Изоспектральные деформации

В качестве первого шага рассмотрим дифференциальное уравнение (2.7), которое представляет собой деформацию матрицы Якоби L, не изменяющую спектр. Существует много таких изоспектральных деформаций, которые соответствуют различным матрицам В. Мы ограничимся здесь кососимметричными матрицами S, порождающими ортогональные преобразования подобия, которые вместо одной пары ненулевых диагоналей допускают несколько таких пар. Пусть Вр представляет собой кососимметричную матрицу с р ненулевыми диагоналями и диагоналями, смежными им (из условия кососимметричности). Таким образом, матрица Б, определенная в (2.7), будет обозначаться Bi. Потребуем, чтобы для каждого р в интервале 1 р < п можно [c.29]

Три интегрируемые гамильтоновы системы и их связь с изоспектральными деформациями [c.36]

Для получения изоспектральных деформаций Лаке [10] рассматривал дифференциальные уравнения в форме [c.42]

Очевидно, что (2.3) приводит к изоспектральным деформациям. Если решать дифференциальное уравнение [c.42]

Замечателен тот факт, что эта система обладает п интегралами движения, являющихся полиномами по хи и хи — Это снова может быть получено при рассмотрении изоспектральных деформаций другого класса матриц. [c.44]

Вновь обратимся к уравнениям (2.4) и (2.5) и изучим их решения, используя тот факт, что эти дифференциальные уравнения описывают изоспектральные деформации матриц Якоби. Начнем с введения множества переменных г/. на многообразии матриц Якоби (2.1) с фиксированным спектром. Это аналог обратной спектральной задачи. [c.53]

Это завершает доказательство замечания о связи между дифференциальным уравнением (2.5) Каца и ван Мербеке и уравнениями (7.10) для цепочки Тода. Первое соответствует изоспектральной деформации матриц Якоби X, определяемых выражением (2.1), с нулями на диагонали, в то время как дифференциальное уравнение второго порядка соответствует таким деформациям с произвольными диагональными элементами (см. [4, 12]). Чтобы установить между ними связь, построим матрицу которая не является более тридиагональноР , но аналогична ей. Действительно, обозначив (а = 1, 2,..., п) единичные векторы, находим, что оставляет пространства Е1 = 8рап е1, ез,... и [c.60]

В этих неформальных лекциях мы рассмотрим некоторые интегрируемые гамильтоновы системы, возникшие в последнее время в связи с исследованием самых разных вопросов. Нашей целью будет обсуждение различных аспектов интегрируемости систем, таких, как представления групп, изоспектральная деформация, геометрический смысл. Поскольку этот предмет все еще далек от полного понимания и систематизации, мы рассмотрим много примеров, на первый взгляд никак не связанных между собой. [c.63]

Примеры интегрируемых систем, изоспектральные деформации [c.67]

Как увидеть интегрируемый характер этих систем и скрытые симметрии, лежащие в основе их интегрируемости К решению этой задачи нет систематического подхода. Мы найдем различные причины, обуславливающие существование интегралов. В случаях пп. 1 и 2 интегралы находятся как собственные значения некоторого класса матриц, а дифференциальные уравнения соответствуют деформациям этих матриц, оставляющим спектр неподвижным (изоспектральные деформации). [c.68]

С другой стороны, в недавних исследованиях дифференциальных уравнений в частных производных были найдены интегралы в виде собственных значений некоторых линейных операторов, которые зависят от решения дифференциального уравнения, но обладают той особенностью, что их спектр сохраняется для каждого решения рассматриваемого дифференциального уравнения. Таким образом, с течением времени линейный оператор изменяется так, что его спектр остается фиксированным, то есть претерпевает изоспектральную деформацию. Собственные значения, рассматриваемые как функционалы, представляют собой интегралы. Этот подход, состоящий в применении изоспектральной деформации к линейному оператору, был развит П. Д. Лаксом в связи с уравнением Кортевега-де Фриза и применен рядом исследователей ко многим другим случаям. [c.129]

Естественно, возникает вопрос, могут ли все интегрируемые гамильтоновы системы быть описаны с помощью изоспектральной деформации. При этом проблема отыскания интегралов, при условии их существования, сводится к нахождению линейного оператора, чей спектр сохраняется. Мы не будем пытаться ответить на этот вопрос во всей его общности, тем не менее рассмотрим некоторые классические примеры, такие как геодезический поток Якоби на эллипсоиде, и построим для них изоспектральную деформацию. Соответствующая матрица оказывается симметричной, и мы дадим геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам. Это не приводит к новым результатам в этой классической задаче, но дает интересную геометрическую интерпретацию собственным значениям и собственным векторам этих операторов. В ходе данного исследования мы увидим, что наш подход также применим к уравнению Кортевега-де Фриза и, таким образом, к установлению связи между этим уравнением в частных производных и теорией конфокальных квадрик. [c.129]

Выберем это 2п-параметрическое семейство матриц за отправную точку, рассмотрим алгебраическое многообразие 9Я(Л1, Л2,..., Хп) при таких ж, у что Ь х у) имеет фиксированный спектр А1, Л2,..., А , и изучим изоспектральные деформации этих матриц. Основное наблюдение состоит в следующем. Если рассмотреть симплектическое многообразие (Ж , о ) с симплектической 2-формой [c.133]

Теорема 2. Векторное поле (2.11) с Н (2.9) определяет изоспектральную деформацию (2.12) матрицы (2.4), где [c.141]

Изоспектральные деформации. Так как нули 1 — Ф (ж,у) являются собственными значениями матрицы [c.149]

Таким образом, п — 1 корней Ф (ж,у) являются собственными значениями Ь и п-ое собственное значение Л = О, соответствующее собственному вектору у. Очевидно, что матрица (3.5) подвергается изоспектральной деформации под действием потока (3.4). Сделаем это более явным, записывая дифференциальные уравнения (3.4) в форме Лакса [c.150]

Следствие. Если Н = Я(С1, 2, , < п) векторное поле Хн соответствует изоспектральной деформации (3.8), (3.9), где [c.151]

Оказывается, что к классическим задачам Якоби и Неймана можно подойти и разрешить их с помощью метода изоспектральных деформаций некоторых классов матриц — вместо разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. [c.188]

Классические интегрируемые гамильтоновы системы и изоспектральные деформации [c.189]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология