Вырожденные задачи

Представим себе качественную картину явления при малых значениях -V. Рассмотрим сначала вырожденную задачу, соответствующую V = 0. Вырожденное уравнение таково [c.90]

Решение вырожденной задачи (4.3.2), (4.3.3), (4.3.5), [c.90]

Однако возможны случаи, когда сформулированное выше предположение и, следовательно, приведенный вывод основных, соотношений симплексного метода не подтверждаются. Задачи, в которых имеется линейная зависимость менее чем m -f 1 векторов-столбцов матрицы ограничений, называются вырожденными задачами линейного программирования. Теоретически при их решении симплексным методом может возникнуть зацикливание", обусловленное тем, что значение линейной формы не изменяется при переходе к новому базисному решению. [c.454]

Задачи линейного программирования с условиями, образующими многогранники в м-мерном пространстве, у которых в ряде вершин пересекаются более чем п гиперплоскостей, отвечающих ограничивающим неравенствам, называются вырожденными задачами. [c.424]

Теперь уже легко понять, что происходит в общем случае. Автомодельные решения всегда получаются для так называемых вырожденных задач, в которых параметры задачи, имеющие размерность независимых переменных (характерная длина, характерное время и т. д.), равны нулю или бесконечности. В противном случае среди аргументов фигурировали бы отношения независимых переменных к этим параметрам и автомодельности бы не было. Это значит, что при переходе от невырожденных постановок задач, отвечающих конечным значениям параметров, к вырожденным некоторые безразмерные параметры (обозначим их Пь П2,. ..) стремятся к нулю или к бесконечности. При этом функция Ф в соотношении (7) может [c.19]

Автомодельные решения представляют собой всегда решения вырожденных задач, которые получаются, если некоторые параметры а +г и соответствующие им безразмерные параметры Пг принимают нулевые или бесконечные значения. Они представляют собой одновременно точные решения вырожденных задач и асимптотические (вообще говоря, промежуточно-асимптотические) представления решений более широких классов невырожденных неавтомодельных задач при стремлении указанных параметров к нулю или бесконечности. [c.93]

Автомодельные решения первого рода получаются, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче регулярен в том смысле, что имеет место полная автомодельность по параметрам подобия, делавшим задачу невырожденной и ее решение неавтомодельным. Выражения для всех автомодельных переменных, как зависимых, так и независимых, могут быть при этом получены применением анализа размерности. [c.93]

При стремлении к нулю Пг, т. е. стягивании в точку области начального выделения энергии, все функции Фр, Фр, Ф , Ф/ стремятся к конечному отличному от нуля пределу. (Аналитически это обстоятельство никем не доказано, но проверено численным счетом и сомнений не вызывает.) Таким образом, автомодельность по параметру П2, из-за которого задача стала невырожденной, полная и при достаточно малых П2 с любой заданной точностью можно заменить функции Фр, Фр, Ф в (5.18) соответственно на фр(Пь 0) = Фро(ПО Фр(Пь 0) = Фро(ПО Ф,(Пь 0) = Ф,о(П1), а функцию Ф/Ща) на константу С = Ф/(0). Однако функции Фро, Фро, Ф о и константа пропорциональности С в формуле для радиуса ударной волны отвечают автомодельному решению вырожденной задачи (см. главу 2). [c.96]

Рассмотренные примеры показательны. Обращаясь к решению некоторой задачи, и в частности к отысканию ее автомодельных решений, мы не знаем заранее, к какому типу принадлежат решения соответствующих ей вырожденных задач. Сопоставление рассмотренных выше обычных и модифицированных постановок задачи показывает, что ситуация может быть довольно коварной с точки зрения возможности применения анализа размерностей эти задачи внешне никак не различаются. В связи с этим, например, весьма соблазнительно начать с получения законов подобия, не обращаясь к решению уравнений. Рассуждая как обычно, мы и в модифицированных задачах могли бы предположить, что поскольку начальный отбор массы или выделение энергии происходит в малой области, размер этой области несуществен, т. е. предположить полную автомодельность по параметру подобия, отвечающему начальному размеру. Отсюда уже автоматически следуют отвечающие полной автомодельности законы подобия (5.16), (5.19). На самом же деле, как мы убедились, законы подобия здесь совсем другие, хотя тоже степенные. Таким [c.99]

Соответствующая вырожденная задача рассматривается в полубесконечной области при t > —оо. Ищется решение уравнения (7.13), которое удовлетворяет условиям [c.121]

Рассмотренное решение показательно во многих отношениях. Оно содержит параметр а — угол раствора клина. Как видно из предыдущего анализа, при углах раствора меньше некоторого критического можно использовать традиционную аргументацию анализа размерностей, ограничиваясь заданием момента сил, действующих на клин. При этом получается автомодельное решение первого рода, которое вполне определяется непосредственным построением с помощью анализа размерностей. При углах раствора клина больше критического традиционные соображения анализа размерностей неприменимы, потому что выбрасывать го из списка определяющих параметров и оставлять там М при а>а нельзя. Тем не менее, стягивая к вершине область приложения сил на боковых сторонах клина, мы также получаем автомодельное предельное решение. Попытка построить это решение непосредственна как автомодельное решение второго рода определяет предельное решение, как и всякое автомодельное решение второго рода, только с точностью до константы. Значение этой константы может быть получено путем сращивания автомодельного решения с решением неавтомодельной задачи. Оно выражается, как показывает проведенное сращивание, через некоторый дробный момент от распределения напряжений на боковых сторонах клина, но какой именно момент (т. е. с какой степенью г) можно определить только после решения задачи. Заранее из соображений размерности эту степень определить нельзя. Наконец, при угле раствора клина, равном критическому, соображения размерности оказываются бессильными они не приводят ни к какому упрощению решения, а аргументация малостью участка приложенных сил, приводящая к вырождению задачи, является незаконной. Иными словами, автомодельность по параметру г не наступает, как бы велико ц ни было. Тем не менее, как показывает соотношение (9.22), асимптотика решения в этом случае автомодельна, поскольку выражение для Ф = Ч /М при больших Г] = г/Го записывается в виде [c.155]

Решение этой сингулярно возмущенной начальной задачи (П. Б. Вайнштейн, 1980) методом составных разложений показывает, что после быстрого изменения (чем меньше ео, тем быстрее) в пограничном слое по t зависимость Vn. Xy) выходит на решение вырожденной задачи (бо = 0), которое совпадает с (5.2.15) для V = 1. [c.425]

Вырожденная задача может возникнуть и при /, линейно зависящей от х Действительно, в этом случае уравнение (VI-42) второго порядка вырождается в уравнение первого порядка, так как дНКдх ) = О- Поэтому решение уравнения (VI-42) не может обеспечить выполнения одного из двух заданных краевых условий X (тц) или X (т ). В этих случаях можно найти решение в классе разрывных функций, используя принцип максимума Понтрягина. [c.213]

При малой теплопроводности вместо разрыва, изобра-же ного на рис. 4.4, появится узкая переходная зона (ср. п. 4.1.8) — подвижный внутрепиий переходный слой. При аи>1 решение вырожденной-задачи вблизи точки X = 0 должно заметно отличаться от решения исходной задачи, так как первое равно 1 при х = О, а второе, согласно условию (4.3.4), обращается в нуль. Можно ожидать, что вблизи точки а = 0 при аи>1 образуется переходная область — неподвижный пограничный слой [c.90]

Функция Но — погранслойная поправка, назначение которой состоит в том, чтобы обеспечить выполнение левого граничного условия (4.3.13), не входящего в по- TaHOBiiy вырожденной задачи. Погранслойная поправка йа быстро убывает с удалением от точки х = 0. [c.91]

В отличие от метода конфигурационного взаимодействия метод самосогласованного поля рассчитан на построение приближенной функции лишь основного состояния. При дополнительных условиях, например, при заданной мультиплетности состояния, он нацелен на построение однодетерминантной или одноконфигурационной функции основного состояния среди состояний этой мультиплетности. Все другие получающиеся решения, если они не отвечают вырожденной задаче, в общем случае не имеют сколько-нибудь определенного физического смысла. Эти решения, как правило, не ортогональны решению, низшему по энергии, и не могут непосредственно быть использованы для построения функций возбужденных состояний. Конечно, бывают и исключения, но это такие детали, на которых пока останавливаться не стоит. Так называемые виртуальные орбитали, получаемые как решения одноэлектронного уравнения Fф = еф сверх тех орбиталей, которые входят в детерминант (одноконфигурационную функцию) основного состояния, отвечают даже физически иной задаче в этом уравнении фокиан содержит оператор вида > где суммирование ведется по всем занятым орбиталям, в силу чего для виртуальных орбиталей он отвечает задаче о поведении электрона в поле ядер и усредненном поле всех N электронов молекулы (в этой сумме остается N слагаемых вместо N - 1 слагаемого, как то имеет место для любой из занятьгх орбиталей). Следовательно, виртуальные орбитали должны отвечать скорее задаче об анионе, а не о [c.309]

Картина выглядит следующим образом. Плавные изменения, которые претерпевают в пределах пограничного слоя быстрые химические переменные Хо( , б), отвечающие точному решению уравнений (11), (12), как бы аппроксимируются мгновенным скачком прн t = 0 быстрых химических переменных Хб,о(0> соответствующих вырожденной задаче (17). При = 0 быстрые химические переменные Xo(i, е) равны нулю, а квазиравновесные быстрые химические переменные (при условии (20)) Хб,о = ф (Од д). Для медленных химических переменных такого различия пет, и в пределах пограничного слоя они ведут себя сходным образом. Таким обра- [c.141]

Точно так же дело обстоит и в общем случае. Автомодельные решения всегда представляют собой решения вырожденных задач, в которых входящие в задачу параметры размерности независимых переменных принимают нулевые или бесконечные значения, так что, как правило, автомодельные решения отвечают сингулярным начальным или краевым и т. п. условиям, таким, как в только что рассмотренных примерах. Таким образом, автомодельные решения всегда представляют собой промежуточные асимптотики решений невырожденных задач. [c.52]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Более глубокое рассмотрение показывает, однако, что эта простота иллюзорна, и, например, делая предположение о точечном выделении энергии, мы, что называется, ходили по краю пропасти. Действительно, слегка, на первый взгляд, изменив постановки задач и притом так, что, казалось бы, все те же соображения подобия должны сохранить силу, мы пришли к противоречию. Как оказалось, в модифицированных задачах нужных нам решений просто не суихествует. Более детальный анализ показал, что при попытке поиска решений модифицированных задач тем же стандартным способом исходя из формулировки вырожденной задачи оказалась неправильной сама постановка вопроса. На самом деле нам были нужны не точные решения упрощенно сформулированных вырожденных задач, соответствующих мгновенному отбору в точке конечной массы жидкости или мгновенному выделению в точке конечной порции энергии. Нас интересуют асимптотики решений невырожденных задач при больших временах. Мы применили анализ размерности к невырожденным задачам, существование и единственность решений которых либо строго доказаны, либо не вызывали сомнений невырожденные задачи, естественно, перестали быть автомодельными. [c.88]

Поведение решений системы первого приближения существенным образом зависит от выбора начального значения .1° — классическая ситуация вырожденной задачи. Более того, сам малый параметр т является в этом случае бифуркационным парамвтроы. Все ото приводит нас к необходимости более тщательного анализа подобной задачи. [c.204]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология