Представление алгебры

Обозначим через а матрицы констант, определяющих базис представления алгебры Ли группы 50(3)о (3X3)-матрицами. При нарушении однородности действия группы 50(3)о (т. е. при замене = Ах(Х ) на х Х ) = [c.50]

Так, например, опыт практической реализации задач оценки переменных состояния и идентификации химико-технологических процессов с применением фильтров Калмана [9, 10, 12] позволил обнаружить ряд существенных ограничений данного подхода к решению этих задач в области химической технологии. К источникам таких ограничений можно, например, отнести форму представления математического описания системы в виде дифференциальных операторов и их конечно-разностных аппроксимаций при численных операциях. Реализация математических моделей в такой форме на ЦВМ с применением методов формальной алгебры в условиях большого уровня помех и грубых начальных оценок параметров состояния часто связана с плохой обусловленностью матриц, а отсюда и с неустойчивостью, плохой сходимостью вычислительных процедур. [c.474]

Каждая строка и каждый столбец матрицы представляют собой упорядоченный набор чисел. В принципе из К чисел можно построить К линейно независимых наборов, т. е. наборов, ни один из которых не может быть представлен как линейная комбинация других наборов. Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов и называется рангом матрицы. Ранг матрицы, в соответствии со сказанным выше, не может быть больше, чем число строк или число столбцов матрицы. В линейной алгебре доказывается, что если матрица имеет ранг г, то существует по крайней мере один определитель порядка г, составленный из элементов строк и столбцов матрицы, отличный от нуля. [c.229]

Достоинство матричной формы представления в том, что в этом случае к структурным формулам можно применять все операции матричной алгебры. Как видно из приведенных примеров (вьфажения 13.2-1 и 13.2-2), получаемые матрицы — квадратные и симметричные относительно главной диагонали, по- [c.584]

Стехиометрические расчеты не требуют от студента-химика знания каких-либо новых неизвестных ему принципиальных положений — арифметика и алгебра здесь применяются так же, как и нри решении физических задач или задач, возникающих в повседневной жизни. Единственная трудность связана с необходимостью приобретения навыка расчета таких малых величин, как атомы и молекулы, и представления значений некоторых больших чисел (число Авогадро) этих атомов и молекул. [c.125]

В заключение отметим, что существует большое число эффективных методов оценки оператора ехр (S) либо посредством конечного разложения в представлении вторичного квантования [см. формулу (153)], либо С помощью операторного уравнения для ехр (S)A ехр (—S) в терминах алгебры Ли. [c.69]

Теперь вернемся к рассмотрению алгебры представлений в терминах собственных состояний полных систем наблюдаемых. В общем случае состояние ф имеет разложение [ср. (2.10)] [c.25]

Каждое новое представление, которое вводится в этой книге, сопровождается кратким объяснением. Мы надеемся, что студенты обладают по крайней мере знаниями в рамках полного курса средней школы по химии, физике и математике — алгебре и геометрии (хотя использование вычислений начинается только [c.8]

Представление об алгебре как о совокупности правил, согласно которым складываются или перемножаются действительные или комплексные числа, давно устарело. Уже в 20-х годах нашего столетия на первый план вышло систематическое использование абстрактных и аксиоматических методов. Алгебраические операции теперь определяются весьма общим образом и применяются к произвольным элементам. В основе алгебры (как и других математических дисциплин) лежит понятие множества. Современная математика изучает множества и их отображения друг на друга, особенно те отображения, которые учитывают определенную заданную информацию — структуру. Оказывается, что при таком подходе можно найти много общего между отдельными математическими теориями. С помощью теории математических структур можно глубже понять взаимосвязи между различными областями математики. Этот процесс обобщения и объединения в то же время усиливает универсальность применения математики в других науках. Математика, основанная на понятиях алгебраических структур, упорядоченных множеств и топологических пространств, находит широкое применение в тех областях, где неприменима классическая математика. В настоящее время математика представляет общий формальный аппарат для действий на множествах, полученный при полном абстрагировании от характера элементов, образующих множество. [c.12]

Представленные ниже блок-схема и программа для решения нашей задачи понятны практически без комментариев. Звездочка ( ) — это знак умножения. В отличие от традиций алгебры при написании программ для обозначения умножения следует всегда пользоваться этим знаком. Для сложных задач сначала составляют наиболее рациональную блок-схему (схема 1), которая определяет стратегию решения. Обычный порядок выполнения операций, указанных в блок-схеме, — сверху вниз. Если порядок выполнения операций в каком-либо месте изменяется, то это указывают стрелками. [c.10]

Наиболее общий метод решения стехиометрических задач, использующий аппарат линейной алгебры, будет изложен ниже. Сейчас познакомимся с простым способом решения, связанным с представлением материального баланса реакции в виде ориентированного графа. [c.103]

Это — лишь удобная сокращенная форма представления данной совокупности величин или чисел, позволяющая производить над ними определенные операции в соответствии с правилами линейной алгебры. [c.143]

Для развития представлений о закономерностях сложных реакций оказалось весьма полезным применение одного из разделов линейной алгебры и топологии — теории графов. Основные положения теории можно найти в монографиях [332—335]. Она была использована Темкиным [307—309], а затем и другими авторами [336—340] для иллюстрации и анализа механизмов сложных реакций, а также вывода кинетических уравнений. Ранее графы были применены Кингом и Альтманом при выводе кинетических уравнений ферментативных реакций [3411. Остановимся сначала на основных понятиях теории графов. [c.169]

Теория активированного комплекса совместно с теорией кинетики сложных реакций, разработанной автором, позволяет дать рациональную классификацию сложных реакций. Актуальность вопроса видна из того, что сложные реакции наиболее часто встречаются на практике между тем до сих пор нет четкого разграничения понятий для ряда даже часто встречающихся типов сложных реакций. Новая классификация делает попытку суммировать и обобщить накопившийся в химии опыт в этой области на основе определенных структурных представлений. Оказывается, что сложные реакции представляют собой линейные структуры, и потому к ним применимы методы структурной алгебры. Последние имеют две стороны изобразительную, или геометрическую, и расчетную, или алгебраическую. В этой главе мы остановимся на новом способе представления сложных реакций. Сущность предлагаемого метода состоит в следующем. [c.283]

Таким образом, методы структурной алгебры, будучи применены к сложным реакциям, представленным через матрицы реакционных сетей W, дают возможность автоматически находить различные характеризующие эти реакции уравнения и данные. [c.361]

С точки зрения структурных матриц для вычисления свойств молекулы из атомных констант достаточно 0-мерные элементы изоморфно заместить их атомными константами и взять сумму последних. Такая сумма элементов по диагонали в матричной алгебре носит название следа ( первый след). Итак, аддитивное свойство молекулы есть первый след структурной матрицы атомных констант. Структурная матрица (8.129) передает 0-мерные элементы муравьиной кислоты (8.130) получена из нее изоморфным замещением на атомные рефракции. Молекулярная рефракция (пропорциональная поляризуемости) есть след матрицы (8.130). Представление свойств посредством структурной матрицы шире, чем обычное определение аддитивности, приведенное выше. Каждому атому элемента нулевого порядка в структурной матрице может соответствовать различная атомная константа, к чему в ряде случаев приходится прибегать и в аддитивных расчетах. Так, в (8.130) атомная рефракция обоих атомов кислорода различна. [c.428]

Задачи настоящей статьи многообразны и, к сожалению, она не избежала недостатков, присущих такому многообразию. Некоторые замечания, касающиеся обработки и применения представленного материала, могут оказаться полезными для читателя. Многие из тех, кто пожелает воспользоваться приведенными здесь результатами и описанными методами, возможно, недостаточно знакомы с линейной алгеброй, используемой в настоящей статье. Поэтому в большинстве случаев линейная алгебра рассматривается с позиций геометрических представлений, которые возникают при решении кинетических проблем . Таким образом, от читателя не требуется специальной подго- [c.71]

Возможность толкования положений линейной алгебры на основе геометрических представлений. при решении кинетических проблем, сделает эту полезную отрасль математики более доступной для экспериментатора. Действительно, легкость, с которой можно представить результаты и развить методы, пользуясь геометрическими терминами, должна способствовать широкому применению экспериментаторами данного математического метода, [c.71]

Читателю, недостаточно знающему линейную алгебру, следует прн первом чтении основных разделов, не обращать внимания, насколько это возможно, на алгебраические обозначения и мыслить геометрическими представлениями. В этом отношении раздел VI является наиболее трудным, так как он содержит много алгебраических выкладок. Этот раздел, однако, является важным для исследователей в области гетерогенного катализа. Читатель, знакомый с линейной алгеброй, может получить основные сведения из разделов II, А И, Б, 2, в, г, д, ж, л II, В приложения I разделов IV, А VI, А и VII. [c.72]

Основное содержание монографии составляют гл. IV и V. После вступительной части (гл. I) следуют две небольшие главы (II и III), которые знакомят читателя (химика ) с применяемым математическим аппаратом. Однако складывается впечатление, что неподготовленному читателю материала этих глав все же недостаточно для освоения следующих разделов. Особенно это относится к гл. III, посвященной основам теории групп и их представлений. Впрочем, этот недостаток книги нам кажется не очень существенным, поскольку на русском языке имеется много прекрасных руководств, как оригинальных, так и переводных, в которых математический аппарат алгебры тензоров и теории групп изложен с необходимой полнотой (например, Каплан И. Г., Симметрия многоэлектронных систем, Наука , М., 1969). [c.6]

V) вычисление вероятности безотказной работы системы, которая определяется как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики [c.67]

В книге представлен важный раздел современного математического аппарата физической химии, основанный на использовании методов линейной алгебры для описания сложных химических превращений. Рассмотрены методы решения наиболее часто встречающихся в физической химии задач, связанных с линейными комбинациями стехиометрических уравнений и с нахождением ряда линейных и степенных функций. Определяются линейные пространства для множеств атомов, молекул, реакций и дается описание мето- [c.2]

Весь материал в этом разделе излагается с единой точки зрения вопроса о сепарабельности. Можно попытаться сформулировать общие критерии сепарабельности для любой теории независимо от каких бы то ни было приблиягений. Этот критерий заключается в следующем. Если система сострит из двух невзаимодействующих подсистем, то это должно явно проявляться на каждом этапе любой теории для такой системы. В рамках квантовой механики, хотя и не тривиально, но все ке возмоншо удовлетворить сформулированному критерию сепарабельности. Оказывается, имеется тесная связь между критерием сепарабельности и связными групповыми (linked luster) [la-г, 2а, б] и кумулятивными разложениями [За-д1, а также формулировкой квантовой механики в рамках представлений алгебры Ли [4а-и]. [c.48]

Заключительные замечания. Указанный выше подход, очевидно, очень несистематичен и основывается на длинных вычислениях. Почему собственные значения матриц вида (1.6) находятся в инволюции Более глубокие причины еще предстоит открыть. М. Адлер, высказавший первоначальную идею относительно вида изоспектральных матррщ, в продолжении своей предыдущей работы [1] нашел общую структуру, основанную на коприсоединенном представлении алгебр Каца-Муди, которая позволила ему представить вышеописанные примеры как частные случаи общей теории. Первоначально планировалось опубликовать совместную работу с этой точки зрения однако, из-за того, что теория слишком громоздка, было необходимо выделить общие положения. Подход Адлера, основанный на теории алгебр Ли, будет опубликован где-нибудь еще. Здесь мы просто хотим показать сложную связь между спектральной теорией матриц (1.6) и геометрией квадрик. [c.136]

Пусть 17 — непустое компактное метризуемое пространство и ж т — представление группы Ъ " гомеоморфизмами пространства Г2 (г° — тождественное преобразование и = г г ). Обозначим через банахову алгебру (Г2) непрерывных действительных функций на Г2 с равномерной нормой. Вероятностные меры на ft (называемые также состояниями) образуют выпуклое компактное метризуемое подмножество слабо дуального к пространства ( состоит из действительных мер на i2 и снабжено слабой, топологией). Множество I инвариантных относительно т состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке (см. приложение А.5.5). Крайние точки множества I называются эргодичеекими состояниями, и так как I — метризуемый симплекс, каждое состояние а I допускает единственное разложение на эргодические состояшм, называемое эргодическим разложением, (см. приложение А.5.6). [c.133]

С. включает как теоретич. представления, так и эксперим. методы. В области теории она широко использует аппарат квантовой химии, а также таких мат. дисциплин, как теория групп, алгебра, теория графов, топология (см. Топология в химии), теория множеств. С. использует все инструментальные методы исследования особое место занимают хироптич. методы (дисперсия оптич. вращения и круговой дихроизм и др.), а также спектроскопия ЯМР, в к-рой установлены спец. эффекты, имеющие чисто стереохим. [c.433]

В физике для описания свойств собственного углового момента элементарных частиц используются специальные унитарные группы SU(n), где п равно 2/+ 1- Специальная унитарная группа — это группа всех унитарных матриц (т. е. таких, для которых обратная матрица совпадает с сопряженно-транспонированной) размерности п с детерминантами, равными - -1- В такой группе собственный угловой момент (спин) отдельной частицы преобразуется по первому нескалярному неприводимому представлению группы (т. е. первому с размерностью больше единицы). Правильно симметризованные совокупности одинаковых частиц преобразуются по представлениям высших размерностей. [Группа трехмерных вращений R(3) является подгруппой всех групп SU(n).] Существуют две равноправные схемы обозначения представлений для групп SU(n) обозначения из симметрических групп S(yV), а также обозначения, связанные с угловым моментом. Эти соображения, а также то обстоятельство, что алгебра групп -SU(n) хорошо развита, делают удобным использование групп SU (п) для описания спиновых свойств. [c.355]

Таблица связности может быть использована для представления связей углерода с гетероатомом, аксиальных заместителей в циклогексановом кольце, кольцевых связей и т. д. По отношению к наборам можно использовать все операции булевой алгебры ( и , или , исключающее или и нет ). Например, если нужно идентифицировать карбонильную группу в структуре нашего кетона, в программе осуществляется операция и между наборами, отвечающими DBONDAT и OXYGEN (поскольку нам известно, что в ЦС присутствуют только атомы углерода и кислорода) . [c.35]

Книга посвящена систематическому изложению современной теории фазовых переходов. В ней изложены теоретические представления, необходимые для описания взаимодействующих критических флуктуаций (гипотеза подобия, алгебра флуктуирующих величин, конформная инвариантность, ренормгрушха). Теория применяется для описания конкретных явлений. Проводится сопоставление с экспериментом. Особое внимание уделено системам с непрерывной группой симметрии (сверхтекучая жидкость, гейзенберговский магнетик), свойства которых при всех температурах ниже точки перехода определяются сильными гидродинамическими флуктуациями. Книга содержит много оригинальных результатов. Большинство вопросов, затронутых в книге, никогда не излагалось в систематической форме. [c.2]

Таким образом, величины играют роль внешних полей. Собственные значения А,- являются масштабными размерностями этих полей. Соответствующие векторь у определяют флуктуирующие величины Аи Обратим внимание на прямое соответствие между излагаемой здесь теорией и гипотезой алгебры флуктуирующих величин (см. гл. II). Именно, согласно гипотезе алгебры величина в координатном представлении может быть представлена как интеграл от Л.(х) [c.255]

Монография, написанная известным советским ученым, академиком А. А. Баландиным, является завершающей частью трехтомного труда по созданной им мультиплетной теории катализа. Часть I выпущена в 1963 г., часть II — в 1964 г. В III части книги с точки зрения мультиплетной теории изложены основы теории гидрогенизации и классификации реакций органического катализа, охватывающей около 2000 типов органических реакций, теория сложных реакций и структурная алгебра в применении к химии. Детально рассмотрены механизм и кинетика каталитической гидрогенизации и родственных реакций обмена с дейтерием, гидрогенолиза и дегидрогенизации. Даны рекомендации для количественной обработки результатов при избирательной гидрогенизации олефиновых и ацетиленовых соединений, проведен критический анализ существующих в настоящее время представлений в области гидрогенизации органических соединений. [c.2]

Практическая важность быстро накапливающегося экспериментального материала по сложным реакциям требует разработки их теории. Структурная алгебра помогает раскрыть аналогию между способом соединевия атомов в. молекулы и элементарных процессов в сложные реакции. Обнаруживается возможность двух родов графических представлений сложных реакций посредством кинетических формул, структурно соответствующих формулам строения молекул, и посредством кинетических фигур, в принципе соответствующих стереохимическим моделям. Те и другие тесно связаны со структурными матрицами. [c.312]

Акривос и Амундсон [50, 51] пользовались матричной алгеброй при исследовании нестационарного поведения стадийных химических процессов. Вместо выражения для изменения длины характеристических векторов они пользовались формулой Сильвестера — Лагранжа — Бухгейма [52]. Несмотря на то что эта формула эквивалентна изменению длины характеристического вектора, ею труднее оперировать и ее нелегко связать с такими физическими представлениями, как прямолипейпые пути реакции. [c.241]

Сохранились отрывочные сведения о том, что вопросами приложения математики к химии Ломоносов занимался и раньте. В своем письме а Академию Наук от 5 (16) ноября 1740 г. из Марбурга он писал Теперь я проживаю инкогнито у моих друзей в Марбурге и упракняюсь в алгебре, намереваэсь приложить ее к химии и физике мельчайших частиц (Куник, I, тр. 18 ). В протоколах Конференции Академии Наук за 1741 г и за последующие годы ни аких свгдений о представлении в Конференцию рукописи Элементы математической химии нет. [c.545]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология