Квадрика

В английской и в переводной литературе поверхность второго порядка иногда называют квадрикой. [c.211]

В случаях пп. 3 и 4 для нахождения рациональных интегралов в инволюции мы используем геометрический факт о конфокальных квадриках. Он состоит в следующем если прямая касается п конфокальных квадрик в точках Р1,. .., то нормали к этим квадрикам в точках, Рп взаимно перпендикулярны. [c.68]

Для этого введем семейство конфокальных квадрик, определенное формулой [c.97]

При 2 < о это эллипсоид, при бХо < < 1 < z < а2 . . это гиперболоиды, в действительности имеется /г + 1 типов таких квадрик, соответствующих интервалам (—оо, ао), (оо, а1),. .., (а 1, а ). Через [c.97]

Уравнения z = определяют искомые п+1 квадрик, пересекающихся в точке ж хорошо известно, что они пересекаются ортогонально. В действительности они обладают более сильным свойством ортогональности, которое менее известно и представляет для нас интерес. Следующая теорема принадлежит Шалю [24. [c.97]

Теорема. Если Ь — прямая, касающаяся двух конфокальных квадрик = 1 = 1 е точках х х то нормали к квадрикам в этих точках касания перпендикулярны друг другу при условии Zl ф [c.97]

Из этого замечательного свойства следует, что прямая (которая в общем случае касается п конфокальных квадрик) имеет п взаимно перпендикулярных нормалей, с ней связанных. Эти нормали, очевидно, ортогональны также самой прямой, так что мы имеем ортогональный (п + 1)-репер, ассоциированный с каждой такой прямой. [c.98]

Для определения дифференциальных уравнений для геодезических на эллипсоиде мы обобщим задачу в двух направлениях 1) мы заменим эллипсоид произвольной конфокальной квадрикой Qz x) = т и 2) определим расширенный поток прямых из предыдущего параграфа. [c.98]

Пусть Uj x) = z — некоторая из этих квадрик, рассмотрим все прямые X + у, касающиеся ее. Поскольку для заданного значения 2 Qz x)=m, условия касания прямой хЬу этой квадрики в точке = X 1 у имеет вид [c.98]

Подставляя это выражение в первое равенство, видим, что прямая х- -1у касается квадрики Qz x) = т тогда и только тогда, когда [c.99]

Упражнение 6. Касательные к произвольной геодезической на эллипсоиде касаются одного и того же множества конфокальных квадрик, т.е. независимо от точки на данной геодезической (см. [29]). [c.102]

Геометрия квадрик и спектральная теория [c.128]

Мы хотим указать связь с конфокальными квадриками к эллипсоиду (1.1), которые задаются уравнением [c.131]

Тот факт, что собственные значения А - сохраняются под действием геодезического потока, очевидно означает, что касательные к одной геодезической на эллипсоиде будут касаться п — 2 квадрик, конфокальных к эллипсоиду — также хорошо известный результат геометрии. [c.132]

Связь с конфокальными квадриками [c.146]

Пусть собственные значения матрицы Г = Г[х,у) различны. Тогда собственным вектором для Л1 = О будет ф = у, и собственные векторы при Xj ф О являются нормалями к конфокальным квадрикам в точке касания = х Sjy с прямой проходящей через х в направлении у. [c.152]

Оно лежит поэтому в плоскости Т1 = О, которая является полярной плоскостью точки х относительно абсолютной поверхности. Эту квадрику мы будем называть абсолютом пространства относительно точки х. Из равенства (XXXV) следует [c.58]

Цель данной статьи — установить связь между некоторыми классическими интегрируемыми гамильтоновыми системами и элементарной геометрией квадрик. Поводом к этому послужило следующее наблюдение. Классический подход к нахождению подходящих интегралов основывался на решении уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных (Штеккель [19], Якоби [6]). Это требует подходящего выбора переменных и искусных вычислений. Таковы случаи [c.128]

Естественно, возникает вопрос, могут ли все интегрируемые гамильтоновы системы быть описаны с помощью изоспектральной деформации. При этом проблема отыскания интегралов, при условии их существования, сводится к нахождению линейного оператора, чей спектр сохраняется. Мы не будем пытаться ответить на этот вопрос во всей его общности, тем не менее рассмотрим некоторые классические примеры, такие как геодезический поток Якоби на эллипсоиде, и построим для них изоспектральную деформацию. Соответствующая матрица оказывается симметричной, и мы дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам. Это не приводит к новым результатам в этой классической задаче, но дает интересную геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам этих операторов. В ходе данного исследования мы увидим, что наш подход также применим к уравнению Кортевега-де Фриза и, таким образом, к установлению связи между этим уравнением в частных производных и теорией конфокальных квадрик. [c.129]

Таким образом, изоспектральное лтогообразие матриц Ь х,у) с различными фиксированными собственными значениями А1, А2,..., А - отождествляется с нормальной конгруэнцией общих касательных к п — 1 конфокальным квадрикам j = 1,2,..., п — 1). Это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию спектра Ь х,у). [c.132]

Связь е результатом М. Рейда [15]. Мы бы хотели указать на связанный с данными проблемами результат, о котором нам стало известно из письма Г. Кнёррера. Майлс Рейд в своей неопубликованной диссертации в 1972 г. установил, что множество (т — 1)-мерных линейных подпространств несингулярного пересечения двух квадрик в Ат+1(С) как алгебраическое многообразие изоморфно многообразию Якоби гиперэллиптических кривых. Представляется заманчивым обнаружить связь с вышеуказанным результатом об общих касательных к п — 1 конфокальным квадрикам, в С . Такая связь действительно существует, и Кнёррер сообщил мне о красивой конструкции 1-в-2 -отображения множества общих касательных в многообразие Якоби для подходящих квадрик. [c.136]

Заключительные замечания. Указанный выше подход, очевидно, очень несистематичен и основывается на длинных вычислениях. Почему собственные значения матриц вида (1.6) находятся в инволюции Более глубокие причины еще предстоит открыть. М. Адлер, высказавший первоначальную идею относительно вида изоспектральных матррщ, в продолжении своей предыдущей работы [1] нашел общую структуру, основанную на коприсоединенном представлении алгебр Каца-Муди, которая позволила ему представить вышеописанные примеры как частные случаи общей теории. Первоначально планировалось опубликовать совместную работу с этой точки зрения однако, из-за того, что теория слишком громоздка, было необходимо выделить общие положения. Подход Адлера, основанный на теории алгебр Ли, будет опубликован где-нибудь еще. Здесь мы просто хотим показать сложную связь между спектральной теорией матриц (1.6) и геометрией квадрик. [c.136]

Таким образом, п — 1 нормалей ф = (Л — А) j = 2,..., п) и у образуют ортогональную систему. Это хорошо известная теорема из элементарной геометрии, выведенная Шале (Салмон и Фидлер [17]) нормали к двум конфокальным квадрикам IXz в точках касания с общей касательной перпендикулярны друг другу. Утверждение теоремы соответствует ортогональности системы Ф1 = у, Ф - = (Л - — А) Действительно, равенство Ф ,Ф 2 = О может быть выведено из этого геометрического факта (см. Мозер [12]). Другим следствием того же геометрического факта является то, что общие касательные к п — 1 конфокальным квадрикам 11 ,.... zn-l образуют нормальную конгруэнцию, то есть могут рассматриваться как нормали к п — 1-мерным [c.153]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология