Динамическая система

Понятие фазового пространства динамической системы — одно из важнейших понятий качественной теории дифференциальных уравнений. [c.23]

Поведение динамической системы типа (2.78) исследовано достаточно подробно [153]. Рассмотрим сначала равновесные состояния такой системы. Отличные от нуля состояния равновесия = °, соответствующие установившемуся движению частиц, определяются из уравнения 90 [c.90]

Известно [153], что при значениях параметров, равных бифуркационным, идеальный процесс, описываемый динамической системой, теряет свойство грубости , т. е. устойчивости к малым изменениям вида дифференциального уравнения или, иначе говоря, к.малым изменениям самой математической модели. Это означает, что при малых изменениях коэффициентов дифференциального уравнения (расходов фаз) изменяются основные свойства этого процесса. В нашем конкретном случае исчезает свойство иметь установившееся состояние движения частиц при заданных расходах фаз. Для того чтобы перейти в новое установившееся состояние, необходимо изменить один из расходов, а это в свою очередь приводит к нарушению принятого условия стационарности идеального процесса, описываемого динамической системой. [c.96]

Устойчивость положений равновесия динамической системы может быть исследована при помощи первого метода Ляпунова. [c.25]

Пусть поведение динамической системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением п-то порядка или эквивалентной ему системой из п дифференциальных уравнений 1-го порядка. Если правые части этих уравнений не содержат времени т в явном виде, то система называется автономной. В этом случае уравнения можно записать в виде [c.23]

Здесь XI, Х2,. .., Хп — переменные, характеризующие состояние динамической системы. Каждому мгновенному состоянию системы отвечает определенная совокупность значений этих переменных всякому процессу, протекающему в динамической системе, — изменение значений переменных Х, Хз.....х , определяемое уравнениями (1,26). [c.23]

Фазовым пространством автономной динамической системы п-го порядка, описываемой уравнениями (1,26), называется пространство п измерений переменных Хи Х2, , Хп, отображающее совокупность всех возможных состояний системы. [c.23]

Любое изменение состояния динамической системы можно представить как движение изображающей точки по одной из фазовых траекторий. Скорость этого движения, называемая фазовой скоростью, является п-мерным вектором с компонентами /1, /2,. ... /п. Ее численное значение определяется выражением [c.24]

Динамическая система третьего порядка [c.33]

Стационарными называются такие режимы динамической системы, при которых ее состояние либо не изменяется во времени, либо периодически повторяется. Химические реакторы могут находиться в стационарных режимах как первого, так и второго типа. [c.61]

Пусть уравнения, описывающие поведение динамической системы, имеют вид системы (1,26), а координаты исследуемого положения равновесия в фаговом пространстве удовлетворяют уравнениям (1,28). [c.25]

При исследовании поведения динамической системы представляет интерес не только устойчивость ее положений равновесия, но и характер расположения фазовых траекторий в малой их окрестности. Иными словами, оказывается существенным вопрос о том, каков тип положений равновесия исследуемой системы. [c.27]

Динамическая система второго порядка [c.27]

Если состояние динамической системы описывается двумя переменными, то фазовое пространство двумерно, то есть в простейшем случае представляет собой плоскость. [c.27]

Поделив одно из уравнений (1,33) на другое (например, второе на первое), получим дифференциальное уравнение первого порядка, соответствующее изучаемой динамической системе [c.27]

Кратко остановимся на понятии грубости динамической системы 25. 34 [c.28]

Более конкретно определение грубых систем можно сформулировать так грубыми называются динамические системы, сохраняющие качественный характер расположения фазовых [c.28]

Рис. 1-1. Фазовые траектории динамической системы второго порядка в окрестности узла.

В более общем случае, когда правые части дифференциальных уравнений содержат несколько параметров, можно говорить о бифуркационных кривых, поверхностях, гиперповерхностях, разделяющих пространство параметров на области, внутри каждой из которых топологическая структура фазового портрета остается неизменной. Определение такого разбиения пространства параметров и характера бифуркаций, происходящих на границах областей, является завершающим этапом качественного исследования динамической системы. [c.137]

С физической точки зрения наличие у динамической системы нескольких стационарных состояний обусловлено нелинейными связями, определяющими поведение системы. В некоторых [c.61]

Фазовое пространство динамической системы первого порядка одномерно, то есть в простейшем случае представляет собой фазовую прямую. Координаты Xs положений равновесия на этой прямой определяются из равенства [c.68]

Тепловой эффект Н входит в некоторые формулы, связывающие исходные размерные переменные и параметры рассматриваемых моделей с вводимыми для них безразмерными переменными и параметрами поэтому лишь в случае, когда /7 > О, все безразмерные переменные и параметры, входящие в уравнения, мох<но считать положительными. Если это условие выполняется, то для моделей, представляющих собой динамические системы второго порядка, имеет смысл рассматривать только 1-ю четверть фазовой плоскости, а для моделей, являющихся динамическими системами третьего порядка,— 1-й октант фазового пространства. [c.72]

Об особых траекториях динамической системы см. в главе IV. [c.101]

Фазовый портрет позволяет судить о всей совокупности процессов, которые могут осуществляться в системе при всевозможных начальных условиях. Построение фазового портрета является конечной целью качественного исследования динамической системы, для выполнения которого не нужно находить ни точного, ни приближенного решения уравнений системы. [c.121]

Чтобы построить фазовый портрет динамической системы, необходимо определить взаимное расположение не всех фазовых траекторий (что практически невозможно и совсем не нужно), а только некоторого конечного числа так называемых особых траекторий . [c.122]

Особые траектории разделяют всю фазовую плоскость на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями, характер поведения которых одинаков. Каждая ячейка грубой динамической системы содержит элемент притяжения— устойчивый узел (фокус) или устойчивый предельный цикл, к которому стремятся все фазовые траектории, заключенные в данной ячейке. Иными словами, каждая ячейка является областью притяжения или областью устойчивости в большом (в общем случае частью такой области) для какого-либо положения равновесия или предельного цикла. [c.122]

Основные закономерности различных режимов движения фаз в идеальных дисперсных потоках были установлены в серии работ Лапидуса и Элджина с сотрудниками [146—151]. Результаты этих исследований получили теоретическое обоснование в работах Уоллиса [94] и Зубера [140] в рамках феноменологической континуальной модели раздельного движения фаз. Для нахождения гидродинамических характеристик движения фаз в различных режимах Уоллис [94] использовал разработанную им модель потока дрейфа. По нашему мнению, подход, основанный на анализе равновесных. состояний моделирующей поток динамической системы, является более общим и наглядным. Элементы такого подхода впервые были использованы в работе [152]. [c.87]

Краткие сведения о понятии грубости динамической системы приводились в главе 1. Более подробно см. в [c.122]

Кроме неустановившихся процессов и устойчивых стационарных состояний в динамических системах может осуществляться периодическое изменение величин, характеризующих состояние системы, т. е. незатухающие колебания этих величин. На фазовой плоскости периодическому процессу соответствует движение изображающей точки по замкнутой траектории. [c.133]

Рассмотрим теперь, какие простейшие бифуркации могут осуществляться в динамических системах второго порядка. [c.137]

Пусть поведение динамической системы описывается дифференциальными уравнениями вида (V, 1). [c.160]

Этому математическому определению устойчивости можно дать следующее физическое истолкование. Положение равновесия динамической системы называется устойчивым по Ляпунову, если после малого отклонения от этого положения (в пределах, определяемых величиной 6) система на протяжении всего дальнейшего времени продолжает оставаться вблизи него (в пределах, определяемых величиной е). [c.161]

В динамических системах измеряемой переменной является не время, а объем реакционного пространства Уц в котором циркулируют реагенты, или местонахождение реагентов на пути их продвижения [c.23]

Важной проблемой является обеспечение на промышленной установке контакта между реагентами и теплоносителями в случае непрерывного производства, когда имеет место перемещение реагентов. Для реакций в динамической системе — гетерогенной или гомогенной, каталитических или некаталитических, в газовой и жидкой фазах или в многофазовой системе — время эффективного контакта реагентов в зоне реакции определить очень трудно, для оценки этой величины применяют условные критерии, такие как объемная скорость или время контакта, которые не всегда имеют четкий физический смысл. [c.27]

В общем случае (в динамических системах) характер изменения этих величин не всегда одинаков и зависит от конкретного процесса. Например, при больших объемных скоростях (малое время контакта) степень конверсии будет меньше а выход увеличится. Удельная производительность возрастает пока время контакта не достигнет оптимального значения, после чего при больших объемных скоростях удельная производительность начинает уменьшаться. Сказанное можно проиллюстрировать рис. 6, на котором представлены кривые взаимного изменения этих величин при окислении метана в формальдегид в динамической системе (трубчатый реактор). [c.30]

Taким образом, моделью стационарного движения идеального дисперсного потока является автономная динамическая система первого порядка, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением с правой частью, зависящей от параметров. Уравнение (2.78) показывает, что состояние дисперсного потока при принятых выше допущениях полностью и однозначно определяется заданием одной переменной (в данном случае — объемной концентрации дисперсной фазы). Это означает, что другие гидродинамические переменные Ыд, иы,= с- д являются функциями только объемной концентрации и не зависят явно ни от других переменных, ни от пространственной координаты h. Для установившегося движения частиц факт зависимости относительной скорости движения фаз щ только от объемной концентрации частиц был экспериментально установлен в работах [146-151]. [c.90]

Математические модели, представляемые дифференциальными уравкения.ми, в принципе позволяют по состоянию системы в начальный момент времени определить ее состояние в любой будущий и прошедший моменты времени. Это дает основание называть такие модели динамическими системами. К сожалению, довольно затруднительно четко разграничить, когда под словами динамическая система подразумевается математическая модель, а когда — уравнения этой модели. Тем не менее в дальнейшем мы будем пользоваться этим термином, полагая, что в каждом конкретном случае у читателя не возникнет неясности. [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология