Функция Ляпунова

Используем в качестве функции Ляпунова квадратичную форму [c.163]

Рассмотрим часто используемый прием построения функций Ляпунова в виде квадратичных форм. [c.162]

Для простоты обратимся к системам второго порядка, поведение которых может быть истолковано при помощи фазовой плоскости. Предположим, что система имеет единственное положение равновесия. Если удалось найти функцию Ляпунова [c.161]

В некоторых случаях для систем второго порядка функцией Ляпунова может служить простейшая квадратичная форма [c.164]

Чтобы найти границы области асимптотической устойчивости положения равновесия, соответствующие найденной функции Ляпунова, определим условия смены знака V. Для этого приравняем (V, 11) нулю и найдем пересечение кривой У = О с осью I, т. е. с прямой т] = О [c.166]

Пользуясь выражениями (V, 7), можно построить функцию Ляпунова для линеаризованной системы, которая будет удовлетворять требованиям теорем Ляпунова в некоторой окрестности положения равновесия исходной нелинейной системы. Эта процедура построения функции Ляпунова будет использована ниже при исследовании устойчивости изотермического реактора. [c.164]

Квадратичная форма (V,5), которую мы хотим использовать в качестве функции Ляпунова, будет иметь вид [c.165]

Существует много различных способов построения функции Ляпунова, но все они, к сожалению, носят характер индивидуального пошива . Применимость каждого способа ограничена определенным типом или классом уравнений. В ряде случаев процедура нахождения функции Ляпунова оказывается очень сложной, требующей большой выдумки и фантазии. [c.162]

Вардена, Ариса и Амундсона будем строить функции Ляпунова по линеаризованным уравнениям. [c.165]

Попытаемся оценить область возможных возмущений путем построения функции Ляпунова. Для этого, опираясь на работу [c.164]

Для построения функции Ляпунова необходимо прежде всего задаться симметрической положительно определенной матрицей С, чтобы затем из уравнения (V,6) найти матрицу В. Пусть С будет единичной матрицей [c.165]

Возьмем в качестве предполагаемой функции Ляпунова простейшую квадратичную форму [c.167]

Рис. IV-2. Диаграмма, связывающая функции Ляпунова с определением устойчивости.

Подставляя = —5, г = О в функцию Ляпунова, найдем ее значение в этой точке, которое мы обозначим через 1/ . [c.166]

В некоторых случаях функцию Ляпунова удается найти, не прибегая к линеаризованным уравнениям. Если при этом окажется, что функция Ляпунова удовлетворяет требованиям асимптотической устойчивости во всей имеющей смысл области фазового пространства, то это будет означать, что система устойчива в целом. [c.166]

Отсюда следует, что положение равновесия является неустойчивым фокусом. Найдем с помощью подходящей функции Ляпунова область неустойчивости, охватывающую это положение равновесия. [c.169]

Эта функция не является положительно определенной на всей фазовой плоскости. Еслн V h—минимальная величина т]) на кривой К( , ii) = 0, то замкнутый контур К( , ri) = = Ушан будет ограничивать наибольшую область неустойчивости, соответствующую данной функции Ляпунова. Эта область изображена на рнс. V-1 вместе с кривой 1]) = О и одной из фазовых траекторий. [c.171]

Для исследования устойчивости выбираем в качестве функции Ляпунова простейшую квадратичную форму [c.172]

Для положительных значений а и р, удовлетворяющих этому неравенству, квадратичная форма (У,23) является функцией Ляпунова, а исследуемое невозмущенное движение для соответствующей области пространства параметров является асимптотически устойчивым. [c.173]

В любом D 1) существует строго выпуклая функция G, непрерывная в D 1), дифференцируемая внутри D 1) и являющаяся там функцией Ляпунова для уравнений [c.117]

Из существования глобальной функции Ляпунова G для уравнений кинетики можно получить также следующие утверждения. [c.118]

М, из которой следует существование непрерывной и по крайней мере дважды дифференцируемой внутри 7+ выпуклой функции 0(с), для которой г(с) = <90/5с . Функция О имеет смысл неравновесной свободной энергии системы и является функцией Ляпунова для уравнений (3.6) [36], если кинетический закон есть (3.14) (10 с)/(И а О, где с = (i) — положительное решение системы (3.6). [c.121]

Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем. 9 л. 1 р. 40 к. [c.383]

Синтез оптимального регулятора проведем на основе прямого метода Ляпунова. Из связи, существующей между прямым методом Ляпунова и методом динамического программирования следует, что если для замкнутой системы установлен факт асимптотической устойчивости с помощью некоторой функции Ляпунова V (х), то аналитически сконструированный регулятор по этой функции будет в известном смысле оптимальным [56, 57]. Будем искать функцию V (х), которая сообщала бы системе [c.429]

Поиск функции Ляпунова, удовлетворяющей перечисленным условиям, обычно производится путем выбора в качестве V (х) положительно определенной квадратичной формы V (х)=< х, Рх)>, где Q — положительно определенная симметричная матрица, удовлетворяющая равенству [c.429]

Общая теория устойчивости строится с помощью функций V (х), для которых семейства V = /С -, вообще говоря, не являются окружностями. В честь ученого-основоположника теории устойчивости (1892 г.) такие функции названы функциями Ляпунова. [c.75]

Функцией Ляпунова для системы [c.75]

Заметим, что функция v [х ( )] с неположительной производной существует не для всякой системы. Точнее, существование такой функции является необходимым и достаточным условием устойчивости стационарное состояние устойчиво в том (и только в том) случае, если существует функция Ляпунова. [c.76]

Чтобы доказать, что из существования функции Ляпунова следует устойчивость стационарного состояния, достаточно обратиться к рис. IV-2, построенному следующим образом [c.76]

Доказательство Ляпунова существования устойчивости в малом является неконструктивным, так как оно не содержит алгоритма построения функции V (х). Поэтому для решения прикладных задач разработаны методы исследования устойчивости, основанные на более конкретном выборе функции Ляпунова. [c.77]

Изучение таких систем в разделе Метод анализа устойчивости показало, что функция Ляпунова может быть представлена семейством концентрических эллипсов. В матричной форме их уравнение имеет вид [c.77]

Если в определении V (IV, 13) матрица Р выбрана положительно-определенной, то условия существования функции Ляпунова (IV, 11), за исключением (IV, Ив), удовлетворяются автоматически. Таким образом, ответ на вопрос, существует ли функция Ляпунова для системы (IV, 12) с конкретной матрицей А, определяется условием (IV, Пв). [c.77]

Пример 1У-1. Найти функцию Ляпунова для системы уравнений (IV, 9). [c.78]

Отсюда функция Ляпунова [c.78]

Нетрудно видеть, что матрица А отрицательно-определенна, но имеет нулевое собственное число (к = О, —1). Следовательно, линеаризованная система устойчива в малом, однако асимптотической устойчивости нет, и основная теорема линеаризации к этому случаю неприменима. Тем не менее, устойчивость в малом можно доказать с помощью круговой функции Ляпунова (IV, 3), для которой [c.83]

Эта производная является знакоотрицательной в области фазовой плоскости, соответствующей >—1 и т] >—1. Следовательно, квадратичная форма (V, 15) является функцией Ляпунова для системы (V, 14), которая обладает асимптотической устойчивостью в указанной выше области. Но, так как мы условились, что 5 = г/ ,- = 1, а концентрации не могут быть отрицательными, то значение и т], меньшие, чем —1, не имеют физического смысла. Значит, асимптотическая устойчивость имеет место во всей имеющей смысл части фазовой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что система (V, 14), а следовательно, и исходная система (V,12) (при коэффициентах, соответствующих 5 = /5=1), обладают устойчивостью в целом. [c.167]

В блоке 1 определяется вид системы уравнений (3.2). Конечность вектора компонентов А обусловливает принципиальное ограничение на возможное чис.ло связей между ними и здесь вводится концепция максимального механизма Г и формулируется теорема и его единственности. Блок 2, описывающий состояние системы в равновесии (точка детального равновесия — ТДР), важен как элемент айализа, позволяющий сформулировать условие необходимости адекватности моделей (3.3) и (3.2). В блоке 3 выделяются классы и типы кинетик, вводится концепция неравновесной свободной энергии являющейся функцией Ляпунова для диссипативных систем, и формулируется условие достаточности 5-адекватности моделей [c.109]

Так же, как и G, для системы (3.6), она является единственной универсальной квадратичной функцией Ляпунова для линеаризованной системы уравнений (3.188). Используя эту форму, можно оценить среднюю ошибку линеаризации как меру отклонения решения линеаризованного уравнения (3.188) от пелинеаризованного (3.6) при условии с(0) = с(0). [c.243]

При моделировании химических реакций вознпкают системы дифференциальных уравнений, и их решения должны удовлетворять определенным физик0-хя1мическим ограничениям. Во-первых, эти решения должны существовать при i > О, во-вторых, быть неотрицательными (концентрации, температуры), если начальные данные неотрицательны. В-третьих, должны существовать устойчивые равновесия, притягивающие нестационарные решения. Кроме того, постулируется еще существование некоторых функций (энтропия, свободная энергия системы), являющихся функциями Ляпунова для этих систем дифференциальных уравнений. [c.102]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология