Вариационное исчисление математический аппарат

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Динамическое программирование представляет собой не более как средство решения задач, которые могут быть решены и другими способами. Ценность динамического программирования состоит в другом подходе к решению задач. Однако возможности динамического программирования далеко не исчерпываются этим. Оно дает математический аппарат для решения задач, которые раньше не умели решать или игнорировали. Динамическое программирование может быть использовано для решения многих задач вариационного исчисления, которые не решаются с помощью классических методов. В частности, вариационные задачи с ограничениями типа неравенств, решение которых связано со значительными трудностями, очень легко решаются методом динамического про- [c.21]

Выведем теперь соотношения, определяющие оптимальное управление, которые могут быть получены при использовании математического аппарата классического вариационного исчисления. В этом случае векторное уравнение математического описания процесса может рассматриваться как система неголономных связей (V, 121) для задачи отыскания условного экстремума функционала (VII, 545). [c.402]

Этот метод называется динамической оптимизацией. Математический аппарат для изучения такой системы обычно включает вариационное исчисление, чтобы получить для каждой [c.119]

Предлагаемая вниманию читателей книга выдающегося ученого, академика Бельгийской академии наук, действительного члена Национальной инженерной академии США, профессора Мориса Био представляет большой интерес для теплофизиков и теплотехников. Разработанный им метод вариационного исчисления позволяет решать широкий круг задач теплопроводности и теплопередачи, в частности задачи нестационарной теплопроводности в телах сложной конфигурации, конвективного теплообмена при ламинарном, и турбулентном течении, провести расчеты теплопередачи в теплообменных аппаратах и т. д. Известно, что все вариационные методы решения задач математической физики, в том числе и вариационный метод М. Био, являются приближенными методами. Однако по сравнению с другими вариационными методами, применяемыми в задачах теп-лопереноса, метод М. Био является наиболее точным, так как варьирование происходит по вектору теплового смещения, в результате чего в основных соотношениях отсутствуют пространственные производные температуры. Это дает возможность получить высокую точность приближенных решений, а также решать такие задачи, когда распределение температуры в теле описывается прерывными функциями. Вариационный метод М. Био является аналогом вариационного метода Журдена в классической аналитической механике, в котором варьирование происходит по скоростям. Известно, что в аналитической механике на основе понятия виртуальной работы используются вариационные методы Гаусса и Далам-бера — Лагранжа. На основе этих методов разработаны и другие вариационные методы решения задач тепло-переноса, как, например, вариационный метод И. Дярма-ты, но они разработаны не в такой степени, чтобы решать широкий круг задач теплопереноса, как при помощи метода М. Био. [c.5]

Выше уже отмечалось, что решением задачи отыскания экстремали функционала является некоторая функция (или совокупность функций) одной или нескольких независимых переменных. Следовательно, математический аппарат вариационного исчисления может быть использован для оптимизации процессов, в которых переменные состояния изменяются непрерывным образом. К числу таких процессов прежде всего можно отнести процессы [c.206]

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [c.210]

Выше уже были рассмотрены трудности, возникающие при решении краевых задач, к которым приводит математический аппарат вариационного исчисления. Однако этим еще не исчерпываются недостатки классического вариационного исчисления. Гораздо более серьезные препятствия на пути решения оптимальной Задачи вариационными методами возникают тогда, когда в данной задаче присутствуют ограничения типа неравенств [c.254]

Математический аппарат, создававшийся вначале чисто интуитивно, получил впоследствии теоретическое обоснование в работах по вариационному исчислению, на основании которых разработан метод Ритца для минимизации значения функционала, получающегося либо непосредственно из анализа физических взаимодейст ВИЙ, либо математическим способом. Подстановка полученного результата в вариационную формулировку задачи и минимизация его дают уравнение МКЭ. Простейший пример этой процедуры при веден в Задаче 16.2. [c.597]

Таким образом,. математический аппарат вариационного исчисления может быть использован для оптимизации процессов, в которых пере.менньЕе состояния меняются непрерывным образо.м. К числу таких процессов обычно относят процессы перехода управляемых объектов из одного состояния [c.41]

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в XVIII в, были заложены математические основы оптимизации (математический аппарат бесконечно малого, вариационное исчисление, численные методы и др.). Однако до второй половины XX в. методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую реализовать без быстродействующей вычислительной техники было крайне трудно, а в ряде случаев и невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии. [c.241]

Физическая химия, объединяющая идеи и методы физики и химии, использующая во всех своих аспектах количественный подход, не может не опираться на достаточно хорошо развитый математический фундамент, включающий большинство разделов современной математики. В химии широко применяется классический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, многие разделы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, математической статистики и т. д. Здесь же представлен и аппарат конечномерного линейного анализа, повышенный интерес к которому проявился за последние 10—15 лет в связи с открывшимися возможностями использования электронно-вычислительных. чашин. [c.5]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология