Дифференциальное выражение Пфаффа

Дифференциальные выражения Пфаффа [c.39]

Дифференциальное выражение Пфаффа dQ обладает интегрирующим делителем т тогда и только тогда, когда дифференциальное уравнение Пфаффа, принадлежащее к dQ, имеет решение в виде [c.41]

Если дифференциальное выражение Пфаффа имеет один интегрирующий делитель, то оно имеет также бесконечное множество интегрирующих делителей. [c.42]

Если дифференциальное выражение Пфаффа dQ обладает тем свойством, что сколь угодно близко от каждой точки пространства находятся другие точки Р , к которым нельзя прийти из Р путем dQ = О, то для dQ существует интегрирующий делитель. [c.43]

Дифференциальное выражение Пфаффа для двух независимых переменных всегда обладает интегрирующим делителем. [c.44]

Рассмотрим еще раз квазистатические процессы. Для гомогенной системы дифференциальное выражение Пфаффа dQ зависит только от двух независимых переменных. Существование интегрирующего делителя, а также энтропии является, согласно теореме 6 9, чисто математическим следствием, для которого не нужны дополнительные опытные данные. С этой точки зрения интересен случай с тремя независимыми переменными. Кроме того, идентификация интегрирующего делителя с температурой требует наличия термического равновесия, которое при ограничении двумя независимыми переменными невозможно. По обеим причинам начнем с анализа системы, состоящей из двух фаз и ", разделенных друг от друга диатермической перегородкой и находящихся в термическом равновесии. В качестве независимых переменных выберем V , V и t. [c.47]

Забывать о происхождении термодинамики не следует. Самой термодинамике стыдиться своего происхождения не приходится. Во всяком случае, тепловые машины оказали и оказывают на-жизнь людей несравненно большее влияние, чем дифференциальное выражение Пфаффа (об этом выражении см. в главе X). [c.167]

Дифференциальное выражение Пфаффа [c.203]

Правая часть уравнения (X,12) имеет математическое сходство с выражением для полного дифференциала, но полным дифференциалом не является. Правая часть уравнения (X, 12) носит название дифференциального выражения Пфаффа . [c.207]

Дифференциальное выражение Пфаффа можно написать и для О квазист. Состояние системы снова определяется обобщенными координатами и температурой [c.207]

О дифференциальном выражении Пфаффа см. [5]. [c.207]

Все величины в правой части уравнения (X, 17) — свойства системы. Тем не менее квазист- подобно квазист не является пол-пым дифференциалом (главы VI и VII), а только дифференциальным выражением Пфаффа. Для интегрирования уравнения (X, 17) необходимо задание дополнительной зависимости между Т, V, X, у, г,, т. е. необходимо задание пути перехода системы из ее начального состояния в конечное. [c.208]

В общем случае правая часть уравнений (X, 18), т. е. Тс15, является не полным дифференциалом какой-то функции, а только дифференциальным выражением Пфаффа. Это следует хотя бы из того, что энтропия зависит не только от температуры, но и от других свойств системы. [c.209]

Отличие между полным дифференциалом и дифференциальным выражением Пфаффа состоит в следующем. Пусть заданы приращения свойств, определяющих состояние системы. Тогда этим самым однозначно задано и приращение любой другой величины, если только она тоже — свойство системы. Это последнее приращение не зависит от характера (пути) изменения свойств, определяющих состояние системы. На всех путях, идущих от одного и того же начального состояния в одно и то же конечное состояние, это последнее приращение будет иметь одно и то же значение с точностью до бесконечно малых величин любого порядка. Тогда дифференциальное выражение, написанное по типу правой части уравнения (X, 12) или уравнения (X, 17), представляет собой полный дифференциал от величины, являющейся свойством системы. [c.210]

Пусть величина не является свойством системы. Тогда бесконечно малые приращения свойств определяют бесконечно малое значение этой величины только с точностью до бесконечно малых величин первого порядка. Бесконечно малые значения подобной величины различаются между собой на бесконечно малые величины второго порядка (в зависимости от условий бесконечно малого изменения системы). Тогда дифференциальное выражение, написанное по типу правой части уравнения (X, 12) или уравнения (X, 17), есть только дифференциальное выражение Пфаффа, но отнюдь не полный дифференциал. [c.210]

Поясним отличие между полньщ дифференциалом и дифференциальным выражением Пфаффа на примере диаграммы Р — V (см. рис. 19). [c.210]

Отличие между полным дифференциалом и дифференциальным выражением Пфаффа можно понять и на примере диаграммы Т — S (см. рис. 20). [c.211]

Коши доказал важную математическую теорему. Она позволяет отличить полный дифференциал от дифференциального выражения Пфаффа. [c.212]

Применим теорему Коши для ответа на вопрос, является ли уравнение (X, 13) полным дифференциалом или только дифференциальным выражением Пфаффа. Получим высшие смешанные частные производные от [c.212]

Обе эти смешанные вторые частные производные отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Теорема Коши гласит если порядок последовательного дифференцирования по (в данном примере) V и Т безразличен, то квазист — полный дифференциал если же порядок последовательного дифференцирования по V и 7" существенен, то квазист — дифференциальное выражение Пфаффа. [c.212]

До сих пор в качестве независимых переменных, определяющих состояние системы, выбирали объем и температуру. Но вследствие взаимозависимости свойств можно вместо объема и температуры выбрать в качестве независимых переменных другую пару свойств, например объем и давление, давление и температуру. Написав дифференциальные выражения Пфаффа для квазист и г квазист для новой пары независимых переменных и подставив эти выражения в уравнения (УП, 2а) и (IX, 32), можно затем точно таким же путем, как это было сделано для переменных Т и V, получить термодинамические уравнения для новой пары независимых переменных. [c.218]

При квазистатическом процессе бесконечно -малое количество теплоты < <7квазист Не представляет собой полного дифференциала от какой-нибудь функции состояния системы и является дифференциальным выражением Пфаффа [уравнение (X, 17)]. Произведение дифференциального выражения Пфаффа (X, 17) на функцию X(e, V, X, у, г) от независимых переменных , V, х, у, z (в данном случае) может стать полным дифференциалом. Тогда говорят, что дифференциальное выражение Пфаффа допускает интегрирующий множитель. [c.270]

Можно доказать, что при друх независимых переменных дифференциальное выражение Пфаффа всегда допускает интегрирующий множитель. Но для дифференциального выражения Пфаффа, имеющего более двух независимых переменных, интегрирующего множителя в общем случае не существует. [c.271]

Постулат Каратеодори равносилен допущению (доказательство дал Каратеодори), что дифференциальное выражение Пфаффа (X, 17) всегда имеет интегрирующий множитель. [c.271]

Дифференциальное выражение Пфаффа 199 [c.199]

Дифференциальное выражение Пфаффа 201 [c.201]

Выражения, подобные уравнению (X, 12) и имеющие математическое сходство с выражением для полного дифференциала, но тем не менее не являющиеся в общем случае полными дифференциалами, получили название дифференциального выражения Пфаффа. [c.201]

Дифференциальное выражение Пфаффа можно написать и для й квазнст.- Снова принимзем, что состояние системы определяется обобщенными координатами и температурой. [c.201]

Дифференциальное выражение Пфаффа 203 [c.203]

В общем случае правая часть уравнения (X, 18), т. е. TdS, является не полным дифференциалом какой-то функции, а только дифференциальным выражением Пфаффа. Это следует хотя бы [c.203]

Отличие между полным дифференциалом и дифференциальным выражением Пфаффа состоит в следующем. Если заданы приращения свойств, определяющих состояние системы, то эти самым [c.204]

Дифференциальное выражение Пфаффа 2U5 [c.205]

Поясним отлнчие между полным дифференциалом и дифференциальным выражением Пфаффа на примере диаграммы Р—У (рис. 16). [c.205]

Читатели знают, что при квазистатическом процессе бесконечно малое количество теплоты / /квазист. не представляет собой полного дифференциала от какой-нибудь функции состояния системы, но является дифференциальным выражением Пфаффа [уравнение (X, 17)1. [c.266]

Если дифференциальное выражение Пфаффа, примером которого является уравнение (X, 17), можно умножить на такую функцию /,( ), V, X, у, Z) от независимых перелгенных Si, V, х, у, г (в данном случае), что полученное выражение й квазисг. Ц Ь V, /. z) превращается в полный дифференциал, то говорят, что дифференциальное выражение Пфаффа допускает интегрирующий множитель. [c.266]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология