Ляпунова

В книге излагаются основы исследования устойчивости режимов работы химических реакторов идеального смешения. Описывается процедура составления математических моделей реакторов. Для исследования устойчивости в малом и в большом используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. Применение различных методов иллюстрируется конкретными примерами. [c.4]

В работах А. М. Ляпунова было показано, что между устойчивостью положения равновесия исходной нелинейной системы [c.25]

Используем в качестве функции Ляпунова квадратичную форму [c.163]

Глава V. Исследование устойчивости реакторов вторым методом Ляпунова [c.2]

Устойчивость положений равновесия динамической системы может быть исследована при помощи первого метода Ляпунова. [c.25]

В пятой главе книги кратко излагаются основы второго метода Ляпунова и рассматривается его применение к некоторым моделям реакторов. [c.9]

Устойчивость в малом. Первый метод Ляпунова [c.24]

Такое определение устойчивости, конечно, не является математически точным. Точное определение устойчивости в том смысле, который мы имеем в виду, а именно устойчивости по Ляпунову, можно найти как в монографии А. М. Ляпунова так и в других книгах [c.25]

Рассмотрим часто используемый прием построения функций Ляпунова в виде квадратичных форм. [c.162]

Это дифференциальное уравнение хотя и нелинейно, но в нем, так же как и в уравнении (И1,9), можно разделить переменные. Не будем останавливаться на его решении, а выясним устойчивость в малом с помощью первого метода Ляпунова. [c.68]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕАКТОРОВ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА [c.157]

I торой или прямой метод Ляпунова позволяет определить устойчивость исследуемой системы, не отыскивая решение уравнений и не прибегая к их линеаризации. Этот метод является математическим развитием энергетического подхода к анализу устойчивости. [c.157]

Для краткой характеристики возможностей, заложенных во втором методе Ляпунова, необходимо напомнить некоторые понятия, используемые в теории устойчивости. [c.157]

Ниже кратко излагаются основные положения второго метода Ляпунова. Для более подробного ознакомления с ним кроме монографии Ляпунова могут быть рекомендованы, например, следующие книги Сведения по теории матриц, используемые в данной главе, можно найти как в некоторых из этих книг, так и в специальной литературе [c.158]

При исследовании устойчивости такой системы прямым методом Ляпунова рассматриваются функции V (xi, Х2,..., Хп), относительно которых предполагается, что они определены и однозначны в некоторой области G, включающей начало координат, обращаются в нуль при xi = Х2=. .. = х = О и обладают непрерывными частными производными первого порядка. [c.158]

В основе второго метода Ляпунова лежит несколько теорем, определяющих достаточные признаки устойчивости системы в заданной области отклонений от положения равновесия. Прежде чем сформулировать эти теоремы, необходимо дать определение устойчивости в смысле Ляпунова. [c.160]

Для простоты обратимся к системам второго порядка, поведение которых может быть истолковано при помощи фазовой плоскости. Предположим, что система имеет единственное положение равновесия. Если удалось найти функцию Ляпунова [c.161]

В некоторых случаях для систем второго порядка функцией Ляпунова может служить простейшая квадратичная форма [c.164]

Чтобы найти границы области асимптотической устойчивости положения равновесия, соответствующие найденной функции Ляпунова, определим условия смены знака V. Для этого приравняем (V, 11) нулю и найдем пересечение кривой У = О с осью I, т. е. с прямой т] = О [c.166]

Определение. Положение равновесия рассматриваемой системы дг,-, называется устойчивым по Ляпунову, если для всякого положительного числа е, как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число 6(е), такое, что для всех возмущенных движений xi = xi(x), для которых в начальный момент т = То, выполняются неравенства [c.160]

Этому математическому определению устойчивости можно дать следующее физическое истолкование. Положение равновесия динамической системы называется устойчивым по Ляпунову, если после малого отклонения от этого положения (в пределах, определяемых величиной 6) система на протяжении всего дальнейшего времени продолжает оставаться вблизи него (в пределах, определяемых величиной е). [c.161]

Перейдем к теоремам Ляпунова. [c.161]

Доказательство теорем Ляпунова можно найти в цитированных монографиях. Здесь мы ограничимся лишь геометрической интерпретацией. [c.161]

Пользуясь выражениями (V, 7), можно построить функцию Ляпунова для линеаризованной системы, которая будет удовлетворять требованиям теорем Ляпунова в некоторой окрестности положения равновесия исходной нелинейной системы. Эта процедура построения функции Ляпунова будет использована ниже при исследовании устойчивости изотермического реактора. [c.164]

Квадратичная форма (V,5), которую мы хотим использовать в качестве функции Ляпунова, будет иметь вид [c.165]

Существует много различных способов построения функции Ляпунова, но все они, к сожалению, носят характер индивидуального пошива . Применимость каждого способа ограничена определенным типом или классом уравнений. В ряде случаев процедура нахождения функции Ляпунова оказывается очень сложной, требующей большой выдумки и фантазии. [c.162]

Вардена, Ариса и Амундсона будем строить функции Ляпунова по линеаризованным уравнениям. [c.165]

Попытаемся оценить область возможных возмущений путем построения функции Ляпунова. Для этого, опираясь на работу [c.164]

Для построения функции Ляпунова необходимо прежде всего задаться симметрической положительно определенной матрицей С, чтобы затем из уравнения (V,6) найти матрицу В. Пусть С будет единичной матрицей [c.165]

Возьмем в качестве предполагаемой функции Ляпунова простейшую квадратичную форму [c.167]

Подставляя = —5, г = О в функцию Ляпунова, найдем ее значение в этой точке, которое мы обозначим через 1/ . [c.166]

В некоторых случаях функцию Ляпунова удается найти, не прибегая к линеаризованным уравнениям. Если при этом окажется, что функция Ляпунова удовлетворяет требованиям асимптотической устойчивости во всей имеющей смысл области фазового пространства, то это будет означать, что система устойчива в целом. [c.166]

Отсюда следует, что положение равновесия является неустойчивым фокусом. Найдем с помощью подходящей функции Ляпунова область неустойчивости, охватывающую это положение равновесия. [c.169]

Эта функция не является положительно определенной на всей фазовой плоскости. Еслн V h—минимальная величина т]) на кривой К( , ii) = 0, то замкнутый контур К( , ri) = = Ушан будет ограничивать наибольшую область неустойчивости, соответствующую данной функции Ляпунова. Эта область изображена на рнс. V-1 вместе с кривой 1]) = О и одной из фазовых траекторий. [c.171]

Для исследования устойчивости выбираем в качестве функции Ляпунова простейшую квадратичную форму [c.172]

Для положительных значений а и р, удовлетворяющих этому неравенству, квадратичная форма (У,23) является функцией Ляпунова, а исследуемое невозмущенное движение для соответствующей области пространства параметров является асимптотически устойчивым. [c.173]

Ляпуновым был предложен следующий способ использования квадратичных форм для построения функций V. Система линеаризуется, а функция V задается в виде квадратичной формы (V, 3) с неопределенными коэффициентами. Затем ко эффициенты функции V определяются из условия, что эта функция и ее производная будут знакоопределенными функциями противоположных знаков. [c.163]

Эта производная является знакоотрицательной в области фазовой плоскости, соответствующей >—1 и т] >—1. Следовательно, квадратичная форма (V, 15) является функцией Ляпунова для системы (V, 14), которая обладает асимптотической устойчивостью в указанной выше области. Но, так как мы условились, что 5 = г/ ,- = 1, а концентрации не могут быть отрицательными, то значение и т], меньшие, чем —1, не имеют физического смысла. Значит, асимптотическая устойчивость имеет место во всей имеющей смысл части фазовой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что система (V, 14), а следовательно, и исходная система (V,12) (при коэффициентах, соответствующих 5 = /5=1), обладают устойчивостью в целом. [c.167]

Проблема устойчивости реактора периодического действия была сформулирована и решена итальянским ученым Ф. Форабо-ски в 1960 годуНасколько нам известно, в этой работе впервые нснользовался прямой метод Ляпунова для анализа устойчивости. химических систем. [c.171]

Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым Методом Ляпунова, Изд. Мир , 1964. [c.174]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология