Устойчивость по Ляпунову

Такое определение устойчивости, конечно, не является математически точным. Точное определение устойчивости в том смысле, который мы имеем в виду, а именно устойчивости по Ляпунову, можно найти как в монографии А. М. Ляпунова так и в других книгах [c.25]

Определение. Положение равновесия рассматриваемой системы дг,-, называется устойчивым по Ляпунову, если для всякого положительного числа е, как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число 6(е), такое, что для всех возмущенных движений xi = xi(x), для которых в начальный момент т = То, выполняются неравенства [c.160]

Этому математическому определению устойчивости можно дать следующее физическое истолкование. Положение равновесия динамической системы называется устойчивым по Ляпунову, если после малого отклонения от этого положения (в пределах, определяемых величиной 6) система на протяжении всего дальнейшего времени продолжает оставаться вблизи него (в пределах, определяемых величиной е). [c.161]

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

Рассмотрим устойчивость точечной системы, понимая под ней малую область мембраны или же целиком мембрану при 01Р- оо. Аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову основан на получении и анализе совокупности уравнений для возмущений, выводящих систему из устойчивого стационарного состояния. Представим параметры системы в возмущенном состоянии в виде х=х-]- и у = у- -ц (где и г] — отклонения независимых переменных от их значений в устойчивом стационаром состоянии ж и у). В таком случае исходную систему уравнений (1.28) можно представить в виде линеаризированной системы [c.31]

На первый взгляд, устойчивость по Ляпунову кажется недостаточной из-за малости налагаемых возмущений. Этому понятию устойчивости противопоставляют техническую устойчивость, рассматривающую конечность возмущений. Действительно, устойчивость по Ляпунову является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным условием для решения технических задач. Однако если возникает необходимость изучения чувствительности технологического режима кристаллизатора к значительным отклонениям от стационарного состояния, то в большинстве случаев пока единственным методом остается численный анализ на ЭВМ переходных режимов на основе модели, описывающей нестационарный процесс кристаллизации. [c.334]

Исследована устойчивость по Ляпунову равновесных состояний. [c.17]

Контуры этой функции изображены на рис. -16. Из уравнения (IV, 20) следует, что матрица Р — положительно-определенная, матрица же О = I — положительно-определенная по своему определению. Таким образом, система (IV, 9) устойчива по Ляпунову. [c.78]

Определение устойчивости по Ляпунову позволяет применить прямой метод анализа без интегрирования дифференциальных уравнений. Следует все же признать, что с точки зрения практического инженерного применения доказательство устойчивости в малом стационарного состояния недостаточно для инженера. Причина этого заключается в том, что информация о локальном поведении системы ничего не говорит о характере траектории в целом. [c.90]

Рис. V- . Гипотетическая система, устойчивая по Ляпунову, но фактически неустойчивая.

Следует отметить, что условия практической устойчивости менее жесткие, чем условия устойчивости по Ляпунову, поскольку они должны соблюдаться только для избранных пар (б, е), тогда как определение Ляпунова требует существования б для всех воз можных выборов е. Кроме того, определение практической устой чивости подразумевает область устойчивости, что более реально связано с нуждами инженерного расчета. Это утверждение не озна чает, что исследование устойчивости по Ляпунову не принесет пользы. Часто система будет обладать и устойчивостью по Ляпунову и практической устойчивостью. Тогда доказательство одного свой ства помогает при установлении другого. Существенно, что один вид устойчивости не может быть выведен из другого. [c.103]

Эти рассуждения подтверждают высказанную в гл. V мысль, что критерием качества инженерного расчета должна быть не устойчивость по Ляпунову, а скорее практическая устойчивость. Два данных подхода можно свести к одному, если использовать для функционала Ляпунова предложение Вайя (1965 г.) [c.215]

Состояние равновесия или движения системы устойчиво по Ляпунову, если для любого е > О можно найти такое 6 > О, при котором в интервале +оо [c.172]

Подобный результат можно получить, построив вспомогательную плоскость 2 = Ф (/, д, Ц ) (рис. 5.4) и рассмотрев поведение изображающей точки Р на фазовой прямой f вблизи положений равновесия Ф = 0. Функция г = Ф (Д д, Ц ) вблизи положений равновесия меняет знак. Если знак меняется с плюса на минус при увеличении /, тоФ/< 0. При этом из уравнения (5.1) следует, что при Ф > О приращение df > О я изображающая точка Р движется вправо к положению равновесия fo, а при Ф < О приращение < О и изображающая точка движется влево к тому же положению равновесия. Следовательно, такое состояние равновесия устойчиво по Ляпунову на бесконечном интервале времени. Когда функция Ф меняет знак с минуса на плюс, состояние системы неустойчиво по Ляпунову. [c.173]

Возмущенное движение асимптотически устойчиво по Ляпунову в первом приближении, если все корни к характеристического уравнения [c.175]

ЧТО v(x) = о. Как следует из результатов, изложенных в [ 2 ], С 4 ], нулевое решение исследуемой задачи устойчиво по Ляпунову, если для всех а из достаточно малой окрестности нуля выполнено v x, а) > О для О < х < 1, где b(x,v,v ) [c.146]

Рассмотрим проблему устойчивости водного баланса Каспийского моря в соответствии со схемой исследования задач устойчивости по Ляпунову. [c.48]

Такое определение устойчивости, конечно, не является математически точным. Точное определение устойчивости в том смысле, который мы имеем в виду, а именно устойчивости по Ляпунову, можно найти как в монографии А. М, Ляпунова [27], так и в других книгах, например, в работе [28, с. 45], и в многочисленных книгах, посвященных теории устойчивости, нз которых мы укажем некоторые [29—34]. [c.24]

Поставим задачу каковы должны быть параметры вала (переменная масса, жесткость, площадь сечения), чтобы перемещения ф и деформации ф были устойчивы по Ляпунову. Другими словами, уравнения (217) и (218) равносильны уравнению [c.102]

Нулевое решение системы (220), и = 0, у — О называется устойчивым по Ляпунову, если по любому е > О можно указать б > О, что при [c.102]

Известно, что для любых линейных систем устойчивость по Ляпунову [36 ] нулевого решения и (хо) = и Xf) = О системы (220) равносильна устойчивости любого решения. [c.103]

Доказательство. Если система автономна, то tg можно выбирать произвольно и устойчивость по Ляпунову становится равномерной и совпадает с расчетной устойчивостью. При этом для всех в > О можно положить Т (е) = 0. Тогда и теоремы 1 следует, что система имеет нулевое решение. Если система неавтономна и имеет нулевое решение, то вследствие единственности решений и непрерывной зависимости их от начальных данных на конечном интервале времени [50] получаем, что из расчетной устойчивости X = О следует равномерная устойчивость по Ляпунову. [c.174]

Расчетная устойчивость тесно связана с устойчивостью по Ляпунову и в идейном отношении близка к ней. [c.180]

Пусть решение у = О, х = О устойчиво по Ляпунову, т. е. для каждого е, О < е < т п / , можно указать такое б о (е), О < б,, (е) < е, что при у р + + <6 (е) получим у (1) Р + хЗ (1) < е . Будем выбирать О < Хд < бо (г) У2. Это бу ,ет соответствовать выбору to T (е) = 0,5 1п 2 — 1п о (е) при рассмотрении решения X t, t , Хо) системы йХ (И = Р (X, t). Поскольку X (I, [c.181]

Доказательство. Пусть ц> ( ) при 0 является устойчивым по Ляпунову равномерно относительно /о О решением системы с1Х/й1 = Р (X, О и Ф (О О при i -> Ч-оо. Тогда по Е > О можно указать Г (е) О такое, что при Т (е) II Ф (О II 6/2 < е/2, где б (е) О — число, выбираемое по е в силу устойчивости [c.181]

Статический режим (состояние равновесия) называется устойчивым по Ляпунову, если для любой (в том числе сколь угодно малой) области отклонений у от ус найдется такая область 5 в пространстве начальных значений у°, что при отклонении начальных условий, не выходящих за пределы 6, отклонение у(1) — ус никогда не выйдет за пределы е. [c.167]

На первый взгляд, устойчивость по Ляпунов у кажется недостаточной из-за малости налагаемых возмуш,ений Этому понятию противопоставляют техническуюусто й - > ч и в о с т ь, рассматривающую конечность возмущений. Действн-тельно, устойчивость по Ляпунову является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным условием для решения технических задач. Все же в абсолютном большинстве практических случаев анализ устойчивости при помощи методов Ляпунова достаточен. Однакоу если возникает необходимость изучения чувствительности технологического режима реактора к значительным отклонениям от стационарного состояния, то в большинстве случаев пока единственным методом остается численный анализ (на быстродействующих электронно-вычислительных машинах) переходных режимов на дснове модели, описывающей нестационарный процесс. [c.507]

Эта теорема доказывает условную асимптотическую устойчивость по Ляпунову стационарного решения — п. т. д. р.— и опирается на метод анализа решений общих краевых задач для параболи- [c.112]

Ласалль и Лефшетц (1961 г.) ввели понятие практическая устойчивость . Чтобы выяснить отличие практической устойчивости от устойчивости по Ляпунову, полезно вернуться к главе IV, где ответ на вопрос, должно или нет стационарное состояние рассматриваться как устойчивое по Ляпунову, зависит от исхода игры двух ее участников. Нападающий пытался выбрать такую е-область пространства состояний, для которой защитник не мог подобрать подходящей б-области. Защитник мог победить (и, таким образом, установить устойчивость по Ляпунову), отражая каждое и всякое е соответствующим б (в). [c.102]

Чен [14], а также Уайт и Айди [10] представили экспериментальные и теоретические результаты (изотермический анализ устойчивости по Ляпунову), из которых следует 1) полимерные расплавы ведут себя при формовании волокна так же, как при однородном продольном течении 2) для полимеров, у которых продольная вязкость т]+ t, ) возрастает с увеличением времени или деформации (см. рис. 6.16), характерно устойчивое формование волокна без проявления резонанса прп вытяжке, и при высоких степенях вытяжки они разрушаются по когезионному механизму (примером полимера, демонстрирующим такое поведение, может служить ПЭНП) 3) для полимерных расплавов с уменьшающейся продольной вязкостью характерно проявление резонанса уже при малых степенях вытяжки и упругое разрушение (после образования шейки ) при высоких степенях вытяжки (типичными полимерами, которые можно отнести к этой категории, являются ПЭВП и ПП). [c.566]

В некотором смысле химики и биохимики всегда использовали схемы (диаграммы со стрелками-указателями для путей метаболизма и т. д.). Но первыми схемами, изученными как математические объекты, явились, по-видимому, схемы, введенные Л.С. Ли и автором данной работы [16], разработавшими графические способы генерации всех возможных механизмов (или (. Алгебраический метод для бимолекулярных-бимолекулярных механизмов был предложен Селлерсом [17]. Другие типы схем были использованы Кларком [18], который графически нашел миноры определителя для линеаризованных областей устойчивости по Ляпунову, и для различных целей — Файнбергом, Хорном, Джексоном, Остером, Перельсоном и др. [19]. [c.86]

Настоящая глава посвящена изучению устойчивости режимов такого типа, которые названы расчетными движениями. Введено понятие расчетной устойчивости, включающее устойчивость по Ляпунову [36] как особый случай. Исследование ведется на основе модификации второго метода Ляпунова [36]. Следует заметить, что впервые упомянутые вопросы рассматривали Ла Салль и Раз [34]. Расчетная устойчивость описывает свойство изучаемой -системы, проявляющееся лишь при достаточно далеких моментах времени, и в некотором смысле аналогична обычному понятию устойчивости. [c.172]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология