Автомодельные решения первого и второго рода

Автомодельные решения первого и второго рода [c.93]

Если константу А можно найти из интегральных законов сохранения, то это означает, что при надлежащем выборе определяющих параметров задачу можно переформулировать и привести к задаче первого рода. Например, классические задачи о тепловом источнике и сильном взрыве можно представить как автомодельные решения второго рода, если неудачно выбрать определяющие параметры невырожденной, до автомодельной задачи. Возможность получения решений этих задач как автомодельных решений первого рода связана с выбором в качестве определяющих параметров энергии взрыва и суммарного тепла, которые в силу соответствующих интегральных законов сохранения не меняются во времени. [c.94]

Как мы видели автомодельные решения определяются непосредственным построением с точностью до некоторой константы Л, которая для автомодельных решений первого рода находится из законов сохранения, а для автомодельных решений второго рода может быть найдена только прослеживанием эволюции неавтомодельного решения, поскольку законы сохранения принимают здесь неинтегрируемую форму. [c.135]

Рассмотренное решение показательно во многих отношениях. Оно содержит параметр а — угол раствора клина. Как видно из предыдущего анализа, при углах раствора меньше некоторого критического можно использовать традиционную аргументацию анализа размерностей, ограничиваясь заданием момента сил, действующих на клин. При этом получается автомодельное решение первого рода, которое вполне определяется непосредственным построением с помощью анализа размерностей. При углах раствора клина больше критического традиционные соображения анализа размерностей неприменимы, потому что выбрасывать го из списка определяющих параметров и оставлять там М при а>а нельзя. Тем не менее, стягивая к вершине область приложения сил на боковых сторонах клина, мы также получаем автомодельное предельное решение. Попытка построить это решение непосредственна как автомодельное решение второго рода определяет предельное решение, как и всякое автомодельное решение второго рода, только с точностью до константы. Значение этой константы может быть получено путем сращивания автомодельного решения с решением неавтомодельной задачи. Оно выражается, как показывает проведенное сращивание, через некоторый дробный момент от распределения напряжений на боковых сторонах клина, но какой именно момент (т. е. с какой степенью г) можно определить только после решения задачи. Заранее из соображений размерности эту степень определить нельзя. Наконец, при угле раствора клина, равном критическому, соображения размерности оказываются бессильными они не приводят ни к какому упрощению решения, а аргументация малостью участка приложенных сил, приводящая к вырождению задачи, является незаконной. Иными словами, автомодельность по параметру г не наступает, как бы велико ц ни было. Тем не менее, как показывает соотношение (9.22), асимптотика решения в этом случае автомодельна, поскольку выражение для Ф = Ч /М при больших Г] = г/Го записывается в виде [c.155]

Этим преобразованием разделение автомодельных решений на решения первого и второго рода ставится в однозначное соответствие классификации бегущих волн, о которой было сказано выше. [c.22]

Наконец, в третьем случае параметры П1, П2,. .. продолжают оставаться существенными, как бы велики или малы они ни были, и никакая автомодельность по ним не наступает. Природа классификации автомодельных решений теперь становится прозрачной. Если предельный переход от решения неавтомодельной исходной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике отвечает полной автомодельности по безразмерному параметру, нарушающему автомодельность исходной задачи, автомодельное решение представляет собой решение первого рода. Если предельный переход соответствует неполной автомодельности, автомодельное решение является решением второго рода. Трудность на самом деле состоит в том, что методы подобия обычно применяются, когда решение полной задачи неизвестно. Поэтому априори нельзя указать, с каким типом автомодельности мы имеем дело и практически поступают так сначала предполагают полную автомодельность и пробуют построить соответствующее автомодельное решение — решение первого рода. Если это предположение приводит к противоречию, то возвращаются к исходной невырожденной задаче, предполагают неполную автомодельность и пробуют построить автомодельное решение второго рода. Если и это предположение приводит к противоречию, автомодельность вообще не имеет места. [c.20]

Ясно, что если асимптотики автомодельны и автомодельные переменные — степенные одночлены, то обязательно имеет место один из двух первых случаев сформулированной в п. 5.1 альтернативы. В зависимости от того, какой из первых двух случаев альтернативы имеет место для данной автомодельности, автомодельные решения делятся на решения первого и второго рода. [c.93]

Итак, если для данной постановки задачи математической физики в целом (начальной, краевой, смешанной и т, п.) суи ест-вуют автомодельные решения со степенными автомодельными переменными, они получаются из неавтомодельных решений предельным переходом при стремлении некоторого параметра (параметров), делаюш его решение неавтомодельным, к нулю или бесконечности. Если этот предельный переход дает конечный предел, отличный от нуля, то автомодельное решение называется решением первого рода. Если конечного отличного от нуля предела не суихествует, но по указанному параметру (параметрам), стремя-и емуся к нулю (бесконечности), имеется степенная асимптотика, которая и обеспечивает автомодельность предельного решения, то автомодельное решение называется решением второго рода. [c.94]

Мы снова, как и в случае автомодельных решений второго рода, получили нелинейную задачу на собственные значения уравнение (6.36)—уравнение первого порядка, в то время как граничных же условий (6.38) два. Покажем, следуя Я. Б. Зельдовичу [41], что имеется, и притом единственное, собственное зна- [c.110]

Рассмотрение линейных задач теории упругости поучительно для них можно аналитически явно проследить выход на автомодельную асимптотику решений невырожденных задач и переход при некотором критическом значении параметра от автомодельностей первого рода к автомодельностям второго рода. Для нелинейных задач этого так просто сделать не удается. [c.147]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология