Гомотопия

РАСЧЕТ СИСТЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ГОМОТОПИИ [c.233]

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ГОМОТОПИИ [c.260]

С развитием вычислительной математики в последние годы появились устойчивые и эффективно работающие (сходящиеся) методы - это методы, основанные на теории гомотопии. [c.261]

Если основываться на некоторых нестрогих офаничениях, почти всегда встречающихся на практике, можно получить одномерный континуум Г решений уравнения гомотопии (Г -траектория гомотопии), который связывает известное решение g(x] = О с искомым / х = 0. [c.263]

По распространенному определению гомотопия - это отображение функции F, от [0,1] X [0,1], в топологическом пространстве X (рис. 5.8) такое, что [c.263]

В численном анализе функция гомотопии h(xt) определяется как непрерывное отображение открытого, офаниченного прост- [c.263]

Обычно X является либо безразмерным, нормированным функциональным пространством, либо, как в случае конечной системы уравнений, Х= R" (R" - конечное векторное пространство размерности п в области реальных чисел). В дальнейшем ограничим наше обсуждение ситуацией, когда h x, / является выпуклой линейной гомотопией, т. е. Н(х, t) = tf x) + (1 - OiW- Для частной величины t уравнение гомотопии [c.264]

Функции выпуклой линейной гомотопии. Следует отметить, что эффективность решения системы (5.8) в значительной мере зависит от вида функции дс . [c.264]

Существует несколько видов функции выпуклых линейных гомотопий, из которых наиболее часто используют следующие [c.264]

В дальнейшем рассмотрении будем отдавать предпочтение гомотопии Ньютона, поскольку она сохраняет масштабную ин- [c.264]

Рис. 5.9. Графическая иллюстрация классического метода гомотопии

Хотя классический метод гомотопии полезен в теоретическом плане, следующий пример показывает почему в большинстве современных алгоритмов траектория гомотопии определяется посредством преобразования уравнения гомотопии к задаче начальных условий обыкновенного дифференциального уравнения. [c.265]

Пример поиска корней нелинейного уравнения методами выпуклой линейной гомотопии. Допустим, требуется определить корень уравнения [c.265]

Пусть g x] = Дх] - - гомотопия Ньютона, тогда уравнение (5.8) принимает вид [c.266]

Рис. 5.11 иллюстрирует графики рещений уравнения (5.9) в координатах х как функции / на нем показаны шесть траекторий гомотопии, соответствующих семи начальным приближениям л -5, О, 5, 7,41801, 12,581, 15,20 и 30. Траектории гомотопии для хР = 5 и хР = 12,581, а также для = 7,41801 и л = 15,20 совпадают. [c.266]

Предположим, что классический метод гомотопии был применен к следующей последовательности значений 1 0 0,1 0,3 [c.266]

Сходимость достигается с трудом из-за крутого градиента и/или точек перегиба на траектории гомотопии. Еще более трудная траектория для х = 5, где наблюдается точка перегиба при уР = 7,418. Вообще, точки перегиба на траектории гомотопии присутствуют при х= 7,418 и [c.267]

Как видно из этого примера, классический метод гомотопии в данном случае не является жизнеспособной альтернативой методу гомотопии Ньютона. [c.267]

Нри выборе х = X - хР (классическая гомотопия) уравнение (5.8) принимает вид [c.267]

Траекторию гомотопии для х = О в этом случае отражает рис. 5.12. Она существенно отличается от соответствующей ей траектории гомотопии на рис. 5.11. [c.267]

Однако в обоих случаях при применении рассмотренных функций гомотопии могут присутствовать крутой фадиент и/или точки вращения. Поэтому для получения устойчивого рещения из любой начальной точки хР необходимо следовать очень близко вдоль траектории гомотопии, т. е. использовать методы дифференциальной гомотопии. [c.267]

Методы дифференциальной гомотопии. С малыми затратами машинного времени можно существенно улучшить полученное классическим методом начальное приближение для метода Ньютона. Кроме того, если траектория гомотопии имеет точки перегиба, как это показано на рис. 5.11 и 5.12, гипотезы теоремы Ньютона - Канторовича не будут выполняться и классический метод не будет работать. Поэтому авторами издания была использована известная идея дифференцирования алгебраических уравнений для преобразования начальных условий системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.267]

Метод весьма просто применим также и к нахождению приближенных решений систем нелинейных уравнений, не содержащих параметра X. В этом случае необходимо только предварительно преобразовать исходную систему к виду (5.10). Заметим, что эффективность решения в значительной мере будет зависеть от способа введения параметра X. Так, в частности была использована глобальная гомотопия Ньютона [c.269]

Д.1Я удобства обозначим А. = 1 - г и будем отслеживать траекторию гомотопии (Г) от X = 1 до X = О, тогда уравнение примет вид [c.269]

Коррекция метода дифференциальной гомотопии. Для предсказания коррекции метода дифференциальной гомотопии используется понятие единичный вектор и, тангенциальный к траектории гомотопии Г, который может быть получен решением следующей системы уравнений [c.271]

Уравнение (5.21) показывает, что в точке траектории гомотопии, далекой от точки разрыва по X, f x] может быть далекой от сингулярности в этом случае е в уравнении (5.19) может быть принято как е" а v + 1 = 1, соответственно [c.272]

Если текущая точка траектории гомотопии близка к точке разрыва по X, тогда для расчета и используется следующая процедура. Пусть / соответствует индексу компонента и, чья абсолютная величина была наибольшей на предварительной итерации, тогда, если предьщущий шаг был не слишком большим, матрица Н формируемая удалением /-го столбца из матрицы [c.272]

Очень важным аспектом метода дифференциальной гомотопии является стратегия выбора размера щага на стадии интегрирования, где единичный тангенциальный вектор и умножается на размер щага 8 для определения начальной точки у (в точке Л" предсказанной методом Эйлера), корректируемой в по- [c.273]

Поскольку нас интересуют точные методы, офаничимся при рассмотрении методами Ньютона и гомотопии. [c.261]

Поэтому мы использовали метод Ньютона с линейным поиском для решения математического описания всей взаимосвязанной системы разделения как первый из методов в семействе рекомендуемых для применения. Функции офаничений использовались при выходе неизвестных за фаницу реальных физикохимических величин. Если же метод Ньютона сходится медленно или не работает, нами использовались методы дифференциальной гомотопии. [c.263]

Решение задачи разделения методами гомотошш. Методы гомотопии, как один из разделов теории топологии, широко применяются для решения систем нелинейных уравнений. Однако в химической технологии они пока еще не нашли широкого применения из-за их математической сложности. [c.263]

Поскольку общий метод может объединять подметоды различной строгости, рассмотрим последовательность применения различных методов гомотопии в порядке увеличения сложности, обеспечивая таким образом последовательность векторов начальных приближений, как следствие применения семейства [c.264]

Нх, 1) = Ах] - (1 - г)/ хО . Эта гомотопия часто называется глобальной гомотопией, так как решение ее канонического дифференциального уравнения методом Эйлера без шага коррекции эквивалентно методу Ньютона с демпфирующим фактором, т. е. траектория гомотопии, образованная применением этой функции гомотопии, глобализирует метод Ньютона. [c.265]

Классичесюш метод непрерывной гомотопии. При движении от i = 0 но t = алгоритм работы классического метода гомотопии заключается в следующем (рис. 5.9). Выбирается последовательность величин I и уравнение (5.8) решается для х методом Ньютона для каждой величины / с предыдущим решением как начатьной точкой. При некоторых ограничениях теорема Ньютона - Канторовича гарантирует, что такая последовательность может быть найдена. [c.265]

Процедура корреицш методом Ньютона. В классическом методе гомотопии коррекция Ньютона производится на гиперплоскости X = к - шаг гомотопии). Нами проводилась ньютоновская коррекция на гиперплоскости, ортогональной к единичному тангенциальному вектору и. Если размер шага не является слишком большим, гиперплоскость пересекает траекторию гомотопии в точке, близкой к предсказанной интегрированием у, как это показано на рис. 5.13. [c.273]

Химические приложения топологии и теории графов (1987) -- [ c.82 , c.110 ]

Общая органическая химия Т.1 (1981) -- [ c.46 , c.48 ]

Современные теоретические основы органической химии (1978) -- [ c.134 ]

Современные теоретические основы органической химии (1978) -- [ c.134 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология