Первая вариация

Согласно определению первой вариации ( ,64) [c.204]

Известно [64], что первые вариации функционалов и), [c.195]

Эта задача отличается от описанной выше только зависимостью функций Ф x j к), Xi ( ), щ (к)) от промежуточных параметров процесса. Поэтому в выражения для первой вариации бФ (см. доказательство теоремы 2) добавляется член [c.208]

С помощью сопряженных переменных первая вариация критерия (VII,И) может быть выражена следующим образом (см., например, работу [8, с. 235—2281) [c.140]

Для первой вариации критерия выполняется уравнение [c.141]

Условия справедливости формул (УП,54) и (VII,55). Приведенный выше вывод этих формул требует, вообще говоря, ряда дополнительных предположений, которые обеспечивали бы справедливость представления (VII,56) для первой вариации критерия оптимизации и наличие решения уравнений сопряженного процесса (VII,36)—(VII,39). Оба названных условия будут выполнены, если детерминант линеаризованной системы (VII,1), (VII,3), связанный с промежуточными фазовыми переменными х отличен от [c.147]

Первая вариация критерия. Выражение для первой вариации критерия оптимизации (Х,34) может быть выведено с помощью обобщения техники сопряженного процесса, освещенной в главе VII. [c.218]

Посредством сопряженных переменных первая вариация критерия (Х,34) выражается следующим образом [c.219]

Выражение первой вариации критерия (Х.34) через вариации переменных основного процесса х, у, имеет вид [c.220]

Формулы (Х,51) и (Х,52) следуют из выражения для первой вариации критерия (Х,41). Отметим важный для приложений частный случай этих формул. Пусть ограничения (Х,46) имеют вид [c.222]

Первая вариация I принимает вид соверщенно аналогичный (2.22) [c.77]

При вычислении первой вариации функционала Г необходимо учесть следующее. Сумма первых двух членов в (3.2), как это следует из (3.3), является функцией от координат хь и у/, точки Л. Величина уь задана, и вариация от нее равна нулю. Вычисления дают [c.90]

Первая вариация 63 равна [c.98]

Вернемся к выражению для первой вариации (4.1). Вычислим в случае непрерывных решений ту часть второй вариации 6 1, которая зависит от изменения положения точки Л. При этом, конечно, [c.115]

Выражение для первой вариации 61 в этом случае будет отличаться от (2.33) только членами, содержащими вариации от ун- Найдем их. Снова используем двойную индексацию. Как и раньше, будем иметь [c.119]

При вычислении первой вариации функционала [c.139]

Требование неизменности первой вариации при буь ф О приводит к условию трансверсальности [c.139]

Первая вариация этого функционала равна [c.171]

Общие условия равновесия термодинамических систем заключаются в том, что в состоянии равновесия энтропия и термодинамические потенциалы имеют экстремальное значение. Так, в случае систем с постоянными значениями энтропии, объема и чисел молей компонентов условием равновесия является минимум внутренней энергии, что выражается неравенством А/7>0 или двумя соотношениями б /=0 и б /2>0. При выводе конкретных условий равновесия достаточно лишь первого соотношения (б1/=0). Однако равенство нулю первой вариации является лишь необходимым условием экстремума и не обеспечивает того, чтобы внутренняя энергия была минимальной. Достаточным условием минимума внутренней энергии является положительное значение ее второй вариации, которое и обеспечивает устойчивость равновесия. [c.211]

Полная энергия Е (3.35) достигает минимума по отношению к орбиталям Ч / при условии обращения первой вариации ЬЕ в нуль или [c.65]

Равенство нулю первой вариации бФ является необходимым условием экстремальности, из которого находятся функции Ч [c.52]

Рассмотрим условия равновесия между каплей радиуса г и большим объемом пара при постоянных давлениях в каждой из фаз н постоянной температуре. Пусть вблизи равновесия небольшое число молекул, отвечающее увеличению радиуса капли на бг, переходит из пара в каплю давление, а следовательно, и химический потенциал вещества остаются при это.м практически постоянными. Условие близости системы к равновесию, т. е. к минимуму ее термодинамического потенциала записывается в виде равенства нулю первой вариации Ь З [c.30]

Величина б/, равная произведению / (0)е, представляет собой дифференциал функции 7(е) при е = 0, который в вариационном исчислении называют, первой вариацией функционала/. Поскольку можно положить [c.212]

Теперь условие того, что функция х (/) есть экстремаль фупк-шюнала /, мол ет быть сформулировано как требование равенства нулю первой вариации фуикщюнала б/ (У,64), откуда также следует найденное вынк" уравнение Эйлера. [c.201]

Для анализа искусственно создаваемых нестационарных режимов в условиях, когда существенную роль играют динамические свойства объекта, целесообразно пользоваться я-критерием [61, 64, 65]. Этот критерий основан на анализе поведения целевого функционала при малых синусоидальных вариациях, стационарного значения. Прп этом предполагается, что оптимальное стационарное управление существует и является внутренней точкой множества допустимых управлений. В таком случае первая вариация критерия качества (7.5а) обращается в нуль и исследуется вторая вариация целевого функционала около оптимального статистического управления. В стационарных условиях при V (i) = = и = onst значения переменных процесса находятся из системы (7.3а) и в случае единственности его решения однозначно определяют значения критерия (7.5а). [c.291]

Найдем теперь для функционала (У,48) первую вариацию б/, кото[)ая должна обрагцаться в нуль, если функция х (1) является экстремалью функционала. [c.204]

При вычнслепнп производной / (0) в выражении для первой вариации полагается, что функция у 1, е) произвольным образом зависит от малого параметра е. При выводе уравнения Эйлера эта зависимость принималась в виде соотнои1ения ( ,51), где ш ) — прои шольиая функция, удовлетворяющая условиям ( ,50). [c.204]

Производя интегрирование по частям второго слагаемого в подынтегральном В1 ,фаженни, с учетом соотношения (У,76) нетрудно получить следующую формулу, характеризующую значение первой вариации [c.205]

Сели теперь х (1) является экстремалью функционала (У,48), то его первая вариация (У,82) должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении для вариации обращается в нуль вследствие того, что экстремалью ) удовлетворяет уравнепн10 Эйлера и, следовательно, обращает в нуль подьштегральное выражение. [c.205]

Доказательство. Пусть X (к) ж X (к) удовлетворяют выражениям (VIII,28), ( 111,29) и ( 111,34). Найдем выраженпе для первой вариации функции Ф. С учетом системы ( 111,26) при любых (к) функция [c.205]

Вычислим первую вариацию функционала I. При этом необходимо учесть следующее. Первый интефзл в (2.20) есть функция от ус. Вариации Рс, бфс, бус связаны, поскольку характеристика ас задана. Вариации буь и бфь равны нулю, поскольку величины уь и фь фиксированы. Учитывая все это, получаем [c.71]

Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета офа-ничений, налагаемых на функции класса dI- Во второй случае искомая функция а у) уже не свободна на участке h. [c.76]

Воспользуемся выражением для первой вариации 61 в форме (2.21), но в качестве контрольного контура выберем ahb, как это было сделано в 3.2.4. При выводе выражения (2.33) было установлено, что вариация I за счет перемещения точки h по направлению характеристики второго семейства равна нулю. Это объясняется тем, что в силу непрерывности функций в точке h имеет место равенство Ф(,с = Фкь- Характеристика ah является линией разрыва производных от функций а(х,у), х,у). Поэтому и производные от и Фнь на ah не совпадают. Имея ввиду вычисление второй вариации, включим в выражение для 61 и член с бул2 В этом случае будем иметь [c.108]

Пусть теперь допустимо возрастание энтропии, tp tpaa. Введем обозначение tp = (poo >f, где О < уз, < 1. В выражении (7.6) для первой вариации 6 J появится дополнительное слагаемое [c.172]

Равенство нулю первой вариации Ф — необходимое условие экстремал1.ности, из которого находят функции Р, [c.56]

Полная энергия Е достигает минимума по отношению к орбиталям Тг при условии обрзщения первой вариации 6Е в нуль или [c.60]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология