Амундсон Пил

Приведенные выше нелинейные дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения Лин Шин-лин и Амундсон 3 использовали метод численного интегрирования с применением конечных разностей. Для проверки сходимости и устойчивости решения, а также оценки ошибки округления необходимы контрольные расчеты. [c.287]

Вардена, Ариса и Амундсона будем строить функции Ляпунова по линеаризованным уравнениям. [c.165]

В действительности, однако, вопрос об устойчивости адиабатического слоя более сложен. Если он представляет собой неподвижный слой катализатора и существует заметное сопротивление внешней массопередаче к поверхности зерен катализатора, то возникают новые проблемы устойчивости, так как каждое зерно может работать в высокотемпературном или низкотемпературном режиме. При некоторых условиях стационарный режим слоя зависит от начального состояния при пуске реактора. Этот вопрос исследован Амундсоном и Лю (см. библиографию на стр. 252), но подробное его изложение выходит за рамки настоящей книги. [c.249]

Проиллюстрируем такой подход преобразованием уравнений математической модели реактора непрерывного действия, выполненным в работе Ариса и Амундсона [c.55]

Арис и Амундсон вводят следующие естественные единицы для времени V q — ьремя пребывания смеси в реакторе для концентрации Со для температуры НСо/ср — приращение температуры при полном превращении реагента (если не учитывать унос тепла потоком реагирующей смеси и охлаждающей системой). [c.55]

Как видно из этих формул, безразмерные время и концентрация, введенные Б. Н. Скрябиным, совпадают с соответствующими переменными Ариса и Амундсона. [c.56]

Мак-Генри и Вильгельм а также Арис и Амундсон пользовались выражением [c.228]

Исследование устойчивости адиабатического слоя можно распространить также на случай, при котором в потоке имеется продольное перемешивание. В работе Лин Шин-лина и Амундсона з изучалось влияние продольного перемешивания на профили температур и концентраций в случае одного или нескольких устойчивых состояний. Авторы рассматривали простую необратимую химическую реакцию первого порядка типа А В. [c.285]

Множественность решений означает, что можно найти 1 ) (х), отличную от нуля, которая удовлетворяет полученным условиям. При г ) (х) = О суш ествует только одно решение (х) = Т х). Исследование решения последнего дифференциального уравнения с указанными граничными условиями было выполнено Амундсоном [131 и привело к следующему критерию единственности стационарного профиля [c.162]

Рис. 1У-9. Влияние двукратного увеличения скорости охлаждения на распределение температур и концентрации в трубчатом реакторе при проведении экзотермической реакции первого порядка (по Амундсону б,87)

Однако описание динамического режима автотермического кубового реактора является менее сложной проблемой. Амундсон с сотр. впервые провели исследования в этой области [c.241]

Можно разделить плоскость — Ад так, что при движении из одной ее части достигается только нижняя точка, а при движении из другой — только верхняя. Разделяющая линия лежит несколько левее кривой 2 выше неустойчивой точки и правее кривой 2 ниже неустойчивой точки. Ее можно построить при помощи описанного ранее метода. Практически наиболее удобно проследить пути С — Ад, используя моделирующее счетное устройство. Это и было проделан Амундсоном результаты его работы приведены в виде графиков подобных рис. П-1. [c.245]

Примером такого подхода может служить работа Ласса и Амундсона (1968 г.) по каталитическим реакторам с псевдоожиженным слоем. [c.20]

Проблему чувствительности реактора можно проиллюстрировать с помощью нескольких примеров, данных Амундсоном и Билоусом (см. библиографию на стр. 303) для реактора, охлаждаемого независимым теплоносителем, при постоянной температуре стенки Мы не будем переходить, как в разделе IX.6, к безразмерным переменным, а используем непосредственно систему уравнений [c.281]

Другим примером двухфазной системы, смоделированной путем объединения двух простейших моделей, может служить каталитический реактор с плотным слоем твердых частиц. Следуя Лью, Арису и Амундсону (1963 г.), можно предположить, что газ (жидкость) находится в поршневом потоке, а химическая реакция происходит только внутри твердой фазы и может изменять состав газа (жидкости) только путем переноса между фазами. Тогда уравнения мо- [c.20]

Эта книга создана на основе курса лекцпй, прочитанного автором студентам Миннесотского университета. Ранее этот курс в течение нескольких лет вел профессор Н. Р. Амундсон. Философия предмета описана в общих чертах в главе I, и нет смысла повторять ее здесь. Достаточно сказать, что в книге сделана попытка изложить на доступном уровне результаты современных нес ледов ант" в области теории химических реакторов пли хотя бы качественно описать эти результаты в том случае, когда трудно дать пх полный анализ. [c.6]

Автор выражает признательность многим лицам, оказавшим ему помощь в работе, и особенно профессору Н. Р. Амундсону, которому он посвящает эту кнпгу. [c.6]

Найденные критерии устойчивости не дают, однако, никакой информации о величине возмущений, которые будут затухать. Возможно, что после сильного возмущения реактор перейдет в другой стационарный режим. Чтобы исследовать поведение реактора при больших возмущениях, необходимо проинтегрировать нелинейные уравнения. Это связано с трудоемкими вычислениями, и сколько-нибудь полное исследование может быть выполнено только с помощью вычислительной машины. Прежде чем дать некоторые примеры расчета, полезно привести эвристические рассуждения Амундсона и Билоуса, указывающие качественное поведение решений нелинейных уравнений. [c.175]

Расчеты Амундсона и Билоуса были выполнены для необратимой реакции первого порядка, так что г имеет вид (1 — ) /с (Г). Типичные расчетные кривые, полученные численным интегрированием системы уравнений (IX.65), (IX.66), показаны на рис. IX.15. Здесь показаны температурные профили Т ( ) при постоянной начальной температуре Гд = 340°К, но при температуре теплоносителя изменяющейся от 300 до 342,5° К. Вплоть до = 335° К температурный профиль изменяется весьма слабо, но дальнейший прирост всего на 2,5 град приводит к образованию резкого температурного пика, превышающего температуру у входа на 80 град. При дальнейшем увеличении на 5 град перепад температур между входом в реактор и горячей точкой возрастает до 100 град. Анализ чувствительности реактора, проведенный Амундсоном и Билоусом, основан на исследовании отклика системы на синусоидальные возмущения впоследствие был дан более строгий анализ отклика на случайные возмущения. Здесь мы ограничимся только качественным исследованием вопроса. [c.281]

В, С, О, I. Видно, что слабое увеличение Т за линию L приводит к резкому скачку температуры от О V. Н. Аналогично, при постепенном уменьшении Т, процесс проходит последовательность стационарных режимов, соответствующих точкам I, Н, С, Р, с дальнейшим резким падением до точкп В и далее к точке А. Это приводит к гисте-резпсным кривым, изображенным на рис. IX.20. Неопубликованные вычисления для противоточного реактора с независимым теплоносителем показывают еще более резкие эффекты. Можно сказать, что в реакторах с противоточным теплообменником тепло реакции, выделившееся в некоторой точке, вместо того, чтобы вымываться потоком, как это было бы в отсутствие обмена теплом с теплоносителем, может возвращаться вверх но течению реагирующей смеси, способствуя образованию высоких температурных пик. К аналогичным эффектам может приводить продольное перемешивание потока, как это было показано в работе Ван Хирдена и в более поздней статье Амундсона (см. библиографию на стр. 303). [c.285]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

Фактически мы рассматриваем процесс, в котором вещество путем диффузии переносится из области за пределами поверхности частицы по. направлению к ее центру. Несмотря на принципиальную простоту этого процесса, его математическое описание представляет значительные трудности. Для некоторых частных случаев непрерывного противоточного теплообмена между частицами и жидкостью Мунро и Амундсоном даны решения [34]. Процессы теплообмена проще, чем процессы переноса массы, так как соответствующие равновесные соотношения являются линейными. Нелинейность закономерностей для многих случаев переноса массы препятствует получению аналитического решения. [c.156]

Шилсон и Амундсон , решая задачу определения степени использования в неизотермических условиях, пришли к выводу, что Г] может принимать значение больше единицы. [c.104]

Устойчивость реакторов с полным перемешиванием для гомогенных процессов являлась предметом изучения многих исследователей. Система в этом случае описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. В случае гетерогенных каталитических процессов задача сильно усложняется. Модель реактора с неподвижным слоем катализатора рассматривали Лин Шин-лин и Амундсон Анализировался адиабатический реактор, в котором отсутствует радиальный тепло- и массоперенос. Выло принято также, что тепло- и массоперенос в осевом направлении осушествляются только за счет вынужденной конвекции. Скорость потока считалась равномерной по всему сечению реактора, а влияние длины реактора и изменения температуры на скорость потока — пренебрежимо малыми. Тепло- и массообмен происходил на пористой поверхности зерен катализатора. Исследовалась необратимая реакция первого порядка типа А—-В. Более сложные реакции также могут быть рассмотрены с помошью этого метода без введения дополнительных параметров. Полученная система дифференциальных уравнений была решена методом характеристик. [c.262]

Лин Шин-лин и Амундсон приводят пример численного решения этой задачи при следующих исходных данных массовая скорость 0 = 2930 кг1 м -ч)-, линейная скорость и= 12,47 м1мин радиус зерна катализатора г — 4,24 мм порозность слоя е = 0,35 полное давление р — ат-, удельная теплоемкость зерна катализатора с, = 0,196 ккал кг-град)-, плотность газа рг=1,12 кг/м -, теплота реакции (—АЯ) = 0,667-10 ккал1моль-, средний радиус пор зерна Гпор = 40А коэффициент теплообмена сквозь газовую прослойку г = 97,6 ккал м-ч-град)-, пористость зерна еч = 0,40 теплоемкость газа с,-= 0,25 ккал кг-град)-, плотность катализатора рч = 960 кг м -, масса одного моля газа Л1 = 48 кг моль-, высота единицы теплопередачи Яс =0,018 м-, коэффициент теплопередачи г = 9,88 моль мР--ч-ат)-, константа скорости реакции к = = 22,5 ехр (—12200/Гч) моль м -ч-ат) поверхность зерна катализатора, приходящаяся на 1 объема, а = 402 м м -, б = ехр [12.98 —(12 200/г чЯ 1ч—температура частицы катализатора, °С т — время, мин. [c.268]

Температурный коэффициент реакции А- В считается положительным, но меньшим, чем коэффициент реакции В- С. Оптимальная температура реакции вначале должна быть высокой, чтобы ускорить первую реакцию и получить больше продукта В в заданном объеме. Однако по мере увеличения количества продукта температуру процесса следует понижать, так как при этом скорость реакции В- С уменьшается в большей степени, чем реакции Л— Б. Таким образом, протеканию реакции должен соответствовать определенный температурный режим. Оптимальная температура для этого же процесса вычислялась также в работе Билоуса и Амундсона 210-212 [c.304]

Билоус и Амундсон рассматривают экзотермическую обратимую реакцию второго порядка, протекающую в трубчатом реакторе [c.307]

В качестве примера Билоус и Амундсон приводят расчет для следующих параметров СА = а = Св на входе в реактор Сл=0,3а на выходе из реактора Р = 1 ат покомпонентные массы одного моля Мл = 46, Мв = 54, Мер = 50 константа равновесия [c.307]

Работы Билоуса и Амундсона посвящены более сложным [c.308]

Большое количество переменных, влияющих на оптимальное решение, приводит к необходимости использования ЭВМ. Однако задача, предназначенная для решения на машине, должна быть вначале правильно сформулирована математически. Этой проблеме посвящено значительное число работ. Прежде всего следует упомянуть работы Р. Ариса 24.178-181 и особенно его монографию Оптимальный расчет химических реакторов 2 впрочем, она имеет чисто математический характер и посвящена некоторым общим задачам расчета оптимальных режимов без какой-либо конкретизации. Из более ранних исследований следует назвать работы Ден-бига, Хорна, Лайтенбергера, Калдербенка, Кюхлера, Амундсона, Билоуса. Часть этих работ цитировалась выше. [c.361]

Эти задачи хорошо изучены применительно к неизотермическим гетерогенно-каталнтическим реакторам. Впервые задача об оптимальном распределении температуры реакции была сформулирована Билоузом и Амундсоном [2] и для случая реакции первого порядка решена Хорном [3]. Выражение для расчета оптимального распределения температур в случае процесса, включающего одну обратимую реакцию, было получено Боресковым [4]. Дальнейшему развитию этой проблемы посвящено большое число исследований [5— 10]. [c.171]

Впервые задача о массопередаче через сферическую поверхность раздела фаз с учетом сопротивления в обеих фазах была сформулирована и решена Манро и Амундсоном [26]. Авторы решили уравнение нестационарной диффузии в сферу (11.25) с начальными условиями [c.210]

Математическая модель дробления и коалесценцип частиц дисперсной фазы была разработана также Амундсоно1г с сотрудниками [56]. Однако физический смысл ряда элементарных процессов, описываемых моделью Амундсона, не совсем ясен, и численные коэффициенты должны определяться экспериментально. [c.293]

Шилсои и Амундсон предложили оригинальный метод расчета фактора 1 аталитической эффективности для экзотермических и эндотермических реакцип прп кнудсеновской диффузии в порах. [c.179]

В качестве примера параметрической чувствительности обычно используют работу Билоуса и Амундсона [6] по расчету температурного профиля при проведении экзотермической реакции первого порядка в охлаждаемом реакторе идеального вытеснения. При температуре охлаждающей жидкости Т (в уравнении, приведенном в табл. П-З) 335 К не наблюдали значительного разогрева реакционной смеси — ее температура составляла —345 К. Если же Гвн повысить на 5°, то реакционная смесь разогревается, и температура горячей точки внутри реактора повышается по сравнению с предыдущим случаем на 67°. Понятно,что такое по- [c.151]

Мерой влияния изменения какого-либо параметра П на показатели процесса является совокупность производных температуры и концентраций реагирующих веществ на выходе аппарата по данному параметру = дТ Ь)/дП, Х/ = дС ЩдП. Каждая из величин х,( = 0. 1, , К) называется параметрической чувствительностью соответствующей переменной по данному параметру. Это понятие впервые было введено Амундсоном и Билоусом [11]. [c.337]

Эта задача впервые решена Амундсоном и Билоусом [13]. [c.374]

То обстоятельство, что в определенном интервале параметров температура горячей точки очень чувствительна к изменению этих параметров ( параметрическая чувствительность ), было отмечено также Билоусом и Амундсоном . С помощью аналоговых машин эти авторы исследовали профиль концентрации и температуры для экзотермических реакций первого порядка А Р при различных условиях. Некоторые из их результатов представлены на рис. 1У-9 и 1У-10. Из первого видно, что очень высокий максимум на кривой Т прак тически исчезает, когда скорость отвода тепла на входе, пропорциональная разности (Го удваивается. Рис. 1У-10 показывает, что в определенном интервале при небольшом увеличении Т , АТ, [c.130]

Приведенная теория была разработана в более общей форме Хорном 1 , который прпмоия.л уравнение (VI,47) для нахождения оити.мального температурного профиля различных реакций. Подобные кэ расчеты сделаны Билоусом и Амундсоном для копсекутпв-ных реакций первого и второго порядков в трубчатых реакторах. [c.230]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология