Системы линеаризуемые

В общем случае исходная система (3.79) является нелинейной и для получения аналитических решений ее необходимо предварительно линеаризовать. Представляя нелинейные члены в виде (3.90) и подставляя их в исходную систему, получим неоднородную систему линейных уравнений общего вида [c.178]

В общем случае система уравнений материального баланса (7.360) — (7.362) для расчета составов пара и жидкости является нелинейной. Однако последняя может быть линеаризована на [c.389]

Как уже отмечалось, жесткость — это свойство задачи Коши, возникающая при описании систем с существенно различными временными характеристиками процессов. Жесткость задачи может быть выявлена при исследовании локального поведения решения системы уравнений. Для этого система уравнений линеаризуется, т.е. заменяется линейной системой с матрицей Якоби. Если в некоторой окрестности решения матрица Якоби меняется незначительно, то локально линейная система описывает нелинейную. [c.131]

При малых возмущениях температуры раствора кинетические дифференциальные уравнения могут быть линеаризованы. Точное решение линеаризованных уравнений, описывающих поведение системы во времени, может быть получено независимо от сложности механизма реакции. Действительно, для реакции (а) можно записать [c.30]

Эволюцию данной модели (фазовые траектории) вблизи положения равновесия при выводе системы из этого равновесия можно найти, линеаризуя уравнение (18.17) по малым параметрам хи у в систему характеристических уравнений [c.368]

Третий способ упрощения состоит в том, что распределенные по пространственным координатам параметры, характеризующие состояние каждого из звеньев, усредняются, а уравнения сохранения заменяются уравнениями материального и энергетического балансов для всего аппарата. Получаемая при этом нелинейная система дифференциальных уравнений, характеризующая" динамику аппарата, часто может быть линеаризована и решена численными методами. Такой подход позволяет довольно легко реализовать функциональный блок 3 (см. рис. 1.2). [c.37]

Математическое описание процессов, возникающих в реальных элементах и системах, обычно приводит к более сложным уравнениям, чем уравнение (2.3). Однако, несмотря на сложность изучаемых процессов, уравнения динамики почти всегда удается линеаризовать путем перехода к малым отклонениям переменных, в тех случаях, когда входящие в них нелинейные функции раскладываются в ряд Тейлора в окрестности выбранной точки линеаризации. Если такое разложение невозможно, то полученная матема- [c.32]

Линеаризуя уравнения (3.25) в окрестности стационарного режима, преобразуем их к системе линейных уравнений [c.97]

Аналогичным образом линеаризуется система уравнений в -пространстве (рис. 6.6, б). При этом уравнение (6.1) узловой плоскости остается неизменным, а уравнения (6.2) и (6.3) "следов эллиптических цилиндров на координатных плоскостях (для контуров I и II) заменяются аппроксимирующими хордами, лежащими на прямых [c.85]

В окрестности некоторого начального приближения Х(о) и линеаризуется система (11.11), (11.12). Полученная в результате этого переопределенная система линейных уравнений относительно поправок к Х(о) и решается методом наименьших квадратов. В направлении получае- [c.155]

Определим поведение системы вблизи особой точки. Линеаризуем систему (15.25)— ищем ее решение в виде [c.497]

В общем случае решить такую задачу очень трудно. Поэтому обычно предполагают, что систему уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя можно линеаризовать, т. е. пренебречь членами, содержащими произведения малых возмущений или их производных. Поскольку получающаяся линейная система уравнений для возмущений зависит от времени только через производные по времени, можно ожидать, что решения этой системы уравнений будут. .содержать экспоненциальный множитель где 5 — комплексное число. В том случае, если вещественная часть 5 отрицательна, возмущения будут затухать во времени, и стационарное решение будет устойчиво. Если же вещественная часть 8 положительна,, то возмущения будут расти, и стационарное решение будет неустойчиво. [c.73]

На слое / нелинейная система (2.4) решается относительно иЦ итерационным методом Ньютона. Для этой цели функции /г ..., и ,,к) линеаризуются на очередной итерации [c.88]

Для проверки устойчивости найденного стационарного решения и = и1,. ..,иь)по отношению как к одномерным, так и к многомерным возмущениям правые части системы (1.1) линеаризуются на решении 11% и в результате получаем оператор [c.89]

Б предлагаемой работе делается попытка дать метод, более удобный для такого анализа. Предполагается, что в газовом эжекторе с нерасширяющимся соплом активного потока скорости инжектируемого и выходного потоков не превосходят 70—75% скорости звука. Это позволяет частично линеаризовать основные уравнения и путем формальных операций выделить комплексы, раздельно учитывающие особенности активного, инжектируемого и выходного потоков. Получаемая таким образом система уравнений, будучи достаточно наглядной, существенно упрощает расчет, а следовательно, и анализ. [c.260]

При составлении системы уравнений (199) вводятся два упрощения, которые могут иногда привести к большим погрешностям 1) линеаризуется зависимость между искомой концентрацией и измеряемым параметром 2) принимается, что все параметры анализируемой среды обладают аддитивными свойствами. [c.127]

Для определенных упрощенных моделей эти уравнения линеаризуют, используя метод малых возмущений для получения рабочих соотношений. Для критерия устойчивости находится линейная зависимость с помощью методов, используемых в сервомеханизмах. Результаты этих исследований показывают, что устойчивость течения в системах с кипящим теплоносителем является сложной функцией геометрии системы, величины недогрева, теплового потока, давления и условий течения. Нельзя предложить никаких общих правил для получения количественных критериев устойчивости течения, зависящих от разнообразных обратных связей. Однако качественно можно сказать, что в контуре с естественной циркуляцией кипящего теплоносителя амплитуда колебаний потока обычно увеличивается с увеличением либо недогрева, либо трения в зоне подогрева, и амплитуда этих колебаний уменьшается при возрастании потерь на трение в обратной (холодной) ветви контура. [c.115]

Для нахождения фарадеевского импеданса система пяти нелинейных уравнений линеаризовалась и решалась далее обычными методами. Величина фарадеевского выпрямления г была найдена по методу последовательных приближений, который в данном случае сводится к нахождению величин второго порядка малости (выпрямления) по величинам, рассчитанным в приближении импеданса. Результаты расчета 11 можно описать единой -формулой [c.237]

Даже довольно сложные и имеющие важное значение в технике химические реакции относятся к категории реакций, для которых уравнение скорости будет линейным. В других случаях уравнение скорости может быть линеаризовано в окрестности рабочей точки, т. е. в области, где необходима количественная информация для построен и я системы автоматического регулирования химической реакции. Для объяснения динамических свойств химических реакций использую г уравнения в конечных разностях, а также численные методы расчета. [c.292]

Ляпуновым был предложен следующий способ использования квадратичных форм для построения функций V. Система линеаризуется, а функция V задается в виде квадратичной формы (V, 3) с неопределенными коэффициентами. Затем ко эффициенты функции V определяются из условия, что эта функция и ее производная будут знакоопределенными функциями противоположных знаков. [c.163]

Для анализа устойчивости стационарных состояний нелинейной системы линеаризуем ее вблизи точек стацтонарности с помощью соотношений с = с + с , = где с, —значения концентрации и й-го момента плотности функции распределения соответствующие стационарному состоянию системы с", л/—отклонения этих величии от стационарных значений, которые в линейном приближении полагаются малыми. Опуская члены порядка малости больще единицы, получаем систему линейных дифференциальных уравнений [2—4] [c.332]

Практически решение систем уравнений (1.32) и (1.37) возможни только численными методами на 3BU. Применимы итерационные методы, метод Ньютона - Рафсона и др. Универсальная методика решения системы нелинейных алгебраических уравнений заклвчается в следующем.Система линеаризуется путем логари рования уравнений. Неизвестными становятся lnP и уравнения разлагаются в ряд Тейлора по методу Ньютона. Членами разложения, содержащими производные второго и высших порядков, пренебрегают. Полученная линейная система алгебраических уравнений относитольно lnP может быть решена с помощью стандартных программ для ЭВМ. [c.25]

Рассмотрим теперь распространение малых возмущений объемной концентрации в дисперсном потоке, моделью которого является система уравнений (2.177). Для этого линеаризуем уравнения, входящие в эту систему, и с помощью уравнений неразрьшности исключим возмущения скоростей фаз из уравнения движения. После несложных преобразований будем иметь [c.141]

На частицу дпсперсной фазы, движущуюся в среде сплошной фазы, действуют одновременно архимедова сила, сопротивление жидкости и поверхностные силы. Суммарное воздействие этих сил приводит к тому, что завпспмость скорости диспергированной частицы от ее объема в общем случае носит экстремальный характер. Лишь сравнительно мелкпе частицы дисперсной фазы [32] имеют сферическую форму. На практике всегда приходится иметь дело с каплями и пузырями, которые пмеют ярко выраженную эллиптическую или вообще неправильную форму [32]. На движение крупных частиц дисперсной фазы оказывает также влияние воз-никновепие в них циркуляционных токов, колебание и вращение частнц [65]. Прп этом экспериментальные зависимости скорости движения частпц дисперсной фазы от физических параметров системы часто не удается линеаризовать обычными методами [65, 66 . [c.296]

Система уравнений (111,35) и (111,36) при переменных нагрузках по газу и орошению нелинейна. Если рассматривать малые отклонения нагрузок от стационарных значений (при этом значениями ДА/, и Айд можно пренебречь), система уравнений может быть линеаризована. [c.91]

В качестве одной из возможных конструкций фильтра для данной системы может служить модификация линейного фильтра, рассмотренного выше. Смысл модификации состоит в том, чтобы линеаризовать нелинейные функции л g . ж затем вместо матриц А (А ) и С к) в соотношения линейного фильтра подставлять линейные члены разложений соответствующих рядов Тейлора в окрестности решения задачи оценки. Эту линеаризацию можно выполнить двояко либо относительно номинальной траектории системы, либо от шага к шагу относительно текущих оценок, начиная с априорных оценок, т. е. выполняя непрерывную релинеаризацию. [c.455]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

Рассмотрим вопрос о возможности линеаризации реальной физической системы мембрана — шток — пружина при условии, что шток испытывает известное сопротивление движению со стороны окружающего его газа и со стороны сальника. Вопрос о линеаризации такой системы в случае отсутствия трения не вызывает никаких трудностей, ибо при малых отклонениях упругая сила пружины (как это следует из закона Гука) пропорциональна отклонению. Массу же тела в широких пределах можно считать не зависящей от скорости. В случае наличия трения необходимо выяснить, можно ли силу трения линеаризовать, т. е. рассматривать ее как линейную функцию скорости хотя бы в области очень небольших скоростей. В работах [30, 31] получены зависимости сил вязкого и сухого трений от скорости перемещения штока ПМИМ (рис. 3.61). В первом случае/ тр существенно зависит от скорости и при уменьшении последней снижается и может быть как угодно малой. Во втором случао (т. о. в случае сухого трения) наоборот, сила с.тр мало зависит от скорости. Отметим, что сила трения [c.277]

Линеаризуя уравнение (VIII.22) относительно отклонений выходных переменных системы, получим следующее выражение [c.339]

Математическое описание системы должно учитывать и динамические и статические характеристики, которые обычно могут быть линеаризо- [c.281]

Исходя из этих соображений, Рийнсдорп и Маарлевельд [40] построили модель ректификационной установки (для колонны с 32 тарелками) из пассивных элементов и 25 катодных повторителей. К системе уравнений, описывающих динамику содержания, применены упрощающие предположения 3, 8, 9а, 10 и 13. Уравнения были линеаризованы, и по ним была построена модель нестационарных процессов изменений содер->1<ания, потока жидкой фазы и давления. В результате моделирования были получены логарифмические частотные характеристики. К недостаткам этого подхода можно отнести большие затраты на изготовление модели из пассивных элементов, имеющих неточные частотные характеристики. [c.497]

Именно свойство (б) обеспечивает то, что весовая функция к(и) не зависит от времени Линейная система без свойства инвариантности во времени имела бы весовую функцию, зависящую от времени t Можно показать, что системы, которые могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеют инвариантное во времени представление (2 3 3) Впрочем, многие нелинейные системы мЪжно линеаризовать так, что для малых возмущений на входе можно использовать (2 3 3) как приближенное изображение системы [c.54]

Рассмотрено влияние коэффшщента массопередачи Кьа и начальной концентрации зафязнений 8о на стационарные состояния процесса, производительность и степень устойчивости в границах каждой области. Производительность процесса определяется выражением Рз=0(8о-8). Устойчивость процесса исследовалась первым методом Ляпунова исходная математическая модель динамических режимов бьша линеаризована, составлено характеристическое уравнение системы и определены его корни. Под степенью устойчивости понимается значение минимального по модулю корня характеристического уравнения линеаризованной системы процесса БОСВ. [c.185]

Общие уравнения (15.6) нелинейны, то же относится к уравнениям (15.16), которые мы линеаризовали с целью исследования окрестностей особых точек. Такое исследование не отвечает, однако, ва вопросы о соведении нелинейной системы на всей фазовой плоскости. Мы встретимся с нелинейными системами, характеризуемыми множественными особыми точками, в дальнейшем изложении. [c.493]

Фазовый портрет системы на плоскости х, у а главные изоклипы (ем. с. 488) показаны на рис. 16.12. Изоклина вертикальных касательных (/) — гипербола у = 1/х, горизонтальных касательных II) — гипербола х = = (1 + )/( + гу) и прямая у =0. Линеаризуя уравнения (16.8), определяем характер особой точки 0. Корни характеристического уравнения равны [c.524]

Результаты и нх обсуждение. Принимая во внимание то обстоятельство, что приведенные вьппе модели движения спиновой метки дают зависимости спектрального параметра 2А, от -г]/ -с, которые линеаризуются в различных координатах, мы, используя приведенный в [17] пакет программ, промоделировали вязкостный эксперимент на ЭВМ. С этой целью в рамках трех приведенных выше моделей были синтезированы серии вязкостных спектров ЭПР. При этом параметры моделей были выбраны таким образом, чтобы спектры ЭПР, синтезированные в рамках модели САД и моделей ИД и МИОГД спиновой метки, имели перекрывающийся диапазон значений расщепления 2А, . Полученные синтезным путем спектры были обработаны как экспериментальные с целью нахождения расщепления 2Л, . Затем полученные результаты были представлены в координатах 2А, = 2А и 1/х=1/т (1/7]) для всех трех моделей. При этом мы предполагали, что модели не в своих координатах линеаризоваться не будут и тем самым можно будет таким способом различить модель движения спиновой метки. Результат этого модельного эксперимента приведен на рис. 7, из которого видно, что все три модели с достижимой в реальном эксперименте точностью линеаризуются в обеих системах координат. [c.246]

Для исследования свойств особых точек, линеаризуют систему вблизи этих точек, т.е. разлагают функции Ф (X, У) и Т (X, У) до степеням малых отклонений от нолоя ения равновесия и сохраняют только члены первого порядка. Обозначим посредством Хо, у о одно из решений системы алгебраических уравнений ( X, 3), одисывающ ее исследуемое положение равновесия и положим [c.433]

Затем,аналогично изложенному выше,вычисляются рециклические потоки Ф°, исходная система уравнений (I ) и функционал (II) линеаризуются по малол/у параметру в окрестности опорного оптт. ального управления и соответствзгющего ему решения. Неизвестная вектор-функция x,(t, ш) и управление [c.93]

В данной САР, как и во многих других, использованы нестандартные функциональные реостатные датчики вторичных приборов. Иногда это обстоятельство может стать помехой внедрению или длительной эксплуатации системы регулирования. В таком случае в качестве линеаризующего звена допустимо применение специальных функциональных блоков, которые несколько усложняют САР, но избавляют от необходимости вносить изменения в конструкцию приборов. [c.99]

Схема комбинированной САР по двум параметрам приведена на рис. 43. Автоматический титрометр 1, регулятор соотнощения 9 и исполнительный механизм 2 с жесткой обратной связью образуют следящую систему, осуществляющую регулирование по основному возмущению — колебаниям кислотности стоков. Влияние остальных возмущающих факторов и погрешности пропорционального регулирования компенсируются корректирующим контуром, состоящим из рН-метра 5 с датчиком 4 на выходе смесителя-реакто-ра 3, линеаризующего, потенциометра 6, изодромного регулятора 7 и промежуточного сервомотора 8. Сигнал с устройства обратной связи сервомотора подается на вход регулято-ра следящей системы, осуществляя еода воздействие по ПИ-закОну. [c.101]

Мы рассмотрели метод решения системы линейных разностных уравнений. Однако на практике часто встречаются задачи, сводящиеся к системам нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих случаях показано, что реп1ение линеаризованной формы уравнений методом последовательных приближений (или итерациями) дает правильный ответ. Иначе говоря, если линеаризовать уравнения вблизи некоторого пробного решения, то в результате решения линеаризованных уравнений мы приближаемся к решению нелинейной задачи. Найденное решение можно рассматривать как пробное для получения второго приближения, и дальше весь процесс повторяется, пока не будет достигнута нужная точность. Как показывает опыт, сходимость метода не очень чувствительна к выбору первого пробного решения. [c.451]

Проблема колебаний уровня Каспийского моря существенно нелинейна [Найденов, 1992], однако и линейные ее аппроксимации еще изучены недостаточно. Линеаризуем систему в окрестности = -28,5 м абс. и сведем ее к системе относительно б и Я [c.79]

Для выбора типа регулятора,удовлетворяющего условиям устойчивости и требуемого качества регулирования, система была предварительно проанализирована с пропорциональным регулятором, а уравнение объекта - линеаризовано в диапазоне 420 + 20 С. Ьлученное уравнение замкнутой системы регулирования имеет вид 1ифференциального уравнения 2-го порядка с положительными коэф- [c.185]