Кортевега Фриза уравнение

Эти уравнения рассматривали Кац и ван Мербеке при дискретизации уравнения Кортевега-де Фриза [8] . Предложенные выкладки, конечно, не являются новыми они совершенно аналогичны проведенным Флашкой [4]. Но мы будем использовать указанное представление (2.3) дифференциального уравнения (2.4) для описания его решений в виде рациональных функций от экспонент (раздел 6) и изучения задачи рассеяния, относящейся к (2.5) (раздел 7). [c.43]

В самом деле, связи, подобные имеющейся между системой Калоджеро с потенциалом ( 4) и уравнением Кортевега-де Фриза, довольно неожиданны. Здесь мы опишем недавно обнаруженную, удивительную связь уравнения Хилла, имеющего конечнозонный потенциал, с геодезическими на эллипсоиде. [c.63]

Вероятно, в основе всех этих явлений лежит общее объяснение. Один из аргументов в пользу этого состоит в том, что все эти примеры связаны с уравнением Кортевега-де Фриза. Для пп. 1 и 2 это хорошо [c.68]

В действительности подобные конструкции применимы к цепочке Тода (соответствующая группа представлена верхнетреугольными матрицами и уравнению Кортевега-де Фриза, как это было недавно показано М. Адлером [20] ). [c.79]

Б. A. Дубровин, В. Б. Матвеев, . П. Новиков. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, 31 1, с. 59-146. [c.126]

За последние 15 лет интегрируемые гамильтоновы системы вновь приобрели большой интерес в связи с изучением дифференциальных уравнений в частных производных, которые могут рассматриваться как системы с бесконечным числом степеней свободы. В этом случае интегралы образуют бесконечную последовательность сохраняющихся функционалов. Наиболее известным примером является уравнение Кортевега-де Фриза щ + uux + Uxxx — О- Обширные исследования этого уравнения привели к поразительным связям с теорией рассеяния, спектральной теорией, комплексным анализом гиперэллиптических кривых и их -функциями, дифференциальной геометрией. [c.128]

С другой стороны, в недавних исследованиях дифференциальных уравнений в частных производных были найдены интегралы в виде собственных значений некоторых линейных операторов, которые зависят от решения дифференциального уравнения, но обладают той особенностью, что их спектр сохраняется для каждого решения рассматриваемого дифференциального уравнения. Таким образом, с течением времени линейный оператор изменяется так, что его спектр остается фиксированным, то есть претерпевает изоспектральную деформацию. Собственные значения, рассматриваемые как функционалы, представляют собой интегралы. Этот подход, состоящий в применении изоспектральной деформации к линейному оператору, был развит П. Д. Лаксом в связи с уравнением Кортевега-де Фриза и применен рядом исследователей ко многим другим случаям. [c.129]

Естественно, возникает вопрос, могут ли все интегрируемые гамильтоновы системы быть описаны с помощью изоспектральной деформации. При этом проблема отыскания интегралов, при условии их существования, сводится к нахождению линейного оператора, чей спектр сохраняется. Мы не будем пытаться ответить на этот вопрос во всей его общности, тем не менее рассмотрим некоторые классические примеры, такие как геодезический поток Якоби на эллипсоиде, и построим для них изоспектральную деформацию. Соответствующая матрица оказывается симметричной, и мы дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам. Это не приводит к новым результатам в этой классической задаче, но дает интересную геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам этих операторов. В ходе данного исследования мы увидим, что наш подход также применим к уравнению Кортевега-де Фриза и, таким образом, к установлению связи между этим уравнением в частных производных и теорией конфокальных квадрик. [c.129]

В течение последних пятнадцати лет появились многочисленные публикации по интегрируемым гамильтоновым системам, солитонам, уравнению Кортевега-де Фриза. Интегрируемые гамильтоновы системы — это нелинейные дифференциальные уравнения, которые имеют достаточное количество симметрий и в большей или меньшей степени допускают явные решения (отсюда и название). Оказалось, что эти системы находят приложения в различных областях физики, в таких, как механика жидкости, физика плазмы, нелинейная оптика и т.д. Математическая теория раскрыла глубокие связи таких систем с дифференциальной геометрией, теорией алгебр Ли и алгебраической геометрией, спектральной теорией линейных операторов в гильбертовом пространстве, однако последнее слово еще не сказано. [c.184]

Замечательный пример представляют собой задачи нелинейного распространения волн на поверхности тяжелой жидкости, описываемые уравнением Кортевега—де Фриза. Имеются хорошо и давно известные решения, оцисывающие уединенные волны (иначе солитоны), распространяющиеся со скоростью, зависящей от амплитуды. Существуют теоремы, доказывающие устойчивость солитонов даже после их столкновения, и теоремы, определяющие асимптотическое поведение начальных распределений общего типа, превращающихся в последовательность солитонов. Подсказанные численными расчетами, эти свойства теперь строго доказаны аналитическими средствами необычайной красоты. В этих решениях проявляются все свойства идеального автомодельного решения второго рода. [c.8]

Автомодельность связывается [19, 109] с нелинейной, во-обнде говоря, задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиальным вопрос о множестве собственных значений в этой задаче — спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных. Все просто, если спектр состоит из одной точки, как в рассмотренной выше модифицированной задаче теплопроводности. Если же спектр состоит более чем из одной точки, в частности, если он непрерывен, показатели степени в автомодельных переменных зависят от начальных условий исходной неавтомодельной задачи. Замечательный пример здесь доставляет автомодельная интерпретация известного уравнения Кортевега—де Фриза (см. главу 7). [c.23]

Спектр собственных значений X непрерывен и полуограничен А 0. Имеется, однако, существенная разница между непрерывным спектром в задаче о распространении гена и в рассматриваемой задаче. В первой задаче только нижняя точка спектра Х = ко удовлетворяет требованию, чтобы решения начальных задач с начальными данными переходного типа стремились к данному решению типа бегущей волны при /->оо для всех остальных X это не так, и поэтому соответствующие решения неустойчивы. Для уравнения Кортевега—де Фриза Гарднер, Грин, Крускал и Миура 129] (см. также [159]) сделали замечательное открытие при ->оо и больших положительных х любое решение задачи Коши [c.128]

Поучительна автомодельная интерпретация изложенного выше результата для уравнения Кортевега—де Фриза (7.42). Если положить в этом уравнении л = 1п = 1п т, то уравнение (7.42) перепишется в виде [c.130]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология