Метод Эйлера

Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

Рис. 53. Графическая иллюстрация метода Эйлера

При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

По методу Эйлера, производная в дифференциальном уравнении заменяется отношением конечных разностей. Пусть нужно решить уравнение [c.145]

В случае поточных систем законы сохранения представляются в виде уравнения неразрывности. Для его вывода воспользуемся методом Эйлера, применяемым в учении о потоках (см. также гл. 6). [c.49]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

Метод Рунге — Кутта позволяет получить более высокую точность, чем метод Эйлера при меньших п. В этом методе итерационная формула имеет вид [c.146]

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

Модифицированный метод Эйлера. В отличие от обычного метода Эйлера, когда для вычисления следующей точки интегральной кривой требуется информация только о предыдущей точке, модификация метода заключается в использовании прогноза поведения интегральной кривой в последующих точках. Модифицированный метод основан на усреднении положения концевой точки отрезка, которым заменяется интегральная кривая. Усреднение производится с учетом тангенса угла наклона в некоторой промежуточной точке, например в точке, отстоящей от начальной на половину шага интегрирования. Порядок построения решения в модифицированном методе Эйлера представлен на рис. 54 и заключается в следующем. Проводится касательная через точ-г/г) с тангенсом угла наклона / х , / ) до пересечения с прямой л = XI /г/2 и в точке пересечения вычисляется производная, равная [c.354]

Подчеркнем, что метод Рунге — Кутта эффективнее метода Эйлера только для искривленных функций. [c.147]

Простейшим методом решения системы уравнений (7.283) является метод Эйлера при вычислении производной д.хц1(И в точке [c.366]

При интегрировании по методу Эйлера полагается, что производная по X от Х) до — постоянная величина, что соответствует кусочно-линейному представлению интегральной кривой на отдельных участках интегрирования. Из формулы (12—12) следует, что для получения решения используется ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости по к, поэтому ошибка на каж- [c.353]

Для интегрирования системы уравнений (IV, 202), — (IV, 207) используется метод Эйлера с постоянным шагом. Величина шага Дх определяется из условия [c.320]

Интегрирование по методу Эйлера заключается в последовательном применении формулы (12—17) к уравнению (12—8), начиная = 1. При наличии начального условия = для [c.353]

Формула (12—19) и есть формула модифицированного метода Эйлера. Она может быть записана иначе, если промежуточная точка, производная в которой определяет направление отрезка интегральной кривой, отстоит от соседних точек на величину шага [c.354]

Система дифференциальных уравнений шага 4 интегрируется любым численным методом, например методом Эйлера, для выбранного Ар [c.277]

Таким образом, при использовании модифицированного метода Эйлера на каждом шаге интегрирования необходимо иметь информацию о текущей и предшествующей точках. Поэтому этим методом нельзя воспользоваться на первом шаге интегрирования [c.354]

Усовершенствованный метод Эйлера—Коши заключается в том, что при вычислении следующей точки интегральной кривой производится усреднение тангенса угла наклона кривой в двух прилежащих точках. В этом случае тангенс угла наклона находится [c.355]

Рнс, 54. Графическая иллюстрация модифицированного метода Эйлера [c.355]

Таблица 111.2. Сравнение результатов счета вариантов процесса платформинга при применении методов Эйлера и Рунге —Кутта

Рие. 55. Графическая иллюстрация метода Эйлера—Коши [c.355]

Порядок построения решения в методе Эйлера—Коши представлен на рис. 55. Через точку (х,, у ) проводится касательная до пересечения с прямой х = Х1+ . В этой точке пересечения вычисляется тангенс угла наклона касательной 2 и из точки ( , / ) проводится прямая Ад, тангенс угла наклона которой есть среднее арифметическое тангенсов углов наклона прямых А1 и А , т. е. [c.355]

В зависимости от знака величины А один из корней характеристического уравнения (12—28) оказывается по модулю большим единицы. Поэтому при I оо общее решение неоднородного уравнения и, следовательно, модифицированный метод Эйлера является неустойчивым. Так же как и для простой формулы Эйлера, ошибка может быть уменьшена только за счет уменьшения шага интегрирования. [c.358]

Дискретизация вектора состояния Хх определяется в результате интегрирования (У.192). Для этого можно, например, использовать методы Эйлера или Рунге—Кутта. [c.232]

При использовании метода Эйлера необходимо исследовать его пригодность для конкретной задачи с точки зрения точности полученного решения. [c.125]

Если же положить, что рг,1 = О, то из (12—44) получим р2,г = = 1 2,1 = СС2 = 1/2. Тогда после подстановки полученных значений в (12—39) последнее преобразуется к виду (12—19), т. е. получим формулу модифицированного метода Эйлера. Отсюда следует, что формулы Эйлера являются частными случаями формул Рунге—Кутта первого и второго порядков. [c.361]

Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

Для условий, рассмотренных в примере 1, составим программу интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику тарельчатой ректификационной колонны, используя формулы усовершенствованного метода Эйлера — Коши. [c.368]

Очень важным аспектом метода дифференциальной гомотопии является стратегия выбора размера щага на стадии интегрирования, где единичный тангенциальный вектор и умножается на размер щага 8 для определения начальной точки у (в точке Л" предсказанной методом Эйлера), корректируемой в по- [c.273]

I После интегрирования ( 6.2 ) методом Эйлере что гре- [c.72]

Метод Эйлера. Для функций ху, Х2, Хп системы дифференциальных уравнений (III. 44) вычисляются последовательно приближенные значения функций j [c.123]

Оценим ошибку расчета по методу Эйлера. Из разложения в ряд Тейлора ясно, что замена (f х h) — ф (х) на ф Л при малых h дает ошибку, пропорциональную h , т. е. равна onst-/г, . Если интервал х —х разбит на п частей и h = х—х 1п, то такая ошибка совершается п раз, и суммарная ошибка будет пропорциональна x—XqY ji. Таким образом, увеличение точности в п раз требует увеличения в то же число раз точек деления. Именно этот недостаток ограничивает применение метода Эйлера. Если, однако, зависимость у (х) близка к линейной (что довольно часто имеет место в прикладных расчетах), то коэффициент пропорциональности onst мал, и метод Эйлера даже при небольших п даст точное решение. [c.146]

Таким образом, в результате вычислений определяется некоторая ломаная линия, линейные отрезки которой имеют угол наклона, вычисляемый через производную в соответствующей точке интегральной кривой. Как следует из рис. 53, с ростом к ломаная линия все дальше отходит от истинного решения. Отсюда же из геометрических представлений легко заметить основной недостаток метода Эйлера если, например, кривая решения выпуклая, то ломаная кривая, вычисляемая на каждом шаге, будет отходить от нее вверх, поскольку для вычисления положения последующей точкп используется производная в предыдущей. Очевидно, чем больше кривизна интегральной кривой и шаг интегрирования, тем значительнее это отклонение. Другим неприятным свойством этого метода является также то, что ошибка интегрирования накапливается, т. е. увеличивается с каждым шагом. [c.353]

Нх, 1) = Ах] - (1 - г)/ хО . Эта гомотопия часто называется глобальной гомотопией, так как решение ее канонического дифференциального уравнения методом Эйлера без шага коррекции эквивалентно методу Ньютона с демпфирующим фактором, т. е. траектория гомотопии, образованная применением этой функции гомотопии, глобализирует метод Ньютона. [c.265]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции. Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппрокси- [c.280]

Решив эту систему, найдем значения dXj/dK, которые будем использовать в методе Эйлера для определения Xjij = 1,. .., я) в интервале [О, 1] изменения К. Значения л (/ = 1,. .., ) при X = 1 и будут решением исходной системы. [c.73]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология