Оболочка множеств функций выпукла

Пусть Т — замкнутая выпуклая оболочка множества 2, которую будем считать невырожденной, и пусть Р — конечномерное пространство действительнозначных функций, заданных на Т. [c.210]

В силу (а) множество Кф всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества К гиббсовских состояний, полученных в (Ь), содержится в А ф. Предположим, что К ф Кф. Тогда существует функция А ем мера <т е Кф, для которых [c.38]

Чтобы детальнее разобраться в задаче нелинейного программирования в среднем, нам придется использовать понятие выпуклой оболочки множеств и функций. [c.84]

Выпуклые оболочки множеств и функций. Пусть в линейном пространстве , т. е. в пространстве, для элементов которого определены линейные операции суммирования и умножения на скаляр, имеется множество М. Выпуклую оболочку множества М образуют такие элементы У, которые могут быть получены из элементов М путем операции усреднения. Это множество обозначают через Со М. Ясно, что Со М гэ М, ибо сам элемент можно рассматривать как результат усреднения, при котором ему приписан единичный вес. [c.84]

Выпуклая оболочка функции f (х) на выпуклом множестве Q 6 представляет собой результат решения экстремальной задачи [c.86]

По аналогии с выпуклой оболочкой множества введем понятие о выпуклой оболочке функции /, которую обозначают через Со /. (Напомним, что под выпуклостью мы всюду понимаем выпуклость вверх.) Множество, лежащее под графиком функции /, определенной на выпуклом множестве [c.86]

Выпуклой оболочкой функции f х) на множестве Q будем называть выпуклую оболочку Д (х) на Со Q, не делая специальных оговорок. [c.87]

Определение. Верхнюю границу выпуклой оболочки определяющего множества называют выпуклой оболочкой функции f на Q и обозначают через Сод/. [c.86]

Для детального рассмотрения задачи нелинейного программирования в среднем введем понятие выпуклой оболочки множества и функции. [c.41]

По аналогии с выпуклой оболочкой множества введем понятие о выпуклой оболочке функции /, которую обозначают как O(jf (напомним, что под выпуклостью мы всюду понимаем выпуклость вверх). Будем называть определяющим множеством для функции /, определенной на выпуклом множестве Q, множество, лежащее под ее графиком [6]. Построим выпуклую оболочку этого множества. [c.42]

Покажем это. Прежде всего ясно, что внутри Ус не может быть базовых значений, так как для каждой внутренней точки выпуклые оболочки сечений функции достижимости по координатам С] и Сг представляют собой прямые, опирающиеся на граничные точки множества W Базовые значения не могут находиться и на прямых соответственно 1—2 и 3—4. [c.118]

Таким образом, при выполнении этого условия оптимальным является переключательный режим реактора по управляющим переменным. Для нахождения параметров этого режима необ-ходимо построить на множестве V выпуклую оболочку функции достижимости. Так как в этом случае в формировании множества V участвует величина Х, которая определяется нелинейными уравнениями статики реактора (5.48), то границы множества не будут прямыми линиями, как это наблюдалось в предыдущих примерах. Если Pi>P2, то выпуклая оболочка представляет собой огибающую семейства прямых, соединяющих крайние точки множества V - Задача состоит в нахождении такой прямой, проходящей через точку с координатам [c.124]

Обозначим через Qyy выпуклую оболочку значений функции q x) при x N, а через Q,у — множество точек Х-плоскости, образованное из присоединением к каждой точке полупрямой (О < < со). Построенное [c.186]

Замечание 2. Если условие выпуклости исходной задачи не выполняется, то для Vi>0 получим лишь ее локальное решение, т. е. локальный минимум функции / (х) на выпуклой оболочке невыпуклого множества ограничений Q. [c.338]

Рис. 40. Точки крайняя А и граничная В множества Q Рис. 41. Функция (х) и ее выпуклая оболочка

Этому определению эквивалентно следующее выпуклая оболочка функции на выпуклом множестве Q есть минимальная выпуклая функция, большая чем f для любого х Q. [c.86]

Рис. 30. Выпуклая оболочка функции для различных множеств Ql и Qг, ее определения

Однако по определению выпуклой оболочки функции на невыпуклом множестве, которое было приведено выше, для построения Со/о мы дополняем Q до его выпуклой оболочки, а на дополненных участках считаем достаточно малой. При этом Сод/ на этих участках определена. На рис. 11.27 приведен пример функции достижимости и ее выпуклой оболочки. Решение исходной задачи отсутствует, так как для любого х 7 . / не равна нулю. Усредненная же задача имеет решение, которому соответствует значение целевой функции, равное Со /о (0). [c.89]

Теорема Каратеодори позволяет записать условия оптимальности для усредненной задачи. Согласно этой теореме, для получения ординаты выпуклой оболочки функции достижимости Л, зависящей от Р переменных, требуется осреднять значения этой функции для Р -Ь 1)-го элемента множества Q. [c.89]

Итак, при каждом t функцию /о нужно заменить ее выпуклой оболочкой на множестве Fu и решать задачу типа (П1-40а), (П1-41а с выпуклой подынтегральной функцией. Если решение расширенной задачи (III-61) таково, что для ненулевого интервала А [О, Т] [c.167]

Рис. 31. Выпуклая оболочка функции, определенной на невыпуклом множестве

Выпуклая оболочка функции f(x) на выпуклом множестве представляет собой результат решения следующей экстремальной задачи [c.44]

Проведенные рассуждения нетрудно распространить и на общую постановку задачи НП. Разница состоит лишь в том, что размерность пространства, в котором строят множество достижимости Q, равна числу условий задачи (связей и ограничений). Значение задачи НП, как и в случае одного условия, равно ординате выпуклой оболочки функции достижимости fo (с), построенной на множестве достижимости [c.46]

Множество О в задаче НП может быть пусто при этом функция /о(с) не определена в точке с = 0, так как множество Ух не содержит элементов, для которых /г(- )=0. Однако согласно данному выше определению выпуклой оболочки определена для с=0. На рис. 33 приведен пример функции [c.47]

Построение выпуклой оболочки функции. Выше показано, что в ряде случаев расчет циклического режима сводится к решению той или иной усредненной задачи нелинейного программирования. Часто при этом используют вместо функций, определяющих задачу, их выпуклые оболочки на некотором множестве Q или вычисляют отдельные ординаты выпуклой оболочки f x) для фиксированного значения х. В гл. 2, п. 4 дано конструктивное определение выпуклой оболочки, которое лежит в основе способов ее построения. Напомним его [c.90]

Преобразованная задача сепарабельна, множество д выделяется автономными ограничениями, а связь между составляющими вектора г линейная. Преобразованная задача в усредненной постановке сводится к задаче выпуклого программирования после замены функции — гf ее выпуклой оболочкой на множестве <7ь а функции 22 ее вьш клой оболочкой на множестве 2 (рис. 39). [c.91]

Выделим теперь на множестве Q крайние точки, т. е. такие, которые не лежат ни на каком отрезке, соединяющем два произвольных элемента Q. На рис. 40 точка Л — крайняя, а точка В — граничная, но не крайняя. Справедливо утверждение вогнутой функции f(x) на выпуклом множестве Q, имеющем конечное число крайних точек, соответствует выпуклая оболочка [c.92]

Поясним справедливость этого утверждения. Действительно, любое сечение функции х) плоскостью, имеющей размерность т—1, представляет собой вогнутую линию, выпуклая оболочка которой может опираться лишь на граничные точки множества р. Тем более не может иметь в качестве базовых внутренние точки С выпуклая оболочка функции (х) в целом, так как она расположена выше оболочки любого из таких сечений. С другой стороны, для точек, принадлежащих линейному участку [c.92]

Значение этой задачи F Xi) соответствует ординате выпуклой оболочки функции Fi Xi) на множестве V i допустимых значений вектора Xi (см. гл. 2, п. 4). Пусть мы решили задачи (5.76) для каждого из п аппаратов и для всех возможных значений [c.142]

О выпуклости конечного множества точек статистики говорить не приходится, она определена лишь дая бесконечных множеств. Экстремум целевой функции, достигаем1й в ОИПЦФ, обязательно при-надаежит выпуклой оболочке множества статистики в связи с линейным характером целевой функции. [c.37]

Выпуклые оболочки множеств и функций. Теорема Кара-теодори. Пусть имеется множество М в линейном пространст- [c.41]

Определение. Совокупность, состоящая из множества точек 2, области Т — замкнутой выпуклой оболочки 2 и нростран-ства функций Р, заданных на Т, по отношению к которому 2 является Р-разрешимым, называются конечным элементом и обозначаются через (2, Г, Р). [c.207]

Здесь О — множество, определяющееся осредненными ограничениями и связями. Действительно, значение усредненной задачи представляет собой максимальное среднее значение функции достижимости fl (С,-, Су) при фиксированных средних значениях ее аргументов / = Сг = 0 фу = Су 0. По конструктивному определению выпуклой оболочки, приведенному выше, это значение равно СодЛ С) в точке с координатами С,= 0, Су = 0. [c.88]

Действительно, множество достижимости на плоскости с координатами fi = i и /2= 2 представляет собой отображение множества Ух точек числовой оси. В частности, это множество может быть линией (рис. 35). Зависимость fo от i и Сг вдоль этой линии представляет собой функцию достижимости. Область ее определения в общем случае невьшукла, но данное выше конструктивное определение выпуклой оболочки позволяет определить o/q ив этом случае. [c.50]

В работе [35] доказано, что при наложении на вектор х ограничений в форме линейных равенств или неравенств задача о максирлуме среднего значения f x) на получившемся множестве эквивалентна задаче о максимуме выпуклой оболочки функции f x) (4,57) на множестве, выделяемом линейными условиями. Так как построение выпуклой оболочки функции одной переменной выполнить просто, то всегда, когда это возможно, стремятся преобразовать задачу к сепарабельной форме. [c.91]

Здесь Ui = Uimax ДЛЯ направления 2—3 и Ui — Ui, ц для направления I—4. Таким образом, сечения f ( ) вдоль направлений 2—3 и 1—4 являются выпуклыми функциями. Следовательно, их выпуклые оболочки совпадают с самими функциями. Допустим, что имеются три базовых значения. Тогда два из них обязательно лежат на одной из прямых 2—3 или 1—4, так как они не являются внутренними точками ни множества V , ни прямых 1—2 и 3—4. По определению сечение выпуклой оболочки между двумя базовыми точками должно представлять собой прямую. Полученное противоречие доказывает невозможность существования трех базовых значений. Отсюда следует важный вывод о характере оптимального режима реактора оптимальным является режим, переключательный по концентрации подаваемого сырья и скорости потока, причем концентрация сырья должна переключаться между крайними допустимыми по ограничениям (5.35) значениями Свхшт и Свхтах- [c.119]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология