Дифференциальные уравнения в независимых переменных

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Таким образом, дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости (1.67) оказалось выраженным полностью через безразмерные переменные и параметры, и, следовательно, решение этого дифференциального уравнения (независимо от того, возможно ли оно какими-либо методами) должно представлять собой некую функциональную зависимость между безразмерными величинами скорости (И ) и давления (П), безразмерными переменными (9 и Л) и безразмерными параметрами процесса (коэффициентами уравнения) - критериями подобия гомохронности, Фруда, Эйлера и Рейнольдса. [c.87]

Каждая математическая переменная, входящая в дифференциальное уравнение, независимо от размерности, должна быть представлена в машине некоторой аналоговой величиной, так называемой машинной переменной. Переменные в уравнении и соответствующие им машинные переменные связаны определенным масштабным коэффициентом (масштабом). Масштабный коэффициент представляет собой коэффициент пропорциональности М.у. между переменной уг решаемой задачи (уравнения) и машинной переменной 11у [c.70]

Обыкновенное дифференциальное уравнение соотношение, содержащее одну независимую (х), одну зависимую переменную (искомую функцию и) и одну или более производных по х. [c.411]

Дифференциальное уравнение в частных производных уравнение, содержащее одну зависимую, две или более независимых переменных и частные производные по независимым переменным. [c.411]

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Возможны случаи, когда скачкообразное, быстрое изменение какой-либо независимой переменной в непрерывном стационарном процессе нарушает установившийся режим процесс при этом становится нестационарным и остается таким до тех пор, пока не установится непрерывное стационарное состояние уже с другими параметрами. Такое переходное состояние можно представить как диффузию величины помехи (возмущения). Эта проблема особенно важна в технике регулирования (динамика процесса). Характерные переменные системы, таким образом, зависят от времени. В общем проблему можно сформулировать так стационарное состояние элемента процесса нарушается тем, что на входе изменяется значение переменной (мы считаем безразличным, нроизводится ли изменение намеренно с целью приближения к техническому или экономическому оптимуму или же оно происходит самопроизвольно) важно определить, какое значение примет эта переменная на выходе из единичного элемента процесса или из их совокупности. Этот переход в системе описывается дифференциальным уравнением, в котором присутствует (на выходе) производная упомянутой переменной. Появившаяся функция возмущения сама может быть любой функцией времени и содержать производные высших порядков. В общем виде она выражается следующим образом [c.305]

А— Приращение независимой переменной при числовом методе решения дифференциальных уравнений (шаг). hg—коэффициент теплоотдачи для наружной стенки реактора. Л —коэффициент теплоотдачи для внутренней ст нки реактора. Н—энтальпия. [c.17]

В последнем уравнении две функции от различных независимых переменных равны, что верно только в том случае, если обе функции в свою очередь равны постоянной величине. Ниже мы покажем, что указанная постоянная должна быть отрицательной, поэтому она обозначена через —Решая полученные обыкновенные дифференциальные уравнения, находим [c.249]

Поскольку наиболее простое отображение поведения химического реактора относится лишь к одному из этих явлений, наша диаграмма должна иметь три исходные точки. Теплоперенос может оказаться весьма сложным, но все же его можно описать линейными дифференциальными уравнениями до тех пор, пока значения коэффициентов теплопередачи и теплопроводности принимаются постоянными или по крайней мере линейными функциями независимых переменных. [c.117]

Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми переменными, неизвестными (искомыми) функциями и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестационарных процессов, а также процессов с распределенными параметрами. Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон ее изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость. Аналогично для определения числа ступеней разделения в процессе периодической ректификации необходимо определить состав кубового остатка и дистиллата как функции степени отгона. Это можно осуществить путем решения системы дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. [c.347]

Решением дифференциального уравнения является некоторая функциональная зависимость, которая в простейших случаях может быть получена аналитически, а в более сложных — численными методами в виде таблицы значений независимой переменной и соответствуюш,их значений функции. [c.349]

Если неизвестные функции рассматриваются как функции одной независимой переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными, в противном случае — уравнениями с частными производными. Порядок наивысшей производной, входяш,ей в данное уравнение, называется порядком этого уравнения. [c.349]

Обыкновенные дифференциальные уравнения используют для математического описания нестационарных режимов (динамики) объектов с сосредоточенными параметрами, а также установившихся режимов объектов с распределенными параметрами, в которых значения параметров зависят только от одной пространственной координаты. В первом случае независимой переменной в дифференциальных уравнениях является время (и решается задача с начальными данными), во втором — пространственная координата (и решается краевая задача). [c.201]

Для нахождения указанных решений поступают следующим образом. Принимая параметр X за независимую переменную и считая Х], Х2,. .., Х функциями от X, дифференцируют уравнение (5.10) по этой переменной. В результате получают систему линейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных дХг/6Х (/ = 1,2,. .., я) [c.268]

Интервал изменения независимой переменной I (г , г ) разбит на ряд интервалов точками /ц. . ., На каждом интервале tj., у определена система дифференциальных уравнений в частных производных (11,56). В точках ( = = 1,. . ., — 1) в общем случае выполняется соотношение (11,66). [c.59]

Математические описания основного и сопряженного блоков можно упростить (уменьшить размерность системы дифференциальных уравнений), если учесть, что при т реакциях ж т< п в действительности только т переменных являются независимыми, а остальные выражаются через них. При этом для простоты примем дополнительно (такое предположение часто оправдывается на практике), что можно не учитывать изменение объема реакционной смеси. Как можно показать, математические описания (УП,83)—(УП,86) в данном случае эквивалентны соответственно следующим математическое описание основного блока [c.155]

B. Дифференциальные уравнения для описания распределений температуры. Независимые переменные. Поскольку большинство теплообменников имеет форму цилиндра, удобно использовать цилиндрическую систему координат (О, г, г), в которой 0 — угол, отсчитываемый от произвольно выбранной плоскости, проходящей через ось цилиндра г — расстояние от оси симметрии 2 — расстояние, взятое в направлении, параллельном оси симметрии, и отсчитываемое от плоскости, перпендикулярной этой оси. [c.28]

Если вместо t в качестве независимого переменного в систему дифференциальных уравнений (IX.24) ввести р, то последняя [c.369]

Итак, удалось успешно разделить три переменные и получить три независимых дифференциальных уравнения [c.64]

I условна, так как фактическими переменными являются только массы компонентов п, и их изменения d ,. Дифференциальные уравнения термодинамики удается использовать наиболее эффективно, когда они приведены к виду уравнений от независимых переменных. Поэтому фундаментальное уравнение Гиббса [c.134]

В объектах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, все параметры являются функциями только времени, и делятся на входные и выходные лишь по их независимому или зависимому заданию, поэтому входные параметры всегда входят в дифференциальные уравнения математической модели. В отличие от этого в объектах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, внутренние параметры зависят от пространственной переменной и входные параметры относятся к одной из точек (обычно к точке > = 0). В таких системах входные параметры, как правило, задаются в виде граничного условия на входе в аппарат (а = 0). Кроме того, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, входные параметры могут непосредственно входить в уравнения математической модели. [c.45]

Ряд моделей АВМ (МН-11, ЭМУ-10, Электрон ) имеют специальные устройства — оптимизаторы, которые ведут автоматический поиск наилучшего для данной задачи сочетания независимых параметров. Автоматические оптимизаторы могут работать при наличии 5—12 переменных при ручном подборе эта работа является исключительно трудоемкой, если число переменных больше трех. Большие АВМ позволяют исследовать кинетику сложных химико-технологических процессов. Так, машина МН-14 имеет 80 усилителей, 50 блоков перемножения и может решать систему из 30 дифференциальных уравнений первого порядка. [c.344]

Из приведенной схемы расчета видно, что для нахождения каждого значения вероятности при определенном наборе значений четырех независимых переменных необходимо рассчитать большое число траекторий, т. е. провести большое число численных интегрирований сложной системы из 12 дифференциальных уравнений. Однако это вполне реально при использовании быстродействующих ЭВМ. [c.118]

Постараемся описать теплообменник по отдельным зонам и свести решение задачи к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, независимой переменной в которых было бы время. Для этого используем метод конечных разностей, как было показано в предыдуга ем примере. [c.225]

Де i/b У2, //Л вектор N переменных, определяемых дифференциальным уравнением х= х , Х2,. .., Хм) — вектор М переменных, определяемых ал-1ебраическим уравнением т — независимая переменная (время) /, g — известные векторные функции. [c.146]

Наряду с одним дифференциальным уравнением во многих теоретических и практических задачах используются также и системы дифференциальных уравнений. Система обыкновенных диqJ-ференциальных уравнений имеет столько уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций, причем все неизвестные функции являются функциями одной независимой переменной. Для систем уравнений в частных производных число независимых переменных больше единицы, но число уравнений также равно числу неизвестных функций. При решении дифференциальных уравнений системы имеют важное значение, поскольку любое уравнение порядка выше первого может быть путем замены переменных преобразовано в систему уравнений первого порядка. Действительно, если имеется уравнение [c.350]

Аналитическое изучение объекта сводится к сопоставлению уравнений, характеризующих АВО в равновесном состоянии и переходном режиме. В общем виде динамические характеристики объектов регулирования описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Числовые коэффициенты, входящие в уравнения, зависят от конструктивных особенностей АВО, характера движения теплоносителей, теплопередающей способности аппаратов. Надо сказать, что аналитически невозможно охарактеризовать все многообразие независимых переменных, влияющих на регулируемый параметр <вых, поэтому свойства АВО исследуют экспериментально, снимая на действующих аппаратах статические и динамические характеристики. Для систем, характеризуемых одной входной t и одной выходной величиной Ibhx, процессы регулирования могут быть описаны обобщенным уравнением вида [c.117]

Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]

Третьей математической моде тью является модель непрерывного замедления нейтронов, больше известная как возрастное приближение Ферми. Возрастная теория Ферми представляет собой первое приближение к уравиепию Больцмана, в котором распределение нейтронов есть функция двух независимых переменных — энергии и положения. Зависимость плотности нейтронов от наирчвления их движения исключается предположением, что в областях, удаленных от границ, угловое распределение нейтронов изотропно. В этом возрастном приближении уравнение Больцмана сводится к дифференциальному уравнению в частных производных типа уравнения теплопроводности. [c.22]

Если подставить в уравнение (9.18) k = /, то следует, что условие для двух независимых переменных выполняется всегда. Поэтому с учетом теоремы 1 приходим к теореме 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение Пфаффа [c.44]

Начальные условия (концентрации) даны для каждого компонента. Независимая переменная т — величина, обратная общей массовой скорости подачи жидкого сырья — массе сырья, поданного в час на единицу массы катализатора, загруженного в реактор. Такая форма дифференциальных уравнений использовалась при разработке модели и при моделироваийи. Это было сделано потому, что профили концентраций удобно представлять в той же форме, в какой представлены исходные данные. Тепловой баланс на данном этапе не требовался, потому что реакцию проводили в изотермическом режиме для каждой серии опытов. Уравнения (5) — (8) решали на аналоговой вычислительной машине ЕА-680. Параметры устанавливали и определяли для каждой группы зависимостей концентрация — время . Полученные зависимости должны были характеризовать скорость реакции, энергию активации, химическое равновесие и влияние на него температуры. [c.288]

Проиллюстрируем сказанное, вычислив значения функций и мат- рицы их частных производных по независимым переменным a i,. . . , а ,, Т для правых частей системы дифференциальных уравнений (111,55). В табл. 22 для данного примера сопоставлены основные характеристики (длина программы, время счета) программ, полученных посредством метода конечных разностей первого порядка и описанного выше алгоритма для ЭВЦМ Минск-22 . [c.291]

В осесимметричном неизэнтропическом случае система равенств, определяющих искомые функции на экстремали при любой из независимых переменных у к ф, включает два дифференциальных уравнения. [c.102]

АВМ недостаточно универсальны они предназначены в основном для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами и некоторых нелинейных дифференциальных уравнений. Для моделирования различных нелинейных зависимостей приходится дополнять АВМ специальными решающими блоками. Трудности при моделировании иа АВМ возникают и тогда, когда имеется более одной независимой переменной, например пространагвенные и временные координаты. [c.325]

Для решения граничных задач необходимо решить задачу минимизац. на граничных условиях. Так для системы (N+1) - дифференциальных уравнении функция /, которая характеризует степень рассогласования между вычисленными граничными условиями и заданными граничными условиями, зависит от (N+1) неизвестных. При использовании систем реакторных инвариантов функция V)/ зависит только от т<К+1 (т=рГ Во) независимых переменных. Когда т значительно меньше N+1 численное решение (24)-(25) упрощается. Заметим при этом, чго темпера1ура в реакторе также может быть выбрана в качестве одного из юпочевых веществ. В этом случае для определения стационарных профилей концентраций и температуры реакционной смеси в реакторе, необходимо построить функцию V)/, которая зависит от температуры в реакторе и концентраций (т-1) ключевых веществ. Иллюстрации использования реакторных инвариантов будут определены на конкретных примерах. Для упрощения вычислений основное внимание будет уделено одномаршрутной реакции типа А=В. [c.112]

Химический потенциал введен Гиббсом (1875) и обозначается символом [X. Физический смысл этого понятия может быть понят на основе представлений об экстенсивных и интенсивных свойствах, произведение которых характеризует тот или иной вид работы, в том числе и химическую. Экстенсивные свойства (факторы емкости) зависят от количества вещества, объема и др. Интенсив -ные свойства (факторы интенсивности) не зависят от количества вещества. К их числу относятся температура, давление, концентрация и др. Фактором интенсивности химической работы служит химический потенциал (х, а фактором емкости — число молей. Тогда работа химических реакций и фазовых переходов выражается как сумма произведений фактора интенсивности на фактор емкости, т. е. в дифференциальной форме Ц с1п1. Учет химической работы приводит к тому, что ё уравнениях (П1.9—111.12) для фазы, масса и концентрация вещесхв в которой может изменяться в результате химических реакций и обмена компонентов с другими фазами, появляются дополнительные члены, равные Например, при независимых переменных р, Т и П, п,2, Из,... выражение для (10 (уравнение П1.12) принимает вид [c.160]

Лля прибликенного решения несимметричной задачи с двумя независимыми перJNeнRыми необходимо проинтегрировать систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, а для определения температуры в произвольных точках - выполнить алгебраические операции с полученными переменными. [c.76]

В случае приближенного решения несимметричных задач с тремя независимыми переменными необходимо проинтегрировать систему из шести о<5ыкновенных дифференциальных уравнений, а температуру в любых произвольных точках определить с помощью алгебраических операций с по- [c.76]

При приближенном решении несимметричных задач теплопроводности с четырьмя независимыми переменными имеются следующие три варианта, Поле, несимметричное относительно одной независимой переменной, определяется системой обыкновенних дифференциальных уравнений двенадцатого порядка. При несимметрии по двум независимым переменным необходимо решать систему иэ восемнадцати дифференциальных уравнений. [c.77]