Общая постановка автомодельной задачи

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ [c.83]

Общая постановка автомодельной задачи в разд. 3.5 допускает значительное разнообразие в задании условий, наложенных на температуру, и в выборе физических процессов, при которых возможно простое математическое моделирование для вычисления, например, распределений и х,у) и 1 х,у). Одним из [c.104]

В последующих разделах будет описана общая постановка задачи определения влияния переменности теплофизических свойств для ламинарных течений. Поскольку для этих течений применим метод автомодельности, будут приведены результаты для естественной конвекции около вертикальной изотермической поверхности. На основании данных различных исследований будет рассмотрено влияние переменности свойств для газов при ламинарном режиме течения. Кроме того, будет приведена сводка результатов для турбулентного режима течения. В заключение заметим, что имеется довольно ограниченное количество исследований, посвященных анализу влияния переменности теплофизических свойств для течений с учетом выталкивающей силы. [c.476]

Зависимость щ от безразмерной величины k d должна быть общей границей устойчивости горения всех жидких маловязких взрывчатых веществ в сосудах одинаковой формы, т. е. и и k d являются критериями подобия. Это следует из самой постановки задачи Ландау, которая делает ее автомодельной. [c.200]

В дальнейшем будут рассмотрены конкретные примеры задач, постановка которых действительно приводит к этой простейшей схеме решения. Когда условия складываются менее благоприятно и требование (4.6) не удовлетворяется, неизбежно возникают осложнения. Однако если условие (4.5 ) все же выполняется и, следовательно, уравнения могут быть приведены к автомодельному виду, то эти осложнения нередко удается полностью устранить. Как уже было отмечено, общим приемом в этой ситуации является соответствующее видоизменение условий единственности решения, связанное с превращением параметрических значений в фиксированные числа (преимущественно в нуль), которые, очевидно, уже не являются индивидуальными параметрами. В более сложных случаях полностью избавиться в условиях единственности от параметрических значений невозможно, но иногда удается модифицировать их так, что сильны е существенно влияющие на результат условия выражаются через числа, а параметрические значения входят только в слабые условия, которыми можно пренебречь без сколько-нибудь заметного ухудшения результата. [c.257]

Независимо от тех или иных особенностей в постановке задачи приходится вводить весьма большое количество параметров первой группы (физических констант) и, хотя некоторые переменные, как мы видели, не представлены в решении параметрическими значениями, общее число параметров всегда велико. Эта характерная черта задачи влечет за собой невозможность преобразования ее к автомодельному виду. Таким образом, в обобщенные уравнения в качестве аргументов с неизбежностью должны входить безразмерные параметры (критерии подобия). Конкретная структура этих аргументов [c.312]

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе используется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в nepByiQ очередь на такого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова -Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замьжания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [c.104]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных [136, 103], при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации дают предельные автомодельные реп1е-ния, полученные Гольдштейном и Станюковичем [137, 109] путе.м формальной постановки. [c.76]

В двух предыдущих разделах описано много общих характерных свойств тепловых течений, вызванных выталкивающей силой. Но в набор важных приложений входит много видов граничных условий при у—0, отличающихся от условия на изотермической поверхности к ним относятся, например, течения, показанные на рис. 1.1.1 и 1.1.2. В первом случае условие для теплообмена при у = 0 имеет вид ((3 / г/)щ=о = onst, а во втором q" x) (dt/dy) у=о = 0. Выполненные ранее исследования показали, что и для других условий на поверхности существует автомодельность, если учитывать молекулярный перенос и конвекцию в простой постановке задачи, представленной в предыдущих разделах, т. е. в виде уравнений (3.3.1) — (3.3.5) [c.83]

Свойства примыкания. При решении конкретных задач сушествен-но знать, с какими другими решениями можно сопрягать автомодельное решение непрерывным образом или через сильный разрыв. В обшей постановке этот вопрос очень сложен и конструктивно не решается. Однако если ограничиться случаем примыкания двух автомодельных решений, то можно заметить следующее. Во-первых, такое примыкание возможно, только если показатели автомодельности а п в для обоих решений одни и тс же. Во-вторых, во всех случаях сопряжения линия примыкания должна быть линией уровня А = onst. Действительно, в противном случае возникли бы два дополнительных тождественных соотношения между величинами U, R, Р, не вытекающих из законов сохранения, а диктуемых только формой линии примыкания. Вообще говоря, такие соотношения несовместимы с системой уравнений (2) ввиду того, что ее общее решение зависит лишь от трех произвольных постоянных, подбором которых удовлетворить лишнему тождественному соотношению невозможно. [c.202]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология