Интеграл теплового баланса

Введем теперь в рассмотрение величину б(/), которую назовем глубиной проникания . Глубина проникания 6 t) обладает следующим свойством. Для всех значений л > б( ) можно с достаточной точностью считать, что температура среды равна температуре начального состояния, а тепло не распространяется за пределы этого расстояния. Глубина проникания — аналог толщины пограничного слоя в гидродинамике. Умножив соотношение (1) на dx и проинтегрировав в пределах от л = О до д = 6, получим уравнение, называемое интегралом теплового баланса. Потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности (1), а осредненному, т. е. интегралу теплового баланса. Отсюда следует, что исходное уравнение теплопроводности будет удовлетворяться лишь в среднем. Такое осредненное уравнение—интеграл теплового баланса— аналог интеграла импульсов в теории пограничного слоя. Впервые интегральные методы были введены Карманом и Польгаузеном [2] для решения нелинейных гидродинамических задач пограничного слоя. Современное состояние метода Кармана — Польгаузена и библиография по этому вопросу рассмотрены в монографии Шлихтинга [3 ]. Одна-ко этот же метод с одинаковым успехом можно применить для решения любой задачи, описываемой уравнением диффузионного типа. Уравнениям данного типа подчиняются такие процессы, как процесс нестационарной теплопроводности в твердых телах, неустановившееся течение жидкости в пористых средах, смешение двух биологических разновидностей, распространение слухов (из области социальных наук). Ниже интегральный метод будет развит применительно к задачам теплообмена. Решения, найденные с его помощью, хотя и не совсем точны, тем не менее часто вполне удовлетворительны с инженерной точки зрения. [c.42]

Интеграл теплового баланса, полученный в результате осреднения уравнения (1) описанным выше методом, дает [c.42]

Подставляя теперь выражение (8) в интеграл теплового баланса (3) и учитывая соотнощения (2) и (5), получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно б [c.43]

Уравнение (20) связывает температуру и глубину проникания. Следовательно, фактически остается только одна неизвестная функция времени, входящая в уравнение (19) ее значение определяется из интеграла теплового баланса. Проинтегрировав уравнение (1) в пределах от л = О до д = б и использовав соотношения (5) и (17), получим [c.45]

Такую форму выбрали, исходя из стационарного распределения (68). Интегрируя уравнение (67) от д = О до л = оо, получаем интеграл теплового баланса Э0 [c.53]

Пусть Т — полином второй степени от х. Уравнения (32) и (91) —два граничных условия для определения произвольных постоянных. Третье граничное условие — уравнение (93). Однако в написанной форме это уравнение неудобно, поскольку, если его использовать, в коэффициенты полинома войдет ds/dt. В 0 также войдет ds/dt, и интеграл теплового баланса даст в этом случае дифференциальное уравнение второго порядка относительно s t), в то время как в нашем распоряжении для s(t) имеется только одно граничное условие, а именно s(0) = 0. Чтобы обойти возникшую трудность, представим уравнение (91) в другой форме. Продифференцировав его по t, получим [c.58]

Эта задача аналогична предыдущей, только теперь вместо условия (32) на поверхности задано условие (2). Интеграл теплового баланса принимает вид [c.59]

Усреднив уравнение (1) в пределах от s до б, определим интеграл теплового баланса. Учитывая условие (111), имеем [c.60]

Теперь становится ясным путь для поисков решения задачи требуется ввести профиль температур, определяемый двумя (или более) зависяш,ими от времени параметрами, которые могут быть найдены из двух (или более) условий задачи. При данном подходе интеграл теплового баланса превращается в одно из таких условий. Совокупность условий задачи дает при этом замкнутую систему уравнений для определения всех требуемых параметров. [c.69]

Гудмен и Уллах [45] разработали метод, в котором используются два параметра один из них — глубина проникания для некоторой вспомогательной задачи, в то время как другой параметр определяется из интеграла теплового баланса. Таким образом, искомые два параметра определяются неодновременно, а последовательно, тогда как для одновременного определения параметров, вообще говоря, достаточно одного интеграла теплового баланса. Описанный метод станет понятнее, если рассмотреть его на конкретном примере. [c.69]

Основная идея метода заключается в использовании решения, найденного из интеграла теплового баланса, для получения улучшенного профиля температур. Взяв затем найденный улучшенный профиль температур в качестве исходного, мы, вообще говоря, можем снова решить интеграл теплового баланса. Теоретически такую процедуру можно повторить столько раз,сколько это нужно для получения необходимой точности. После каждой итерации рассчитывается некоторый количественный критерий J, определяемый таким образом, чтобы точному решению задачи соответствовало значение У, равное нулю. Определяя величину / после каждой итерации, мы тем самым можем судить о том, насколько улучшается решение. На первый взгляд может показаться, что такой критерий точности лишний, поскольку о качестве решения после п итераций можно судить, исходя из того, имеются ли большие изменения в решении при переходе от одной итерации к другой или нет. Однако на практике бывает необходимым остановить процесс после одной итерации, и поэтому было бы весьма желательно иметь какой-либо метод оценки улучшения, достигнутого этой итерацией. Отсюда видно, что количественный критерий — важная составная часть этого метода. [c.84]

Интеграл теплового баланса находится интегрированием обеих частей уравнения (262) по области, ограниченной наружным контуром призмы Со = О и линией замерзания С = 0. Применив к полученному уравнению граничное условие (264), найдем [c.92]

Благодаря уравнению (267) функция 0 удовлетворяет граничным условиям (263). Подставив выражение (271) в интеграл теплового баланса (270), получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно е(т), которое нужно решить при начальном условии (269). [c.92]

Дифференцируя соотношение (38) и используя уравнения (5) и (37), получаем недостаюш,ее граничное условие в форме (18). С учетом этого условия интеграл теплового баланса примет вид [c.49]

Интегрируя уравнение (78) отл = Одол = б и используя уравнение (81), получаем интеграл теплового баланса [c.55]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология