Задачи с начальными условиями

В ряде случаев при решении задач математического моделирования вовсе не обязательно рассматривать химический реактор как ограниченное тело. Наоборот, химический реактор можно рассматривать и как неограниченно простирающуюся плоскость, пространство. Тогда необходимость в граничных условиях отпадает и в качестве дополнительных условий будут только начальные условия. В математике такая задача с начальными условиями называется задачей К о ш и [75 ]. [c.10]

Что касается задачи Коши (задачи с начальными условиями), то для нее существование и единственность были доказаны для случаев плоских и осесимметричных течений в предположении конечности полной энергии. При доказательстве исполь- [c.54]

Строго говоря, прежде чем идти дальше, надо было бы доказать сходимость рядов (5.5). В курсах уравнений математической физики приводятся соответствуюш,ие теоремы, которые позволяют судить о том, какие ограничения следует наложить на функции Д ( ) и / (1) (5.2), чтобы их можно было разложить в ряд по функциям, стоящим в прямых скобках в выражениях (5.5). Этот вопрос и ряд примыкающих к нему вопросов математического характера здесь исследоваться не будут, главным образом потому, что в дальнейшем задачи с начальными условиями не рассматриваются интересующиеся найдут соответствующие сведения в специальных руководствах. [c.45]

Однако пространственный подход считается некоторыми исследователями небезупречным с математической точки зрения. Так, указывается [32], что в этом случае возникает неопределенность решений, поскольку пространственные моды не удовлетворяют временным граничным условиям в сечениях, расположенных далеко вверх и вниз по потоку от рассматриваемой области. Кроме того, наличие собственных значений а с а<<0 не является необходимым условием неустойчивости пространственно развивающихся возмущений. Это связано с тем, что решения уравнений содержат пространственные моды, распространяющиеся в обе стороны от источника колебаний. Поэтому мода возмущения, соответствующая собственному значению с отрицательной величиной а , в области отрицательных х оказывается устойчивой. В результате не удается различить устойчивые и неустойчивые моды возмущения без решения задачи с начальными условиями [31]. [c.23]

Часто встречаются задачи, в которых значения искомого решения известны в граничных точках интервала. Задачи такого типа называются краевыми задачами. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений обычно сводится к решению нескольких задач с начальными условиями [14]. Простейшим методом такого рода является метод стрельбы, применяемый как к линейным, так и нелинейным краевым задачам. Рассмотрим решение краевой задачи для одного уравнения второго порядка [c.206]

Если задать у (0) = с, то можно решить задачу с начальными условиями [c.206]

Система дифференциальных уравнений (8), описывающая изменение концентраций и температуры по реактору, представляет собой задачу с начальными условиями типа Коши, для которой существуют различные методы решения с применением электронных вычислительных машин. [c.191]

Поскольку в задачах с начальными условиями хорошо работает другой метод (Рунге—Кутта), мы сосредоточим внимание на краевых задачах, в которых обычно задаются условия при л = 0 и х = Ь или л = оо. Используемый здесь подход оказался полезным в самых разнообразных задачах, так что целесообразно его изложить, чтобы облегчить работу других исследователей [1, 2]. [c.446]

Поскольку краевые задачи содержат условия как при л = 0, так и при л =L, получить конечные значения неизвестных, начиная с одного из концов, невозможно. Это удается сделать только в задаче с начальными условиями. Вместо однократного прохождения рассматриваемую область проходят дважды в противоположных направлениях. Коэффициенты Ей, г в уравнении (В-16) учитывают то обстоятельство, что краевое условие при х=Ь должно отражаться на всей рассматриваемой области, причем этот эффект учитывается лишь после проведения обратной подстановки. [c.451]

Второй метод состоит в рассмотрении этой задачи как задачи с начальными условиями, которые необходимо искусственно подобрать. Для этого метода не требуется машина с большим объемом памяти, однако выбор дополнительного начального условия, удовлетворяющего краевым условиям при х = Ь может оказаться сложным или вообще невозможным. [c.453]

В случае аналитических уравнений с частными производными (и аналитическими группами симметрии) уравнение (39) также будет аналитично. В этом случае для многих задач с начальными условиями мы располагаем хотя бы локальными теоремами существования. Так, предположим, что все производные по времени входящих в уравнение функций ф,(х /), х = (Х1.....х ) выражаются через и их первые производные по пространственным координатам, так что можно записать уравнение [c.180]

Можно считать, что проектирование — краевая задача, моделирование— задача с начальными условиями. Однако эти задачи нельзя противопоставлять или разрывать. Так, при проектировании, задавшись некоторыми характеристиками агрегата, по значениям входных потоков находят выходные (т. е. решают задачу собственно моделирования), чтобы потом сравнить их с требуемыми параметрами выходных потоков — так называемый проектно-поверочный расчет. Степень неопределенности на стадии проектирования всегда выше, модели сложнее, поэтому в дальнейшем, на стадии освоения процесса, после соответствующих уточнений и корректировок моделирование используют для исследования и оптимизации процесса, улучшения эксплуатационных характеристик и т. д. [c.132]

Корень Со уравнения (5.7) обычно иш,ется каким-либо приближенным методом и его определение связано с многократным решением задачи с начальными условиями (5.6). В Math AD имеется несколько специальных функций для решения краевых задач (12). [c.207]

Интересно отметить, что метод динамического программирования приводит к задаче с начальными условиями (задаче Коши) для дифференциального уравнения в частных производных. Классические же методы вариационного исчисления дают и двухточечную граничную задачу для уравнения Эйлера—Лагранжа. Вообще говоря, граничная задача решается с большими трудностями, чем задача с начальными условиями. [c.132]

Задача с начальными условиями, или задача об устойчивости во времени. Если начальное возмущение затухает со временем в каждой фиксированной точке пространства (или, по крайней мере, монотонно не возрастает), то система называется устойчивой по отношению к этим возмущениям. В этом случае, если начальное возмущение монотонно растет по времени в фиксированной точке пространства, систему называют абсолютно неустойчивой. Поведение такой системы слабо зависит от условий на входе (граничных условий), и подобные системы часто также называют генераторами шума или системами с самовозбуждением. [c.17]

Для операторов, порождающих сжимающую полугруппу класса (СоХ можно решить так называемую абстрактную задачу с начальными условиями. Сформулируем результат в виде теоремы (более подробное рассмотрение можно найти в книгах [101, 227]). [c.114]

Задача эксплуатации ХТС — это задача с начальными условиями, в результате решения которой определяются вектор выходных (У) и внутренних переменных ХТС ), т. е. параметры выходных и внутренних технологических потоков системы, а также изменение зиачаний вектора технологических параметров элементов К (в ряде случаев и вектора конструкционных параметров элементов К"), обеспечивающих интенсификацию технологического режима и оптимизацию эффективности функционирования действующей ХТС. [c.50]

Было бы весьма важно строго доказать, что решение любой задачи с начальными условиями вида (3.11) при достаточно быстро убывающей на бесконечности (пусть даже финитной, т. е. обращающейся в тождественный нуль при достаточно больших значениях аргумента) функции /(х, 0) выходит при больших временах на построенную автомодельную асимптотику, т. е. что и х, 1) действительно стремится при - оо к автомодельному ре- [c.65]

Оно известно как уравнение теплопроводности Фурье. Это задача с начальными условиями относительно времени t. Начальный профиль температуры Т = T z) должен быть задан при t = to для того, чтобы начать численное решение (см. рис. 8.3). Кроме того, это и краевая задача относительно переменной z, поскольку распределение T z) должно быть задано на границе для любого времени t, т.е. Та = T za) иТе = T ze) [Forsythe, Wasow, 1969]. [c.140]

В настоящем параграфе мы приведем некоторые результаты теории существования решений линеаризованного уравнения Больцмана и покажем, при каких условиях данная задача с начальными условиями (задача Копш) будет поставлена правильно. Здесь используется гораздо больше чисто математических методов, чем во всем предшествующем изложении. Чтобы читатель, не владеющий соответствующим математическим аппаратом, все же мог составить некоторое представление о результатах этого параграфа, начнем с эвристического рассмотрения. В нем изложены те идеи, которым в дальнейшем будет придана строгая форма. [c.106]

Основная трудность, возникающая при численном решении системы (5 ), (6а ), (66 ) и (7), заключается в том, что исходное уравнение здесь задано на полубесконечном интервале, в то время как непосредственному решению поддаются лишь задачи с начальными условиями (задачи Коши). Второе существенное затруднение возникало за счет того, что при больших гр5 и ха решение уравнения (4) весьма быстро изменяется вблизи точки () = 5(й. Это приводит к неустойчивости счета в задачах Котпи, которые используются для подбора граничного условия на втором конце ироме- кутка интегрирования [5, 29, 30]. Из-за этого для некоторых больших значений поверхностного потенциала авторы пе смогли получить решение задачи. [c.83]

Если заданы значения а (о)ж Sf o), тогда ретая задачу рассеяния - линейное уравнение (3.2.3) с граничными оловиями (3,3,9),-мы найдем начальное значение коэффициента отражения начальное значение нормировочного коэффициента (о). Зная начальные данные рассеяния, мы можем построить ядро (3,5.13) и решить линейное дискретное интегральное уравнение (уравнение ГЛ) (3.4.18) для зе(п,т). Затем получимуравнения (3.2,23-25) дадут решение задачи с начальными условиями. Таким образом задача о распространении нелинейных волн в цепочке сведена к линейной задаче и,следовательно,в принципе мокет быть решена. [c.87]

Задача (9.7) — (9.8) представляет собой линейную краевую постановку, в которой ищется решение системы дифференциальных уравнений на некотором отрезке по условиям, определяющим связь между значениями решения и его производных в кониевых точках отрезка. Одним из эффективных методов нахождения этого решения, который позволяет преодолеть трудности, связанные с появлением режима неустойчивого интегрирования на АВМ при малых Дт, является сведение данной задачи к задаче с начальным условием по методу прогонки. Введем обозначения у х) = g 1/йДт, /г(х) = —(1/аДг) х [c.253]

Как мы увидим позже, для операторов, порождающих сжимающую полугруппу класса (Со), можно репшть так называемую абстрактную задачу с начальным условием. Следовательно, наша ближайшая цель будет заключаться в задании такой области определения В(А) оператора А (4.8.86), чтобы оператор А действительно представлял собой инфинитезимальный оператор, порождающей сжимающую полугруппу класса (Со). Для существования оператора А как отображения из Ж в Ж, потребуем, чтобы все элементы ф В А)с б были абсолютно непрерывны (и, следовательно, дифференцируемы почти всюду) по г У и удовлетворяли условию Чтобы удовлетворить гра- [c.111]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология