Область неустойчивости

Отсюда следует, что положение равновесия является неустойчивым фокусом. Найдем с помощью подходящей функции Ляпунова область неустойчивости, охватывающую это положение равновесия. [c.169]

Эта функция не является положительно определенной на всей фазовой плоскости. Еслн V h—минимальная величина т]) на кривой К( , ii) = 0, то замкнутый контур К( , ri) = = Ушан будет ограничивать наибольшую область неустойчивости, соответствующую данной функции Ляпунова. Эта область изображена на рнс. V-1 вместе с кривой 1]) = О и одной из фазовых траекторий. [c.171]

Рис. У-1. Область неустойчивости реактора непрерывного действия с регулятором температуры.

Кривые М (9п), соответствующие разным могут иметь в области 0п 1 минимумы (точки 7 и 5) и максимумы (точки 2) и выходят во внутридиффузионной области на единую асимптотическую кривую, определяемую формулой (III.127). Наличие на кривой М (0п) экстремумов означает существование в рассматриваемой задаче множественных режимов, причем значения 0п, при которых йМ 4% = — О (точки 1—3 на рис. III.11 и III.12), разделяют чередующиеся области устойчивых и неустойчивых режимов. Заметим, что точки 4 и 5 (соответствующие значениям о, при которых в задаче с заданными значениями поверхностных концентраций Со и температуры То происходил перескок между режимами) попадают в область неустойчивых режимов, разделяющих внутрикинетическую и внутридиффузионную области. Таким образом, наличие сопротивления теплоотводу на внешней поверхности катализатора приводит к расширению области неустойчивых режимов. Это проявляется также в возникновении неустойчивой области при 0 <С 4,5, когда задача без внешнего сопротивления вообще не имеет неустойчивых режимов. Скачкообразные переходы во внутренних режимах могут наблюдаться, как это видно из рис. III.12, до 0 = 2. [c.137]

Рис. 1У-4. Операционные кривые стационарного состояния модели проточного реактора с перемешиванием, учитывающей температурную зависимость, и область неустойчивости.

Рис. УИ-З. Операционные кривые стационарного состояния и область неустойчивости трубчатого реактора с продольным перемешиванием (а = О, иНО = 10).

Рассматривая области устойчивости, необходимо четко определить то, что уже сделано нами при изучении устойчивости в малом, и то, что еще предстоит сделать в этом разделе. Значительные области представлены на рис. 1Х-7 и помечены как области неустойчивости, чтобы показать локальный характер стационарных состояний. Однако эти результаты получены для малых возмущений. Отклики на возмущения большой величины могут быть исследованы одним из двух способов. [c.239]

Соотношение (4) позволяет использовать уравнения, описывающие теплообмен при вынужденной конвекции, также и для случая естественной или смешанной конвекции, по крайней мере для нахождения хорошего первого приближения. Уравнение (4) показывает, что относительное направление вынужденной и естественной конвекций (одинаковое или противоположное направление скоростей) не влияет на общий коэффициент теплоотдачи. Этот вывод согласуется с экспериментальными данными, за исключением узкой области неустойчивости в случае противоположного направления скоростей, в которой Ке(ог и Ог одного порядка величины. [c.93]

Уравнения (4.46) и (4.47) дают искомую зависимость А Д (с) в параметрической форме, где роль параметра играет Г. Следует добавить, что зависимость (4.46), так же как и трехмерное уравнение Ван-дер-Ваальса, содержит гетерогенную область — область неустойчивости, заключенную между максимумом и минимумом уравнения (4.46), Состояния, соответствующие этой части кривой А = А (Г), не могут реализоваться ни при каком процессе, по- [c.113]

Состояние равновесия мениска со смачивающей пленкой определяется условием (2) П = АР ,. При АР = О, что отвечает плоской поверхности мениска, П = О, и толщина равновесной а-пленки равна (рис. 1). Пленки такой толщины могут находиться в равновесии с насыщенным паром объемной жидкости при р р =1. Равновесие объемной фазы, ограниченной плоской поверхностью, с Р-пленкой (для изотерм, показанных кривой 2а) невозможно, так как при ПО значения оо. Однако для изотерм более сложного типа (например, кривая 26 на рис. 1), дважды заходящих в область отрицательных значений П и имеющих две области неустойчивых толщин, объемная жидкость может также находиться (при ДР = 0) в равновесии с метастабильной 6-пленкой толщиной /1р. [c.287]

Случай Сг = О соответствует нейтральным колебаниям и кривая i(a, к) = 0 в плоскости а, Я отделяет область неустойчивости ламинарного пограничного слоя от области устойчивости. Эта кривая называется нейтральной. Наименьшее число Рейнольдса на нейтральной кривой является критическим числом Рейнольдса для данного течения. При числах Рейнольдса, меньших критического, возмущения любой длины волны затухают. При числах Рейнольдса, больших критического, имеются возмущения с определенной длины волны, которые нарастают. [c.311]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что исходно а = соответствует стационарной точке устойчивый узел системы (18.17) (область I на рис. 18.1). При увеличении а мы проходим по некой ветви стационарных состояний л == л (а). Эта ветвь состояний будет устойчивой, т.е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок / кривой), пока а не достигнет бифуркационного (бифуркация — раздвоение) значения а. При а = а система теряет устойчивость (например, за счет того, что функционал Ляпунова перестает быть положительно определенным) на рис. 18.1 это означает переход системы из области I Б одну из неустойчивых областей Н или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой х(а) , где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический момент в изменении свойства системы достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. Существенно, [c.370]

На нетермодинамической ветви в области неустойчивых стационарных состояний свойства системы зависят от конкретного вида дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение при значениях параметров за точкой бифуркации. Например, система может вести себя как химическая машина с четко детерминированным начальными условиями поведением, однако это поведение может соответствовать и хаосу , при котором малейшие флуктуации вызывают сильные и нерегулярные изменения состояния системы. [c.371]

Поскольку метастабильное равновесие устойчиво по отношению к бесконечно малому изменению состава, химический потенциал компонента, добавляемого к системе, в этих областях также должен увеличиваться (отрезки СС и 00 ). Области неустойчивых состояний соответствует падение химического потенциала компонента, концентрация которого возрастает (отрезок С О ). Очевидно, что на границе лабильных и метастабильных областей возникает экстремум химического потенциала и, следовательно [c.293]

Рис. 63. Зависимость АО (м,) для строго регулярного раствора при Т<Тс. Мольные доли и 1—д 2 ограничивают область, неустойчивую относительно непрерывных изменений состояния

Изотерма адсорбции Фрумкина, выражающая зависимость 0=/(С), имеет 5-образную форму (рис. 88), причем область неустойчивого состояния тем больше, чем выше значение аттракционного фактора у. [c.372]

На рис. 5.6 приведена пограничная кривая аЬ, которая условно делит поле расчетных режимов абсорбционной установки на две области. Слева от кривой аЬ находится область неустойчивой работы водоаммиачных абсорбционных холодильных установок. В этой области небольшое изменение температуры генерации приводит к резкому изменению удельного расхода тепла на выработку холода. Справа от кривой аЬ — область устойчивой работы. В этой области изменение температуры генерации не сказывается существенно на удельном расходе энергии и производительности установки. [c.125]

Справа от кривой ей — область неустойчивой работы. Небольшое изменение температуры охлаждения в этой области вызывает сильное изменение удельного расхода тепла на производство холода. [c.126]

Область неустойчивой работы двигателя при малых числах оборотов представлена на рис. 2.96, а заштрихованным полем. При подборе гидромуфты к такому двигателю необходимо, чтобы парабола предельных моментов, характеризуемых Х, ах, полностью [c.311]

Гидромуфты с переменным заполнением обладают недостатком, ограничивающим их применение для регулирования числа оборотов. При заполнении, значительно отличающемся от максимального, работа гидромуфты может быть неустойчивой (рис. 2.105). Характеристика гидромуфты в области неустойчивости прерывается, претерпевая разрыв. В области разрыва (область Р на рис. 2.105) изменяется величина передаваемого момента. При совместной работе с потребителем это ведет к колебанию числа оборотов машины. Разрыв характеристик гидромуфты связан с описанной выше перестройкой потока в рабочей полости. Характеристика при малых передаточных отношениях до области неустойчивости соответствует согласно рис. 2.98 потоку, показанному на рис. 2.98,а а за областью неустойчивости — потоку, показанному на рис. 2.98, в. Неустойчивость особенно значительна при заполнениях порядка 0,5—0,7 максимального и происходит при передаточных отношениях / = 0,45 0,65. [c.322]

При значении числа Ке ниже 50—60 [54 I имеет место область ламинарного течения. Область неустойчивого турбулентного режима лежит в пределах значении числа Не от 50—60 до 7000. При значениях числа Не свыше 7000 устанавливается турбулентный режим. [c.273]

Рис. 2.3. а—область устойчивости б — область неустойчивости в — нейтральная устойчивость г — неопределенная область, связанная с погрешностями [c.185]

На рис. 15.1 область неустойчивости разделена на ряд подобластей, в каждой из которых реализуется или пространственная [c.235]

На фиг. 11-8 в координатах (р — показаны оба случая возможного возникновения кризисов при отсутствии (фиг. 11-8,а) и при наличии (фиг. 11-8,6) внешнего охлаждения системы. Как это ранее было показано в координатах ср — б, и в этом случае изображенный пунктиром отрезок кинетической кривой представляет собой область неустойчивого протекания процесса, стремящегося скачкообразно перейти в устойчивые равновесные режимы медленного окисления или горения. [c.106]

В лобовой области при небольших значениях азимутального угла 9 течение воздуха в межреберном зазоре осуществляется не по линиям тока, свойственным потенциальному течению около цилиндра, а по прямым (горизонталям). Последнее можно объяснить тем, что течение в этой области неустойчиво, так как т,-, / < < —0,1. Это положение вполне соответствует известному теоретическому выводу о том, что ламинарный пограничный слой в состоянии преодолеть без отрыва только очень небольшие замедления течения. [c.178]

На основании проделанных выкладок можно утверждать только то, что при положении конца вектора У на изображенной окружности колебания будут нейтральными. Вопрос о том, по какую сторону окружности лежит область устойчивости, а по какую область неустойчивости, требует дополнительного исследования. В большинстве практических случаев не возникает необходимости проводить такое исследование, поскольку ответ бывает ясен из физической сущности задачи. [c.152]

Что же последует за синтезом трансурановых элементов Появятся ли новые радиоактивные и очень краткоживущие частицы, подобные элементам с порядковыми номерами от 97 до 105 В настоящее время существует мнение, что есть возможность достичь новой области устойчивости, которая может включать даже нерадиоактивные элементы. Расчеты, основанные на существующих моделях оболочечного строения ядра, заставляют предположить, что элемент ffJXX со 114 протонами и 184 нейтронами (оба эти числа являются магическими в оболочечной теории адра) должен представлять собой островок устойчивости среди области неустойчивости. На рис. 23-6 дано трехмерное изображение графика, представленного на рис. 234 вдоль вертикальной оси отсчитывается мера устойчивости ядер. Если удастся найти средства получения элементов в окрестности i xx, это должно привести к целому набору сравнительно долгоживущих ядер. Поиски в указанном направлении предпринимались в Беркли в числе возможных реакций рассматривались такие [c.423]

Очевидно, при а=а, когда критерий эволюции или кинетический потенциал равны нулю, происходит потеря устойчивости, и возможен скачкообразный переход в качественно новое состояние мембранной системы. Зависимость переменных хну от управляющего параметра а называют бифуркационной диаграммой, а состояние при а=а — бифуркационной точкой. На рис. 1.7 показана бифуркационная диаграмма для системы с одной переменной х в бифуркационной точке происходит переход с нижней ветви устойчивых состояний в область неустойчивости, т. е. из области I в области III или V (см. также рис. 1.6). Переходы типа узел — фокус (1- П) возможны на термодинамической ветви состояний, т. е. ао<а< а при этом нарушается лишь монотонный характер приближения к стационарному состоянию, возникают затухающие колебания концентраций. Как отмечалось выше, термодинамический критерий эволюции в виде соотношения (1.24) фиксирует условия, где возможны переходы в новые состояния, но не определяет новую структуру мембраны. Последнее возможно на основе анализа неустойчивости, если известен конкретный вид функций Fx x, у) и Fy(x, у) т. е. описание кинетики в йепи химических превращений в мембране. [c.34]

Заметим, что при 0 >4 процесс может иметь т,ри, стационарных решения (см. раздел II 1.3). Область множественных режимов ограничена кривой 3. Точкам, лежащим между верхними ветвями кривых 1 и 3, соответствует высокотемпературный режим, точкам, лежащим между нижними ветвями этих кривых — ниакотемцера-турный, а точкам, заключенным между двумя ветвями кривой 1 — промежуточный режим, неустойчивый в силу условия (VIII.23) или (III.51), При уменьшении параметра вначале теряет устойчивость высокотемпературный режим в области больших значений 0, затем, по мере движения точки пересечения кривых 1 т 2 влево, область неустойчивости высокотемпературного режима сдвигается в сторону меньших значений 0. При S <9/16 кривая 2 заходит в область слева от кривой 3, где существует только один стационарный режим. В этой области значений параметров процесс, таким образом, не будет иметь ни одного устойчивого стационарного режима. Наконец, при S <1/2 кривые 1 ш 2 начинают пересекаться ниже точки 0 = 4, 0=2, разделяющей высокотемпературную и низкотемпературную ветви кривой 1. В этих условиях появляются неустойчивые низкотемпературные режимы процесса, причем на мере уменьшения ё такие режимы становятся возможными нри вс больших значениях параметра 0. [c.331]

Задача (VIII.147) всегда икеет действительный спектр. Таким образом, па непрерывных ветвях решений, соответствующих диффузионному режиму, также невозникает явлений колебательной неустойчивости. При А <С0 все собственные значения отрицательны, и соответствующий стационарный режим устойчив. При. 4 > О в спектре задачи (VIII.147) есть положительное собственное значение, и стационарный режим неустойчив. При изменении параметра А смена устойчивости происходит в результате перехода собственного значения через нуль в точке ветвления. 4=0. Области А ]>0 соответствует область неустойчивых режимов, разделяющих внутри- и внешнедиффузионную области протекания реакции. [c.363]

График зависимости / д от о д представлен на рис. 6.7. Кривая 1 соответствует случаю, когда скорость реакций монотонно уменьшается. Кривая 2 соответствует случаю, когда скорость реакции имеет максимум в некоторой конечной области, после чего начинает уменьшаться. При о д < пгах/ д каждому значению о д соответствует два значения Лд, однако процесс должен проводиться лишь при меньших значениях / д, так как точка О лежит Б области неустойчивого режима работы реактора. [c.292]

На рис. 12 приведены границы потери устойчивости для параметра массообмена В = Ъ при разных значениях параметра теплопроводности. Безразмерный параметр теплопроводности Ь выбран таким образом, чтобы оп не содержал высоту слоя. Кривая Ь = оо разделяет устойчивую и неустойчивую области при бесконечной теплопроводности. Считается, что причиной неустойчивости является обратная связь, влияние последующих участков реактора на предыдущие. По мере ослабления обратной связи (в данном случае теплопроводности) область устойчивости расширяется. Данные рис. 12 подтверждают это положение, но только в области невысоких степеней превращения. По мере уменьшения с =1 характер зависимости меняется на противоположный ослабление обратной связи (уменьшение Ь) расширяет область неустойчивости. Причина этого странного на первый взгляд явления состоит в следующем. В случае достаточно высокого слоя (большая степень превращения) и небольшой теплопроводности имеется слабая обратная связь по теплу и нижняя часть слоя может независимо от всего реактора потерять устойчивость, что приведет к разогреву (или остыванию) сначала этой части, а затем и всего слоя. Переходные кривые такого рода были получены численным счетом нел1шеаризованной системы (25"), (26). Еще одна [c.60]

С/Со = 0,65 СрТ /(АНСо) = 2,71. Неустойчивый характер этого стационарного состояния устанавливается при п = 3. Кривая б соответствует той же системе при С/Со = 0.7 и показывает характер сходимости для устойчивого в малом стационарного состояния. В этом случае необходимо добиться -сходимости, чтобы установить устойчивость в малом. После достаточного изучения стационарных состояний можно указать на плоскости кривых стационарного состояния область неустойчивости. Такой результат приведен на рис. VI1-3 для численных значений, используемых в рис. VI-9a. [c.181]

На рис. 199 представлены кривые изменения амплитуд колебаний в зависимости от частоты вращения вала с мешалкой в глицерине, воде и воздухе. Как следует из приведенных кривых движение вала в перемешиваемой жидкости протекает в режиме прямой синхронной прецессии до начала области неустойчивого вращения. С увеличением угловой скорости вала выше некоторого порогового значения со,, при о) > со,, амплитуды колебаний вала плавно или резко возрастают до недопустимых значений. Значение пороговой скорости со,,, при которой начинается возрастание амплитуд колебаний, может быть бoльпJe и меньше первой критической скорости вала. [c.285]

Рис. 29. Водородостойкость хромистых сталей с 0,16% углерода при РН2 300 атм. Заштрихованная часть -область неустойчивых сталей, подвергающихся водородной корроэии

В работе Hart W. И., С а п t г о 1 1 R. H., AIAA Journal 1, 1963, 398 была предпринята попытка построения модели, более точно соответствующей реальной системе, и было установлепо, что область неустойчивости является более узкой этот вывод согласуется с выводом работы [ ]. [c.301]

Таким образом, временное поведение таких систем можно понять только, пользуясь детерминистическими и стохастическими методами одновременйо. Было бы, конечно, очень желательно применить универсальный подход на основе лишь стохастического уравнения типа (8.14). Тогда не пришлось бы вводить произвольные возмущения, чтобы исследовать устойчивость, и временное поведение определялось бы сразу функцией распределения, заданной в начальный момент времени. Этот подход давал бы также и временную задержку, связанную с образованием нового состояния, когда достигается область неустойчивости. Это направление очень активно разрабатывается, но говорить об этом еще рано. Главная трудность состоит в решении основных кинетических урдвнений при наличии неустойчивости (см. разд. 8.2). Мы надеемся также, что удастся установить соотношение между 8 S и теорией флуктуа ций более общим способом. [c.109]

Прямая ( о) соответствует состоянию покоя. Кривые 1—4 относятся к нормальным модам в плоскостн X, у, нх пунктирные части находятся в области неустойчивости, т. е. в области <Р Ь2 > < О или [б2 1) < О для комплексных мод (см. разд. 11.2). Возникновению конвективной неустойчивости отвечает критическое число Релея <3 а) ,=(3 а) [c.156]

Эти функции удовлетворяют заданным граничным условиям, а интегралы (12.38) легко вычисляются. Задача о собственных значениях для с, соответствующая уравнениям (12.36) и (12.37), была решена численно на ЭВМ для 450 значений а и в работе [136]. Этой информации достаточно, чтобы определить с высокой точностью область устойчивых ( <С 0) и область неустойчивых состояний (с > 0) на плоскости а,, 5 е. Для каждой точки (а, 5 е) была исследована сходимость полученных значений основной частоты вплоть до матрицы порядка 20 X 20. Оказалось, что сходимость метода вполне удовлетворительна при малой величине произведения но с его увеличением она ухудшается. Вблизи критической точки, т. е. при малых j (рис. 12.3), численные погрешности для i становятся того же порядка, что и сами . Однако при очень больших величинах a0ie (например, прн a0te >50 000) метод неприменим в связи с потерей точности в этой области. [c.184]

Здесь следует указать, что не всякий режпм с постоянными амплитудами колебаний является нейтральным и соответствует границе устойчивости. Тем же свойством обладает и режим установившихся автоколебаний, хотя он соответствует области неустойчивости. Однако в отличие от нейтральных колебаний автоколебания описываются нелинейными системами уравнений и сам факт анализа нелинейной системы в дальнейшем изложении будет особо оговариваться. [c.22]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология