение размещается на месте столбца свободных членов и получает его наименование. Величины, задаваемые в содержательной части оператора, разделяются запятыми. [c.153]

Таким образом, чтобы найти решение системы линейных уравнений, нужно вычислить для матрицы А обратную матрицу А и умножить вектор-столбец правых частей на эту матрицу слева. Этот метод решения систем уравнений удобно применять в тех [c.252]

Решение систем уравнений производится итерационно, исходя лз некоторого начального приближения для зависимых пере- [c.77]

Уравнение (7-46) требует только соблюдения условия однородности, причем в рассматриваемом сл чае она обеспечена, так как уравнение (7-30) только тогда размерно однородно, когда размерности правой и левой его частей одинаковы. Однако при наличии этого равенства ранг размерностной матрицы х ,.. а )-пере-менных не будет измеряться показателями степени (с , Са, Сз, с ) размерностей г/-переменной. Поэтому решение систем уравнений (7-36) и (7-39) приводит к одинаковым результатам и безразлично, выбираем ли мы основную систему с размерностями или без них. Далее на примере уравнения процесса теплоотдачи, которое представляет частный случай обш ей зависимости (7-40) и дано в безразмерных переменных, будет показано, как следует применять обш ий способ решения системы уравнений в конкретном случае. При этом исходят из неявной еще зависимости между переменными [c.92]

Другими словами, если для оптимизируемого процесса найдена совокупность перемени],IX состояния х, - О, I,. . ., т I), то ирн выборе оптимального управления наряду с условиями (IV,216) должно выполняться также условие (IV-, 221) для граничных значений неременных х,- и (/ = (), I,. . ., т 1), определяемых решением систем уравнений (IV,201) и (IV,214). [c.182]

Зпес1, величины Яг,опт. И А, -опт. ( О, I,. . ., т - 1) определяются в ре ультате совместного решения систем уравнений (IV,201) и [c.183]

Устойчивость решений систем уравнений вертикального дисперсного потока при различных способах записи силы межфазного взаимодействия с учетом давления в твердой фазе и касательных напряжений и без него для одномерных и многомерных возмущений исследовалась в ряде работ. Вначале это было сделано применительно к движению фаз в псевдоожиженном слое [136, 179—183], а впоследствии — применительно к отстаиванию суспензий [184-186] и движению пузырьков в жидкости [187, 188]. Вьгеод, который был сделан всеми исследователями, однозначен система дает расходящиеся во времени решения, т. е. иными словами, вертикальный дисперсный поток неустойчив. [c.134]

Эта процедура служит для нахождения параметров в первом приближении при решении систем уравнений в других процеду-)ах, хотя в принципе может иметь и самостоятельное значение. Тоэтому в начале ее проводится сопоставление заданной плотности с критической, которая должна быть объявлена глобально и введена с массивом исходных данных. Если заданная плотность оказывается выше критической, то искомым давлению и температуре присваиваются критические значения, которые будут использованы в качестве первого приближения, а на листинге печатается предупреждение, которое может в дальнейшем оказать помощь в диагностике. При этом счет не прерывается. Используя эту процедуру для других целей, надо или ввести в ее тело необходимые изменения, или сопоставлять заданную и критическую плотности до обращения к ней. [c.103]

Термогазодинамические расчеты центробежных компрессорных машин, заключающиеся в определении термических параметров по уравнению состояния, а калорических — по уравнениям, приведенным в гл. 1 и п. 3.2, требуют значительных затрат машинного времени. Расчеты вручную практически полностью исключаются, потому что использование даже крупномасштабных диаграмм состояния не может обеспечить требуемой точности, а интерполяция термодинамических таблиц в условиях итерационного процесса решения систем уравнений слишком трудоемка. На практике можно использовать диаграммы и таблицы при расчете параметров ступени, секции или компрессора в целом, однако провести поэлементный расчет с определением параметров потока в характерных сечениях ступени затруднительно. Несмотря на то что большинство изложенных в настоящей книге методов ориентированы на машинный счет, для предварительной оценки параметров в отдельных сечениях, в частности при проверке правильности работы моделей, уже реализованных на ЭВМ, всегда приходится прибегать к расчетам вручную. Для этого требуется возможно более простой приближенный метод, обеспечивающий достаточную для инженерных целей точность. [c.113]

Наличие замкнутых контуров в ИПМГ обусловливает трудоемкость вычислительных процедур при решении систем уравнений математической модели ХТС. Анализ топологических характеристик мультиграфа ХТС позволяет осуществить такой выбор свободных информационных переменных, чтобы полностью исключить или сократить число и размеры замкнутых информационных контуров в графе, т. е. разработать оптимальную стратегию решения систем уравнений математических моделей сложных ХТС. Исключение или сокращение числа и размеров замкнутых контуров в информационно-потоковом мультиграфе основано на возможности осуществления инверсии направления ветвей графа или образования новых информационных источников и стоков в графе при сохранении постоянных значений локальных степеней свободы отдельных информационных операторов и общего числа информационных источников и стоков системы. Инверсия направления ветвей мультиграфа и образование новых информационных источников и стоков в графе соответствуют операциям изменения наборов свободных и выходных информационных переменных систем уравнений математических моделей ХТС. [c.96]

Алгоритмизация этого этана состоит в разработке математических моделей типовых процессов химической технологии. Необходимо не только качественное, но и количественное описание явлений, определяющих процесс. К настоящему времени известно большое количество алгоритмов расчета типовых процессов, отличающихся степейью детализации отдельных составляющих модели, но, по сути, предназначенных для решения систем уравнений материального и теплового балансов, нельнейность которых зависит от точности описания равновесия, химической кинетики, кинетики тепло- и массопереноса, гидродинамики потоков. Объем входной информации зависит от точности модели, однако выходная информация подавляющего большинства алгоритмов практически одинакова профили концентраций, потоков и температур по длине (высоте) аппарата, составы конечных продуктов. Правда, соответствие результатов расчета реальным данным будет определяться тем, насколько точно в модели воспроизведены реальные условия. И все же, несмотря на обилие алгоритмов, нельзя сказать, что проблема разработки моделей (и соответственно расчета) решена — по мере углубления знаний об объекте модели непрерывно совершенствуются. Тем более что до сих пор в определенном классе процессов отсутствуют алгоритмы, обеспечивающие получение решения в любой постановке задачи и обладающие абсолютной сходимостью. Надо учесть еще, что задача в проектной постановке часто решается как задача оптимизации с использованием алгоритмов в проверочной постановке. [c.120]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

Алгоритм решения систем уравнений математической модели, построенной с учетом тепловых балансов в колонне, может рассматриваться как совокупность двух алгоритмов, один из которых обеспечивает расчет составов по ступеням разделения, тогда как другой производит коррекцию величин потоков пара и жидкости в колонне. Это позволяет в значительной степени избелоть трудности, связанной с решением систем нелинейных уравнений, поскольку на каждом этапе расчета значительная часть уравнений оказывается линейной. [c.307]

Решение уравнений с одним неизвестным является весьма распространенной задачей в практике инженерных химико-технологических расчетов. Задачи такого рода возникают в расчетах при использовании однопараметрических функциональных зависимостей (определение плотности по уравнению Бенедикта—Вебба—Рубина), при расчетах стационарных условий протекания процесса (определение времени пребывания реагентов при заданной степени превращения), при расчетах паро-жидкостного равновесия (расчет температуры кипения смеси заданного состава) и т. д. Уравнения с одпим неизвестным часто возникают и при нахождении решения систем уравнений с многими неизвестными (например, при расчете бинарной ректификации), при решении дифференциальных уравнений с граничными условиями (глава 12) и т. д. [c.181]