Каратеодори теорема

Теорема 4 (2 теорема Каратеодори) [c.43]

Из принципа Каратеодори в сочетании с теоремой 4 9 непосредственно следует существование интегрирующего делителя для dQ. Поэтому [c.47]

Заметим еще, что в последнее время а называют эмпирической, а 3 — метрической энтропией. При этом эмпирическая переменная установлена при любых согласованных и непрерывных трансформациях шкал, в то время как метрическая переменная допускает только линейную трансформацию шкал (расширение масштаба и смещение нулевой точки). Существование эмпирической энтропии следует из теоремы 6 9, а также из принципа Каратеодори. Введение термической связи служит для того, чтобы сконструировать метрическую энтропию и таким образом выделить среди всех возможных (см. теорему 2 9) пар переменных а, I одну определенную пару. [c.51]

Теорема непосредственно вытекает из принципа Каратеодори. Предположим, что недостижимые состояния z расположены по обе стороны от s. Так как они, согласно принципу Каратеодори, должны быть расположены сколь угодно близко от 2q, то отсюда должно было бы следовать, что S вообще нельзя покинуть адиабатическим путем достижимость z подразумевает именно достижимость всех состояний, которые расположены на поверхности адиабаты s, проходящей через z. Но тогда это следствие должно было бы противоречить названному принципу, что и доказывает теорему. [c.59]

Теорема вытекает непосредственно из принципа Каратеодори. Это видно из рис. 7, на котором с двух сторон от адиабаты з" проведены адиабаты 1 и [c.60]

Таким образом, удалось свести проблему к вопросу, связаны ли адиабатические процессы, протекающие вдоль линии У = У с увеличением или с уменьшением внутренней энергии. Рассмотрение этих специальных процессов приводит к общему результату, потому что, согласно теоремам 1 и 3, все состояния, которые можно получить, исходя из данной адиабаты, расположены в том же полупространстве. Как уже было упомянуто в 10, на поставленный вопрос нельзя ответить с помощью принципа Каратеодори, так как в нем ничего не сказано о том, какое из обоих полупространств адиабатически недостижимо. Сформулируем следующий [c.63]

Этот принцип можно рассматривать как одну из формулировок второго закона термодинамики. Как показал Каратеодори, на его основе с помощью ему же принадлежащей математической теоремы можно построить термодинамику чисто логическим и математическим путем, не прибегая к дополнительным представлениям, В этой книге упоминаемый здесь путь не будет использован, так как он требует громоздкого математического аппарата. Однако мы намерены, во-первых, показать совместимость принципа адиабатической недостижимости с классическими формулировками Клаузиуса и Кельвина. Во-вторых, воспользоваться результатами, к которым этот принцип ведет . [c.70]

Эта чисто математическая теорема предопределила содержание развито Каратеодори методики обоснования термодинамики. Каратеодори расчленил исходные законы термодинамики на аксиомы. В качестве первой он принял аксиому о тепловом равновесии, в качестве второй — следующее положение для каждого состояния всякого тела имеются в непосредственной-близости к этому состоянию адиабатно недостижимые состояния. Эта вторая аксиома долженствует заменять второе начало термодинамики. [c.14]

Ответ на эти вопросы состоит в следующем [16]. Если множество М принадлежит М-мерному векторному пространству, то для получения любого элемента его выпуклой оболочки требуется осреднять не более чем М 1) элемент М теорема Каратеодори). [c.84]

Теорема Каратеодори позволяет записать условия оптимальности для усредненной задачи. Согласно этой теореме, для получения ординаты выпуклой оболочки функции достижимости Л, зависящей от Р переменных, требуется осреднять значения этой функции для Р -Ь 1)-го элемента множества Q. [c.89]

Ответ на эти вопросы дает теорема Каратеодори [33] если множество М принадлежит Л -мерному векторному пространству, то для получения любого элемента его выпуклой оболочки требуется усреднять не более чем 1) элемент М. [c.42]

Обсудим эту теорему. При = 1, т. е. на прямой, невыпуклое множество состоит из отдельных отрезков или интервалов (рис. П-22) и достаточно двух элементов М, чтобы соединяющий их отрезок дополнил множество М до минимального выпуклого множества. На плоскости Н = 2) множество М может быть таким, что попарное усреднение не образует выпуклой оболочки множества. Так, множество М, изображенное на рис. П.22, не является выпуклым. В то же время среднее из трех элементов М есть точка произвольного отрезка, соединяющего у и некоторую точку отрезка [у , у ], т, е. внутренность треугольника УхУ2,Уу Теорема Каратеодори утверждает, что больше трех точек осреднять не требуется. Для получения пространственной фигуры с ненулевым объемом в трехмерном пространстве М = 3) достаточно четырех то-рис. 11.21. Множество м чек. Этих четырех точек достаточно для по-и его выпуклая оболоч- дудения любого элбмента множества Со М. [c.84]

Вернемся к задаче с одним условием и покал ем, как должна выглядеть последовательность / (t) . Прежде всего из теоремы Каратеодори следует, что при каждом t оптимальное решение задачи (П-100) р (у, t) сосредоточено не более чем в двух базовых точках у (t) и у (г). Если оно сосредоточено лишь в одной из них, то соответствующее значение у (t) нужно подставить в задачу (П-99). Если же на некотором интервале значений t базовых точек две, то в окрестности каждого значения t, принадлежащего этому интервалу, последовательность у,- (i) представляет собой сколь угодно быстро переключающиеся функции, принимающие значение у (t) в течение доли 7 (i) и г/ (t) в течение доли 7а (i) некоторой сколь угодно малой окрестности момента [c.118]

Среди многочисленных попыток аксиоматического построения термодинамики наиболее известной и наиболее успешной, по-видимому, является теория Каратеодори [2]. Он заменил традиционное выражение для второго закона очень простым утверждением, которое приводилось в 3. Это утверждение основывается на следующей математической теореме пфаффова форма [c.90]

Нам кажется, что оба приведенных доказательства этой теоремы более просты, чем у Каратеодори [3, 13]. Каратеодори для отображения двух эксцентричных окружностей на две концентричные предполагает необходимым выполнение двух дробно-линейных преобразований Мёбиуса общего типа (а не одной обобщенной инвспсии, как у нас), причем совсем не оттенены роли биполюсов, свойства которых позволили нам упростить доказательства. [c.80]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология