Функциональное пространство

Описанные функциональные пространства удовлетворяют следующим отношениям включения io]=> С[0, io]=> С>[0, /о]=> [0. /о] IO, iol- Каждое из пространств в этом ряду целиком содержится во всех пространствах стоящих левее него. Например, все непрерывные функции (функции из С[0, to]) формально можно считать кусочно-непрерывными, т. е. они принадлежат [0, io]. Все непрерывно дифференцируемые функции (функции из С [0, io] являются и просто непрерывными, т. е. принадлежат С[0, io] и т. д. Функции из пространства С [0, io] входят и во все пространства /([О, Iq], С[0. 4], О [0, io],... [c.41]

Естественно, что временные ряды, подверженные нерегулярным флуктуациям, можно изучать только статистически — на основе широкого использования аппарата теории вероятностей и математической статистики. При таком подходе ряд x t) рассматривается как одна реализация, выбранная нз статистического ансамбля функций, описываемого определенным распределением вероятностей в функциональном пространстве, т. е. как выборочная функция случайного процесса X t), зависящего от непрерывного или дискретного аргумента. Тем самым, анализ временных рядов оказывается частью [c.5]

Рис. VI- . Линия стационарного состояния в функциональном пространстве и ее проекции.

Пусть 2 ( ) — функция, описывающая положение молекулы на прямой (имеется в виду одномерный случай) в зависимости от времени I, отсчитываемого с момента ее входа в аппарат. Для определения состава потока на выходе из аппарата необходимо суммировать вероятности по всем возможным траекториям, принадлежащим некоторому множеству Т функционального пространства [7] [c.214]

Обычно X является либо безразмерным, нормированным функциональным пространством, либо, как в случае конечной системы уравнений, Х= R" (R" - конечное векторное пространство размерности п в области реальных чисел). В дальнейшем ограничим наше обсуждение ситуацией, когда h x, / является выпуклой линейной гомотопией, т. е. Н(х, t) = tf x) + (1 - OiW- Для частной величины t уравнение гомотопии [c.264]

Следует отметить, что, вообще говоря, оптимальные решения многих задач нужно искать в функциональном пространстве, поскольку неизвестными, подлежащими опре) елению, часто являются функции (простейший пример — задача об определении оптимальной температурной кривой в каталитическом реакторе). Однако соответствующей параметризацией (см., скажем, [21, с. 1311) в большинстве практических случаев задачу нахождения оптимального решения можно свести к поиску в конечно-мерном пространстве. Поэтому здесь мы. будем рассматривать только поисковые методы в данном пространстве. [c.24]

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ [c.116]

Если пытаться поступить подобным образом в случае дифференциальных уравнений в частных производных, то могут возникнуть по крайней мере две альтернативы либо одна из зависимых переменных разбивается на бесконечный ряд дискретных значений переменной состояния, либо состояние системы рассматривается как последовательность профилей, а в качестве траектории принимается поверхность, образованная движением линий профиля во времени в функциональном пространстве стационарных состояний. Первая из этих возможностей связана с конечно-разностной аппроксимацией, которая применяется в численном анализе дифференциальных уравнений в частных производных. Однако вторая возможность более приемлема, поскольку она приводит к удобной геометрической интерпретации. [c.116]

Наглядность изображения функционального пространства стационарных состояний теряется, если число зависимых переменных превышает 2. Сложности, возникающие в пространстве большей размерности могут быть исследованы на примере моделей, учитывающих радиальные градиенты. В этом случае стационарное состояние определяется дифференциальным уравнением в частных производных с двумя пространственными переменными — продольной и поперечной координатами. Решения в форме [c.117]

Тем не менее, для таких функциональных пространств пригодны многие понятия и результаты, получаемые в конечномерных пространствах. Здесь также можно ввести скалярное произведение функций ф, и фу, обозначаемое либо как (ф., ф ), либо, что более часто используется в квантовой механике, как < ф, фу >, и удовлетворяющее аксиомам, аналогичным (2) [c.14]

Точно также, как и в конечномерных пространствах, в функциональных пространствах (в общем случае бесконечномерных) могут быть введены преобразования функций, т.е. операторы Л, различные по своим основным свойствам, матричные элементы операторов, представляемые скалярными произведениями функций ф на преобразованные оператором А функции ф [c.15]

Если п меняется от —оо до оо, то оператор Е можно рассматривать как настоящий оператор в функционально. пространстве, но в случаях, когда имеются одна или две границы, Е лучше считать простым обозначением для сокращения записи. Большинство [c.139]

Примечание. Плотность вероятности в функциональном пространстве и интегрирование по всем функциям математически не определены. Это связано с тем, что мы небрежно ввели огромное количество очень быстро меняющихся функций и (г). Они не имеют физического смысла, потому что (12.1.3) определяет и (г) как интерполяцию чисел на решетке. Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти математически согласованный н физически удовлетворительный метод ограничения функционального пространства на достаточно гладкие функции. Однако эту задачу решать не нужно, потому что получающиеся в результате уравнения для моментов приводят к правильным результатам. Упражнение. Запишите основное кинетическое уравнение для локального распределения носителей зарядов в полупроводнике из 6.9, предполагая, что они переносятся в результате процесса диффузии. [c.314]

Используемый метод называют методом составных моментов. В таком подходе удается избежать явного использования вероятности в функциональном пространстве. Аналогичные уравнения можно записать для высших моментов. [c.317]

Базисные функции. Набор функций, из которых можно сконструировать любую другую функцию в том же функциональном пространстве. [c.459]

Системные представления характеризуются двумя основными свойствами полнотой и независимостью. Под полнотой системных представлений понимается полнота охвата изучаемых вопросов со всех точек зрения (системных аспектов), необходимых для всестороннего целенаправленного исследования объекта. Полный набор системных представлений не содержит независимых дополнительных представлений. Системные представления независимы по отношению друг к другу, когда любой структурный элемент одного системного представления объекта может быть рассмотрен, в принципе, как самостоятельная единица в других системных представлениях, если только крупность соответствующей единицы позволяет провести такой анализ. Таким образом, полнота и независимость системных представлений позволяют говорить о некотором функциональном пространстве изучаемой системы — пространстве системных представлений. В каждом системном представлении объекта должно быть морфологическое, функциональное и информационное описание. Построение единого морфо-функционально-информационного описания системы, отображающего устройство, деятельность, способ развития и сущность взаимодействия со средой является проблемой каждого системного исследования. [c.39]

Под некорректными задачами обычно понимаются задачи, в которых не выполнено третье условие корректности. Корректность или некорректность задачи зависит от того, на какой паре пространства 2 и / решается задача одна и та же задача может оказаться корректной в одной паре пространств и некорректной в другой. Как правило, реальные физические явления, описываемые уравнениями (3.5), диктуют выбор функциональных пространств и эти пространства не могут выбираться произвольно. Правая часть уравнения (3.5) получается на основании данных измерений, при этом элемент и , представляющий приближенное значение правой [c.59]

Так как всякое увеличение свободной энергии может происходить только флюктуационным путем, то система может выйти из однородного (метастабильного) состояния только в результате флюктуационного образования критической концентрационной неоднородности. Последняя описывается распределением концентрации, которому отвечает точка перевала на гиперповерхности свободной энергии в функциональном пространстве функций распределения концентрации. Таким образом, образование критических концентрационных неоднородностей (в дальнейшем мы для простоты будем называть их критическими зародышами новой фазы) является необходимым условием распада метастабильного твердого раствора. [c.80]

Как уже отмечалось, результаты (7.2)—(7.4) носят приближенный характер. Строгий анализ проблемы зарождения требует рассмотрения топологии гиперповерхности АГ = АГ((с (т) ) во всем функциональном пространстве функций распределения концентраций с (г). В такой общей постановке задача определения критического зародыша сводится к задаче определения неоднородного распределения концентрации Со(г)> отвечающего наиболее низкой и, следовательно, наиболее доступной для системы точке перевала на гиперповерхности АГ = АГ((с(т ). [c.82]

Если квадратичная форма (7.13) является положительно определенной (это возможно лишь в том случае, если спектр оператора Я положителен), то любые отклонения бс(г) приводят к т. е. к возрастанию свободной энергии. Последнее свидетельствует о том, что распределение Сц (г) обеспечивает минимум АР. В противоположном случае, когда квадратичная форма (7.13) оказывается отрицательно определенной ( спектр оператора отрицателен), любая вариация бс (г) экстремального распределения Со (г) приводит к 6 АР а О, т. е. к уменьшению свободной энергии. Такой экстремум представляет собой максимум. Нас будет интересовать третья возможность, когда спектр оператора Н содержит как положительные, так и отрицательные собственные значения. В этом случае знак второй вариации Ь АР зависит от выбора вариации бс(г), т. е. от направления в функциональном пространстве, в котором происходит отклонение фигуративной точки, характеризующей состояние системы, от точки экстремума. Эта ситуация является типичной для экстремумов типа седловой точки. [c.84]

Обозначим через 2 (з) функцию, которую надо определить по данной функции и (х), причем г (з) Z я и (х) 7, где Z ж V — соответствующие функциональные пространства. Задача считается корректно поставленной по Тихонову [102], если [c.122]

Градиентный метод в функциональном пространстве [c.314]

Когда р оо, вектор I переходит в функцию l t), O t T. Это также может быть представлено в виде вектора а в функциональном пространстве, дающего направление наискорейшего подъема. Таким образом, если у нас есть аппроксимация и () для функции, которая максимизирует F[u t), то u t)+El t) будет давать лучшую аппроксимацию, когда е достаточно мало. Задача теперь состоит в том, чтобы вычислить направление наискорейшего подъема в функциональном пространстве i(i). Сначала покажем, как 1 рассчитывается для 1-й задачи, и затем аналогично поступим при рассмотрении 2-й задачи. [c.315]

Здесь С также может принимать значения как из непрерывного, так и из дискретного лшожества. Такой критерий впервые использовал П. Л. Чебышев [81 при рассмотрении проблемы наилучшего приближения функций полиномами и другими функциями. Для статистических задач с произвольной функцией распределения критерий (2) был применен и теоретически обоснован А. Н. Колмогоровым ([7], с. 353). В теории наилучшего приближения в функциональных пространствах в качестве меры приближения рассматривается норма пространства, которая представляется как ([8], с. 145) [c.114]

Чтобы достичь успеха и, в частности, исследовать сходимость формальных степенных рядов, определяющих ( z), нам придется выбрать конкретный класс динамических сгютем и функциональное пространство, из которого берутся весовые функции ср. Оказывается, что возможны и интересны разные способы сделать такой выбор. Но это в то же время означает. [c.191]

Такие функции называются ортогональными. Любые две разные собственные функции (соответствующие разным квантовым числам) одной и той же задачи всегда оказываются ортогональными. (Если эти функции являются комплексными, то подынтегральная функция должна иметь вид Вследствие этого полный набор собственных функций задачи образует полный набор линейно-независимых функций. Их можно использовать для определения функционального пространства, образующего базис для векторной алгебры. Этпм устанавливается взаимосвязь между гейзенберговским н шредингеровским подходами в квантовой мехапнке. [c.33]

Приступая к изучению объекта, исследователь стремится взглянуть на него с разных точек зрения, подойти с различных позиций. Иначе говоря, система должна быть описана в нескольких функциональных пространствах , называемых системными аспектами, или системными представлениями [Дружинин, Конторов, 1985 Барский, 1974]. Каждое системное представление должно сопровождаться тремя видами описаний морфологическим, функциональным и информационным. [c.37]

Если при дальнейшем переохлаждении достигается температура Т = Го то однородный раствор становится абсолютно неустойчивым (неустойчивым относительно малых флюктуаций) и монсет испытывать эволюцию, при которой свободная энергия системы монотонно уменьшается. Такая эволюция не требует флюктуационного преодоления барьеров — образования зародышей критического размера. Фазовое превращение в этом случае протекает без образования зародышей. Охлаждение однородного твердого раствора пиже температуры абсолютной потери устойчивости приводит к радикальному изменению топологии гиперповерхности, которую образует функционал свободной энергии в функциональном пространстве атомных распределений. Однородное состояние раствора теперь соответствует уже не условнодту минимуму свободной энергии, а седловой точке (рис. 8, а). [c.40]

В случае фазового перехода второго рода и распада в критической точке фазовое превращение всегда идет без образования зародышей, так как температура абсолютной потери устойчивости Го совпадает с равновесной температурой фазового превращения Тс (Т = Г(,). Это обстоятельство, на которое иногда не обращается должного внимания, составляет одну из интересных особенностей, отличающих механизм фазового перехода второго рода и распада в критической точке от механизма фазового перехода первого рода. Из равенства Гц = Г,., имеющего место для фазового перехода второго рода, следует, что выше Г<. (Г Г ) однородный твердый раствор обладает абсолютной устойчивостью и однородному состоянию отвечает абсолютный минимум свободной энергии. Ниже Тс (Т Г ), когда однородный твердый раствор теряет свою устойчивость относительно малых флюктуаций атолтых распределений, однородному состоянию системы отвечает седловая точка на гиперповерхности в функциональном пространстве атомных распределений, которую образует свободная энергия. [c.41]

Здесь мы везде предполагали, что и не ограничена. Когда же и ограничена, вполне вероятно, что могут быть использованы те же методы, однако эта задача еще не полностью изучена (см. работу Келли [22] и гл. 10). Применение более сложных методов поиска экстремума в функциональном пространстве описано у Балакриш-нана [4]. [c.320]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология