Множество выпуклая оболочка ot

Теперь перейдем к изложению алгоритма для решения задачи (4.3.24). Идея алгоритма состоит в том, что на каждой итерации решается задача i/ ->-min не на всем множестве D, а на выпуклой оболочке его k точек ft г + 1. одной из которых является предыдущее приближение, а другие получены на итерациях как решения линейных задач, т. е. вычислены по формуле (4.3.28) при разных 6й, построенных по формуле (4.3.27) с различными векторами g. Обозначим через у , i = = 1,2,. .., S, точки из D, на выпуклой оболочке которых будем искать точку с минимальной нормой, а через а,- и i, i = I, ky k s, — коэффициенты выпуклой комбинации, с помощью которых представляются старое и новое приближения, соответственно. [c.198]

В заключение сделаем два замечания. Первое касается принятого здесь предположения о выпуклости множества А. Оно является существенным. Действительно, при наличии в окрестности решения так называемого зазора между А и его выпуклой оболочкой (см. рис. 14), приведенный выше алгоритм, определяющий шах min [c.113]

Пусть Т — замкнутая выпуклая оболочка множества 2, которую будем считать невырожденной, и пусть Р — конечномерное пространство действительнозначных функций, заданных на Т. [c.210]

Замечание 2. Если условие выпуклости исходной задачи не выполняется, то для Vi>0 получим лишь ее локальное решение, т. е. локальный минимум функции / (х) на выпуклой оболочке невыпуклого множества ограничений Q. [c.338]

Определение размерности выпуклой оболочки множества точек, координаты которых являются столбцами М [c.402]

Замкнутая выпуклая оболочка гиббсовских состояний, полученных в (Ь), совпадает со множеством А ф всех гиббсовских состояний. [c.38]

В силу (а) множество Кф всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества К гиббсовских состояний, полученных в (Ь), содержится в А ф. Предположим, что К ф Кф. Тогда существует функция А ем мера <т е Кф, для которых [c.38]

Предположим, что ст G / ф не принадлежит замкнутой выпуклой оболочке указанного множества мер р. По теореме о разделимости компактных множеств (приложение А.3.3 (с)) существует такое Ф е X, что [c.64]

Пусть V — вещественное векторное пространство. Множество 5 С У называется выи> оьш, если а.х + (1 —а)у е 5 при всех ж, у е Зиа е [О, 1]. Выпуклой оболочкой множества 5 С У называется наименьшее выпуклое множество, содержащее б. [c.258]

Пусть далее Т есть выпуклая оболочка 8. Тогда из соотношения (1П.3.26) следует, что бц есть снова наибольшая из б, такое, что Т и О , имеют не пустое пересечение. Используем теорему отделимости выпуклых множеств Если два выпуклых множества не пересекаются, то их всегда можно разделить гиперплоскостью . Из теоремы следует, что существует гиперплоскость Ь с положительными наплавляющимися косинусами, отделяющая Об, и 8. [c.135]

Тогда можно использовать линейную модель (или кусочно-линейную) с переменными коэффициентами. В данной ситуации очевиден выигрыш в точности, который достигается за счет заключения в выпуклую оболочку описываемого множества. [c.35]

Чтобы детальнее разобраться в задаче нелинейного программирования в среднем, нам придется использовать понятие выпуклой оболочки множеств и функций. [c.84]

Выпуклые оболочки множеств и функций. Пусть в линейном пространстве , т. е. в пространстве, для элементов которого определены линейные операции суммирования и умножения на скаляр, имеется множество М. Выпуклую оболочку множества М образуют такие элементы У, которые могут быть получены из элементов М путем операции усреднения. Это множество обозначают через Со М. Ясно, что Со М гэ М, ибо сам элемент можно рассматривать как результат усреднения, при котором ему приписан единичный вес. [c.84]

Ниже мы будем иметь дело с пространствами действительных векторов. В этих пространствах среднее из двух элементов г/1 и лежит на отрезке, соединяющем /1 и у . На рис. 11.21 показано множество М и его выпуклая оболочка. Точку г/ , лежащую вне Со М, нельзя получить осреднением элементов М, [c.84]

Определение. Выпуклая оболочка множества М есть минимальное выпуклое множество, включающее в себя М. [c.84]

Ответ на эти вопросы состоит в следующем [16]. Если множество М принадлежит М-мерному векторному пространству, то для получения любого элемента его выпуклой оболочки требуется осреднять не более чем М 1) элемент М теорема Каратеодори). [c.84]

На рис. 11.23, б показана выпуклая оболочка множества М, выделяемого условиями [c.85]

Рис. 11.23, Примеры выпуклых оболочек множеств, выделяемых различными типами условий

По аналогии с выпуклой оболочкой множества введем понятие о выпуклой оболочке функции /, которую обозначают через Со /. (Напомним, что под выпуклостью мы всюду понимаем выпуклость вверх.) Множество, лежащее под графиком функции /, определенной на выпуклом множестве [c.86]

Построим выпуклую оболочку этого множества. [c.86]

Определение. Верхнюю границу выпуклой оболочки определяющего множества называют выпуклой оболочкой функции f на Q и обозначают через Сод/. [c.86]

Этому определению эквивалентно следующее выпуклая оболочка функции на выпуклом множестве Q есть минимальная выпуклая функция, большая чем f для любого х Q. [c.86]

Выпуклая оболочка функции f (х) на выпуклом множестве Q 6 представляет собой результат решения экстремальной задачи [c.86]

Покажем, что это определение эквивалентно данному выше определению Сод/, как выпуклой оболочки определяющего множества. [c.86]

Выпуклой оболочкой функции f х) на множестве Q будем называть выпуклую оболочку Д (х) на Со Q, не делая специальных оговорок. [c.87]

Однако по определению выпуклой оболочки функции на невыпуклом множестве, которое было приведено выше, для построения Со/о мы дополняем Q до его выпуклой оболочки, а на дополненных участках считаем достаточно малой. При этом Сод/ на этих участках определена. На рис. 11.27 приведен пример функции достижимости и ее выпуклой оболочки. Решение исходной задачи отсутствует, так как для любого х 7 . / не равна нулю. Усредненная же задача имеет решение, которому соответствует значение целевой функции, равное Со /о (0). [c.89]

Теорема Каратеодори позволяет записать условия оптимальности для усредненной задачи. Согласно этой теореме, для получения ординаты выпуклой оболочки функции достижимости Л, зависящей от Р переменных, требуется осреднять значения этой функции для Р -Ь 1)-го элемента множества Q. [c.89]

Так как множество средних значений вектора х представляет собой выпуклую оболочку множества D, то задача (П-68) эквивалентна задаче [c.93]

Итак, при каждом t функцию /о нужно заменить ее выпуклой оболочкой на множестве Fu и решать задачу типа (П1-40а), (П1-41а с выпуклой подынтегральной функцией. Если решение расширенной задачи (III-61) таково, что для ненулевого интервала А [О, Т] [c.167]

В исходной задаче для каждого м, слагаемое (х,-, М , ) из выражения (1У-4) и правые части уравнений (1У-5) являются элементами 2 (х,, г)- Что касается расширенной задачи, то множество значений /о (х,, и,-, г) , / (х,, и,-, ) и образует выпуклую оболочку Со 2. [c.225]

Для случая, когда множества г х , ) выпуклы при всех I и X, и, следовательно, совпадают со своими выпуклыми оболочками, множества О я Вр совпадают. Решение расширенной задачи принадлежит В, т. е. все у,, кроме 7,о> равны нулю, а 7го силу (1У-14а)] равны единице. В этом случае условия (1У-15) — (1У-16) справедливы для исходной задачи, т. е. справедлив принцип максимума [c.226]

Определение. Совокупность, состоящая из множества точек 2, области Т — замкнутой выпуклой оболочки 2 и нростран-ства функций Р, заданных на Т, по отношению к которому 2 является Р-разрешимым, называются конечным элементом и обозначаются через (2, Г, Р). [c.207]

Пусть сг = lim r , где h fJn) + сГп А) > Р А) — 1/п. Так как Р А + +В) h (Jn)- - Tn A- -В) P(j4)+предельных точек последовательностей <т , где сГп — единственный элемент множества /д, Ап Е D м Ап А (см. приложение А.3.7.).] [c.154]

Пусть К — выпуклое компактное подмножество локально-выпуклого топологтеского векторного пространства У и <о — совокупность крайних точек множества К. Тогда замыкание выпуклой оболочки множества 8 совпадает со всем К (теорема Крейна-Мильмана). [c.260]

Пусть 5 — подмножество локально-выпуклого топологического векторного пространства У, причем замыкание К его выпуклой оболочки компактно. Тогда крайние точки множества К содержатся в замыкании множества 3 (теорема Мильмана). [c.260]

Определение 7. Выпуклой оболочкой множества М, аазывается пересечение всех выпуклых множеств, подмножеством (которых является М. [c.132]

При построении выпуклой оболочки ОИПЦФ характер множества точек статистики существенной роля не играет. [c.37]

О выпуклости конечного множества точек статистики говорить не приходится, она определена лишь дая бесконечных множеств. Экстремум целевой функции, достигаем1й в ОИПЦФ, обязательно при-надаежит выпуклой оболочке множества статистики в связи с линейным характером целевой функции. [c.37]

Как отмечалось выше, решение этой задачи будет достигаться в вершинах выпуклой оболочки - точках статистики, а кроме того, обе процедуры, и огибание множества статистики выпуклой оболочкой, и симплекс - метод представляют определенные вычислительные трудности. Поэтому можно предаожить алгоритм непосредственного поиска эк тpeмy лa целевой фушщии путем перебора точек статистики. Очевидно, что при применении этого алгоритма решение задачи будет достигнуто в той же точке ОИПЦФ, что и в случае решения задачи вышеупомянутого алгоритма, вместе с тем значительно сократится объем вычислений. При всей своей простоте этот алгоритм хорош тем, что содержательно использует весь объем информации [c.37]

Обсудим эту теорему. При = 1, т. е. на прямой, невыпуклое множество состоит из отдельных отрезков или интервалов (рис. П-22) и достаточно двух элементов М, чтобы соединяющий их отрезок дополнил множество М до минимального выпуклого множества. На плоскости Н = 2) множество М может быть таким, что попарное усреднение не образует выпуклой оболочки множества. Так, множество М, изображенное на рис. П.22, не является выпуклым. В то же время среднее из трех элементов М есть точка произвольного отрезка, соединяющего у и некоторую точку отрезка [у , у ], т, е. внутренность треугольника УхУ2,Уу Теорема Каратеодори утверждает, что больше трех точек осреднять не требуется. Для получения пространственной фигуры с ненулевым объемом в трехмерном пространстве М = 3) достаточно четырех то-рис. 11.21. Множество м чек. Этих четырех точек достаточно для по-и его выпуклая оболоч- дудения любого элбмента множества Со М. [c.84]

Здесь О — множество, определяющееся осредненными ограничениями и связями. Действительно, значение усредненной задачи представляет собой максимальное среднее значение функции достижимости fl (С,-, Су) при фиксированных средних значениях ее аргументов / = Сг = 0 фу = Су 0. По конструктивному определению выпуклой оболочки, приведенному выше, это значение равно СодЛ С) в точке с координатами С,= 0, Су = 0. [c.88]

При этом расширение может оказаться эффективным, если множество О является невьшуклым и максимум фзгнкции /о (у) До стирается на множестве, донолняюш,ем О до его выпуклой оболочки. Соответствующий пример приведен на рис. 11.30. Задача НП, [c.94]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология