Изоморфизм Сигала

В этой главе важную роль играют три объекта пространство Фока, изоморфизм Сигала и разложение Винера — Ито. Они связаны с пространством функций на сопряженном к ядерному пространстве, суммируемых с квадратом относительно гауссовой меры у. Полезно пояснить, что если от такого изощренного пространства 2 перейти к пространству (1Я , /7 (дг)) функций на оси 1К , то эти объекты приобретают весьма простой характер роль пространства Фока играет обычное пространство последовательностей вида (/ )п=о. изоморфизм Сигала — восстановление функции / Е г (1Н , йу (х)) по последовательности (/ ) =о ее коэффициентов Фурье при разложении 2 (1К . ( )) по полиномам Эрмита, а разложение Винера — Ито — само это разложение. [c.70]

Изоморфизм пространства Фока [Н ) и (Ф, ys), осуществляемый унитарным оператором Js, будем называть изоморфизмом Сигала. При этом каждому фоковскому вектору / = (/о, Д,. ..) g З (Hs) ставится в соответствие функция [c.121]

Может показаться искусственным само введение изоморфизма Сигала посредством формулы (2.27). В действительности этот изоморфизм является преобразованием Фурье по обобщенным совместным собственным векторам некоторого естественным образом построенного в пространстве Фока семейства коммутирующих самосопряженных операторов. Это будет показано в гл. 3, 3, п. 8. [c.121]

В следующих примерах мы найдем явный вид функций из (Ф, Vs), отвечающих прн изоморфизме Сигала когерентным состояниям и базису чисел заполнения. [c.121]

Мы описали изоморфизм Сигала з исходя из заданной цепочки [c.123]

Наша конструкция будет основана на построении оснащений пространства Фока (Нд) и последующем применении изоморфизма Сигала, отображающего (Яц) в 2 (Ф, 71). Как будет показано, возникающие таким образом пространства основных функций являются естественным обобщением пространств (1К°°) и содержат их как специальный частный случай. [c.172]

Введем на Ф меру yi, канонически связанную с гильбертовым пространством Н . Напомним, что 7 определяется своим преобразованием Фурье Yi (ф) = ехр (—1/4 ф / ) (ф Ф) (см. 1, п. 8). Изоморфизм Сигала /j (Яо) - -г (Ф"> 7i) осуществляет унитарное отображение F (Яо) на 2 (Ф, Yi), при котором фоковскому вектору / = = (/о> fl, ) (Яо) сопоставляется функция [c.178]

Имеем две реализации (Яд) как гильбертова пространства функций. Обозначим О унитарный оператор, изоморфно отображающий 2 (Ф, Тх) на Р (Но.с), порожденный операторами 1 и Jl. Обратный оператор О задает изометрический изоморфизм Р (Яо,Л и (Ф, 7 ). Из определения изоморфизма Сигала следует, что фоковскому вектору / = (/о, /1,. ..) 3 (Яо) отвечает функция [c.185]

Пример 5.4. Возвратимся к оснащению (5.12), построенному в примере 5.2 (.а гр) (Яо) э (.Э гр). При изоморфизме Сигала между (Я ) и (IR , у ) согласно 2, п. 3, базис чисел заполнения (e j ( о) переходит в базис [c.189]

Рассмотрим некоторые факты, дополняющие проекционную спектральную теорему, доказанную в 2 1) произведем диагонализацию оператора Р (X), приводящую к разложению исходного гильбертова пространства в прямой интеграл собственных подпространств 2) изучим возможности разложения в том случае, когда вложение Я+ с= не является квазиядерным 3) докажем, что для наличия достаточно хороших спектральных теорем для семейства А необходимо наличие квазиядерной цепочки, стандартно связанной с Л. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера разложений (преобразование Фурье — Винера и изоморфизм Сигала). [c.260]

ИЗОМОРФИЗМ СИГАЛА (СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОДХОД) [c.298]

Покажем, что изоморфизм Сигала, введенный в гл. 2, 2, п. 2, допускает естественную интерпретацию как преобразование Фурье при разложении по обобщенным совместным собственным векторам некоторого семейства коммутирующих самосопряженных операторов. Эти операторы строятся при помощи так называемых операторов рождения и уничтожения — весьма важного семейства операторов в пространстве Фока, через которые, в частности, выражаются гамильтонианы физических систем. [c.298]

Благодаря выбору Ф V /г G 2-t- Л " G ( (Ф). (Ф)). поэтому dr (А) ( fin (Ф), fir, (Ф)) и fin (Ф) — область существенной самосопряженности для f (Л). Аналогично е- г<л> = р e ) (S fin (Ф), fin (Ф))- Таким образом, ядерное пространство (Ф) обладает по отношению к оператору dr (Л) теми же свойствами, что и Ф по отношению к Л. Согласно п. 3 2 гл. 2 изоморфизм Сигала осуществляет реализацию (Яо) как пространства Lj (Ф, 7i). При этом по следствию из теоремы 5.2 гл. 2 оснащение (1.4) переходит в следующее оснащение [c.511]

Обозначим La образ dr (Л) при изоморфизме Сигала. Оператор л по-прежнему будем называть вторичным квантованием оператора Л. [c.511]

Пример 1.2. Для Яд = [R в примере 2.2 гл. 2 был описан изоморфизм Сигала между (К ) = /а (С ) и 2 (К , 71). Напомним, что для его задания в 2 (К , 7х) выбирается ортонормированный базис полиномов Эрмита ( ) п 2 )и каждому [c.512]

Изоморфизм Сигала, использующий каноническую двойственность (К ) и, 5 (К ), отображает Н ) в ([К ), ц ), где — гауссова мера на (К ),, [c.521]

Теоремой 5.2 и следствием из нее установлено, что оснащение 5Tiin (Ф) гэ (Яо) ZD fin (Ф) при изоморфизме Сигала переходит в цепочку iP (Ф ) гэ 2 (Ф, Yi) IP (Ф ). Обратимся теперь к рассмотрению аналогичного вопроса для оснащения (Ф) zd 9 (Н ) zd 9 (Ф). Будем предполагать, что (Ф) построено по представлению ядерного пространства Ф = рг lim Я,- в виде счетного проективного предела [c.188]

Для изучения образа оснащения (5.35) при изоморфизме Сигала понадобится его голоморфная реализация. Для ее описания введем пространство umin (Фс) целых функций не более второго порядка роста минимального типа. Как множество (Фс) состоит из функций, целых на Ф, т. е. целых на каждом Я 1 (/ ), и таких, что [c.189]

Пример 1.3 (оператор числа частиц в шредингеровском представлении). Оператор числа частяц N = йТ (1) нз примера 1.1 выделяется тем, что он коммутирует с каждым оператором Г (А) н для его рассмотрения подходит любое ядерное оснащение Нд. Образ оператора числа частиц при изоморфизме Сигала будем по-прежнему обозначать N = 1. Найдем его вид в случае функциональной реализации пространства Фока. [c.520]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология