Автомодельные решения предельные

В следующем разделе используются приближенные допущения теории пограничного слоя для получения простейших уравнений. Затем делается общее преобразование уравнений с целью выявления видов переноса, для которых возможны автомодельные решения. Далее рассматривается ряд более специальных случаев течения, например перенос в жидкости с предельным значением числа Прандтля и влияние стратификации окружающей среды. [c.69]

Автомодельная задача. Для полученной системы уравнений необходимо, вообще говоря, задать начальное условие — начальное распределение завихренности, определяемое способом образования кольцевого вихря. Однако, как уже отмечалось раньше, распределение завихренности очень быстро приближается к некоторому распределению, не зависящему от начальных условий, которое в дальнейшем линейно зависит от расстояния. Естественно поэтому предположить, что предельное распределение завихренности описывается автомодельным решением системы Гельмгольца (4). [c.342]

Количество газа, вовлеченного в каждый момент в движение, приходящееся на единицу площади границы, конечно. Поэтому в задаче имеют место законы сохранения импульса и энергии, справедливые и на неавтомодельной стадии движения. Естественно, приходит мысль воспользоваться этими законами для определения показателя степени а и постоянной А автомодельного предельного решения, подобно тому, как это было сделано в главе 2 для рассмотренных там автомодельных решений первого рода. [c.82]

Автомодельные решения первого рода получаются, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче регулярен в том смысле, что имеет место полная автомодельность по параметрам подобия, делавшим задачу невырожденной и ее решение неавтомодельным. Выражения для всех автомодельных переменных, как зависимых, так и независимых, могут быть при этом получены применением анализа размерности. [c.93]

Существуют также автомодельные решения нестепенного типа, для которых автомодельные переменные уже не представляют собой степенные одночлены. Эти решения обязаны своим существованием специальному случаю, указанному в п. 5.3. Показательным примером таких решений служат предельные автомодельные решения, которые будут рассмотрены в главе 7. [c.94]

Предельные автомодельные решения [c.121]

Интересный пример использования более общих групповых соображений для установления автомодельности доставляют так называемые предельные автомодельные решения т. е. решения вида е 1 хе ), в которых и пространственный масштаб, и масштаб определяемой величины зависят от времени экспоненциально. Рассмотрим эти решения для уравнения нелинейной теплопроводности [c.121]

Название этих решений — предельные автомодельные — объясняется следующим образом. Уравнение (7.13) имеет семейство автомодельных решений обычного степенного вида, удовлетворяющих условиям [c.122]

Рассмотренное решение показательно во многих отношениях. Оно содержит параметр а — угол раствора клина. Как видно из предыдущего анализа, при углах раствора меньше некоторого критического можно использовать традиционную аргументацию анализа размерностей, ограничиваясь заданием момента сил, действующих на клин. При этом получается автомодельное решение первого рода, которое вполне определяется непосредственным построением с помощью анализа размерностей. При углах раствора клина больше критического традиционные соображения анализа размерностей неприменимы, потому что выбрасывать го из списка определяющих параметров и оставлять там М при а>а нельзя. Тем не менее, стягивая к вершине область приложения сил на боковых сторонах клина, мы также получаем автомодельное предельное решение. Попытка построить это решение непосредственна как автомодельное решение второго рода определяет предельное решение, как и всякое автомодельное решение второго рода, только с точностью до константы. Значение этой константы может быть получено путем сращивания автомодельного решения с решением неавтомодельной задачи. Оно выражается, как показывает проведенное сращивание, через некоторый дробный момент от распределения напряжений на боковых сторонах клина, но какой именно момент (т. е. с какой степенью г) можно определить только после решения задачи. Заранее из соображений размерности эту степень определить нельзя. Наконец, при угле раствора клина, равном критическому, соображения размерности оказываются бессильными они не приводят ни к какому упрощению решения, а аргументация малостью участка приложенных сил, приводящая к вырождению задачи, является незаконной. Иными словами, автомодельность по параметру г не наступает, как бы велико ц ни было. Тем не менее, как показывает соотношение (9.22), асимптотика решения в этом случае автомодельна, поскольку выражение для Ф = Ч /М при больших Г] = г/Го записывается в виде [c.155]

Предельные автомодельные решения....... [c.254]

Обозначая т через 1/и, получаем, что при а -> сю решение (1У.2.16) стремится к решению (1У.2.10). Поэтому решение (1У,2.10) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта [8]. Предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. 6. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы — группы преобразований переноса по времени. [c.76]

Показать, что задача (9.30), (8.14) автомодельна. Свести ее к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения и построить предельное решение (sq = О, 5° = 1). [c.299]

Разработана математическая модель, описьгаающая нестационарное истечение жидкости из вертикальной трубы, закрытой сверху, с полностью открытым нижним концом. Установлена зависимость параметров истечения (время опорожнения, скорость истечения) от соотношения длины и радиуса трубы. Исследовано нестационарное истечение стабильных жидкостей в другом предельном с тучае - из горизонтальной трубы. Получены автомодельные решения как невязкого инерционного истечения, так и вязкого безинерционного ю по-лубесконечной трубы. Кроме того, получено приближенное решение для оценки количества вытекающей жидкости в зависимости от времени для трубы, имеющей конечную длину. [c.5]

Для адиабатического течения вскипающей жидкости и равновесного течения газонасыщенной жидкости предложены баротропические уравнения состояния. Установлены критические условия, разделяющие начальную стадию, когда интенсивность опорожнения полубесконечного трубчатого канала определяется чисто газодинамическими явлениями (инерционными эффектами и процессом адиабатического расширения вскипающей и равновесного расширения газонасыщенной жидкостей) с последующим этапом, когда инерция несущественна. Для двух предельных режимов истечения, когда сила гидравлического трения от скорости потока зависит линейно, и по квадратическому закону система уравнений движения сводится к одному нелинейному уравнению. Построены автомодельные решения для задачи о внезапной разгерметизации канала на одном конце. Кроме того, получены решения, описывающие стационарное истечение кипящей жидкости чере З цилиндрические насадки, а также опорожнение конечного объема через щель. [c.12]

Если Применяются приближения пограничного слоя, то основные уравнения упрощаются. Можно показать, что окончательная система уравнений во многих случаях допускает автомодельные решения. Этот вопрос будет рассматриваться в следующих трех разделах. Кроме того, будут представлены решения для течений, отличных от вертикальных. В разд. 6.5 будут )ассмотрены результаты для предельных значений чисел Лмидта и Прандтля. Затем будет приведена сводка обобщенных зависимостей для характеристик переноса, которые получены на основании экспериментальных данных. В следующих двух разделах будут сняты предположения, использованные до этого. В разд. 6.7 обсуждаются эффекты Соре и Дюфура, а также влияние сравнимых уровней концентрации, а в разд. 6.8 рассматриваете одновременный тепло- и массообмен при наличии диффузии химически реагирующих компонентов. В последнем разделе описано влияние стратификации окружающей среды на характеристики течения и свойства переноса в таком течении. [c.340]

Более общие вопросы стабилизации нестационарного теплооб.мена при течении жидкости в трубах, вызванного изменением те.млературы стенки во времени и по длине трубы, были систематически исследованы В. Д. Виленским [25]. Результаты исследования позволили автору получить асимптотику температурного поля (автомодельные решения) и выделить классы входных функций, для которых существуют предельные числа Нуссельта. [c.344]

Рис. 5.28 показывает, что продольная скорость частиц больше скорости газа по всему пограничному слою, причем при ж < 1 (Stkf > 1) она отлична от нуля на поверхности пластины. Это происходит вследствие инерции частиц. Различие в скоростях между фазами ведет к интенсивному обмену импульсом, следствием которого является большая наполненность профиля скорости газовой фазы по сравнению со случаем однофазного течения. В [17] отмечается, что релаксация скоростей фаз практически заканчивается при ж = 5 (Stkf = О, 2), а структура течения при различных значениях массовой концентрации частиц М однотипна. Профили продольных скоростей обеих фаз при больших ж (малых Stkf) становятся автомодельными. Данные предельные профиля могут быть получены из решения уравнений Прандтля для однофазного газа с увеличенной плотностью ре = р + Ф рр = = р(1 + М). Таким образом после релаксации скоростей данное течение опять (как набегающий на пластину поток) становится квазиравновесным. [c.153]

Наконец, в третьем случае параметры П1, П2,. .. продолжают оставаться существенными, как бы велики или малы они ни были, и никакая автомодельность по ним не наступает. Природа классификации автомодельных решений теперь становится прозрачной. Если предельный переход от решения неавтомодельной исходной задачи к автомодельной промежуточной асимптотике отвечает полной автомодельности по безразмерному параметру, нарушающему автомодельность исходной задачи, автомодельное решение представляет собой решение первого рода. Если предельный переход соответствует неполной автомодельности, автомодельное решение является решением второго рода. Трудность на самом деле состоит в том, что методы подобия обычно применяются, когда решение полной задачи неизвестно. Поэтому априори нельзя указать, с каким типом автомодельности мы имеем дело и практически поступают так сначала предполагают полную автомодельность и пробуют построить соответствующее автомодельное решение — решение первого рода. Если это предположение приводит к противоречию, то возвращаются к исходной невырожденной задаче, предполагают неполную автомодельность и пробуют построить автомодельное решение второго рода. Если и это предположение приводит к противоречию, автомодельность вообще не имеет места. [c.20]

Рассмотренное выше автомодельное точное частное решение типа мгновенного источника для случая xi = х отвечало сингулярному начальному условию, получающемуся из (3.11) при 1=0. Но это решение типа мгновенного источника шире, чем просто точное частное решение отдельной задачи. Действительно, соотношение (3.12), справедливое и при 8=1, показывает, что ri—>-0 не только при /->0, но и при t oo и любом / = onst > 0. Выбирая соответственно х, можно этот предельный переход осуществлять так, чтобы = оставалось постоянным в пределе получается известное автомодельное решение, указанное выше. Таким образом, как уже отмечалось, автомодельное решение задачи с сингулярными начальными данными при xi = х представляет собой асимптотику широкого класса решений начальной задачи при больших временах. Решение задачи с сингулярными начальными данными (3.4) при в согласии со сказанным, не существует. Это означает, что при х не существует конечного, отличного от нуля предела функции г], е) при г] 0. Тем не менее, как показали численные расчеты, автомодельная асимптотика решения (3.12) все же существует, хотя и не в форме (3.5), а в форме (3.10). Наличие у решения (3.12) автомодельной асимп- [c.60]

Решение задачи о сильном точечном взрыве при y = Yi представляет собой, с одной стороны, решение сингулярной предельной задачи, соответствуюш,ей / о = 0, с другой стороны,— асимптотику решения (4.12) при t- oo. Как мы выяснили, при Yi= Y решения предельной задачи, соответствуюш ей Ro = О, не существует. Нас, однако, интересует не решение предельной задачи, а асимптотическое представление решения неавтомодельной задачи с / о = = О при больших t. При возрастании же i и фиксированном г к нулю стремятся как g, так и г. Появление у решения автомодельной промежуточной асимптотики (4.10) объясняется тем, что существует такое положительное число р, зависящее от [c.72]

Класс автомодельных решений уравнений газодинамики, к которому принадлежит предельное решение исследуемой задачи (4.13), был указан К. Бехертом [ПО] и Г. Гудерлеем [134] и в дальнейшем рассматривался Л. И. Седовым [95] и другими авторами. [c.72]

Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует. [c.78]

Могло показаться, что различие типов автомодельных решений связано с наличием или отсутствием интегрального закона сохранения, справедливого и на неавтомодельной стадии. Рассмотренная в главе 4 задача о коротком ударе показала, что это не так — дело в характере предельного перехода от неавтомодельного решения к автомодельной асимптотике. [c.89]

Итак, если для данной постановки задачи математической физики в целом (начальной, краевой, смешанной и т, п.) суи ест-вуют автомодельные решения со степенными автомодельными переменными, они получаются из неавтомодельных решений предельным переходом при стремлении некоторого параметра (параметров), делаюш его решение неавтомодельным, к нулю или бесконечности. Если этот предельный переход дает конечный предел, отличный от нуля, то автомодельное решение называется решением первого рода. Если конечного отличного от нуля предела не суихествует, но по указанному параметру (параметрам), стремя-и емуся к нулю (бесконечности), имеется степенная асимптотика, которая и обеспечивает автомодельность предельного решения, то автомодельное решение называется решением второго рода. [c.94]

Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных [136, 103], при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации дают предельные автомодельные реп1е-ния, полученные Гольдштейном и Станюковичем [137, 109] путе.м формальной постановки. [c.76]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология