Самосопряженность возмущений оператора потенциалом

В 2 изучаются потенциальные возмущения операторов вторичного квантования. Первый возникающий здесь вопрос — существенная самосопряженность суммы La + V (V = V — измеримая функция на Ф, задающая потенциал). Мы приводим условия на потенциал, обеспечивающие существенную самосопряженность суммы, и показываем, что при их выполнении справедлив аналог формулы Фейнмана — Каца для полугруппы (/ > 0) V / 6 2 (Ф. 7i) [c.508]

В 1 этой главы мы обсуждаем общий подход к преодолению указанной выше трудности в случае сингулярных потенциальных возмущений операторов вторичного квантования Ьа (см. гл. 6), действующих в пространстве Ь (Ф, ух). Идея такого подхода состоит в следующем. При наличии у потенциала V == V достаточно хороших р-свойств в гл. 6 была доказана самосопряженность суммы Ьа + V а наличие у Ьа Л- V нормированной собственной функции (основного состояния) ф > О 71-п. в., отвечающей нижней границе спектра = п 5 Ьа + + V). Вводя вакуумную меру = ф / yl на Ф и переходя от 2 (Ф", Тх) унитарным образом к а (Ф, ц ), определяем перенормированный оператор .геп = Ф7 ( л + V — Е ) ф в Ь (Ф, причем для гладких цилиндрических функций и, V [c.590]

Описанная схема одевания приобретает более конкретный вид применительно к рассмотрению сингулярных потенциальных возмущений операторов вторичного квантования. Это связано с тем, что рассмотренная в гл. 6, 3, п. 2, процедура перенормировки подсказывает конкретный выбор одевающих операторов, упрощающий проверку условий (1.1). Пусть задан сингулярный потенциал V и последовательность (У )Г=1 с= 2+Е (Ф, Тх). е > 0 V /7 > 1, п б N ехр (—У ) 6 б Ьр (Ф, Ух), Уп — Уп, аппроксимирующая V (в каком-то смысле). К примеру, У 6 7> (Ф ) и Уп- У, п->оо, в смысле обобщенных функций. Обычно выбор аппроксимирующей последовательности связан с физическим смыслом рассматриваемой задачи в теории поля это ультрафиолетовые и объемные обрезания, в квантовой статистической физике решетчатых систем — переход к рассмотрению взаимодействия лишь конечного числа частиц и т. д. Пусть невозмущенный оператор Ьа равномерно эллиптичен, т. е. а, а> 0. Тогда для каждого п 6 N согласно п. 3 2 гл. 6 имеем в существенном самосопряженный на Сй,су1 (Ф ) оператор л + 1 и основное состояние > О Т1-П. в. Перейдем к операторам Ь = Ьа + Уп [c.594]

Доказательство. У-самосопряженность оператора L следует из ограниченности мнимой части потенциала, а утверждение 1) следует непосредственно из очевидного обобщения теоремы 23 п°8 о малых возмущениях на комплекснозначные потенциалы (см. п°24). [c.189]

Пользуясь общими фактами об операторах, допускающих разделение бесконечного числа переменных, легко изучить спектральные свойства операторов в отвечающих (2) и (4). Значительно труднее изучить такие свойства для возмущения этих операторов потенциалом V хг, х ,. ..). Здесь дополнительно к классическим сингулярностям, связанным с бесконечностью области и иегладкостью V, добавляется сингулярность в направлении увеличения количества переменных (поясним, что не-гладкость V с необходимостью присутствует, так как в 1Я°° ие введена топология и понятие гладкости лишено смысла). Тем не менее свойства самосопряженности возмущенных операторов удается изучить и установить для них, в частности, теоремы типа Повзиера и Титчмариша — Сиерса. Это делается посредством параболического и гиперболического подходов, изложенных в гл. 5, 1, при этом первый из них определяет локальное поведение потенциала, а второй — его поведение иа оо. Сейчас играет важную роль цилиндрическая аппроксимация функции из а н затем гладкая аппроксимация соответствующей функции конечного числа переменных. [c.655]

В примерах гл. 6 мы уже видели, что операторы энергии простейших физических систем с бесконечным числом степеней свободы (таких, как свободное бозонное поле или совокупность невзаимодейству-ЮШ.ИХ квантовых осцилляторов) задаются посредством эллиптических дифференциальных операторов второго порядка, действующих в пространствах функций бесконечного числа переменных. Переход к рассмотрению более сложных систем часто может быть описан по крайней мере на формальном уровне посредством возмущения исходного оператора энергии некоторым потенциалом. При этом типична ситуация, когда такой потенциал задается выражением, не имеющим операторного смысла в пространстве состояний невозмущенной системы и, таким образом, не позволяет построить возмущенный гамильтониан как самосопряженный оператор в исходном гильбертовом пространстве и, следовательно, определить динамику возмущенной системы. В примере 2.2 гл. 6 было показано, что полиномиальные модели конструктивной теории поля приводят как раз к такой ситуации взаимодействие задается потенциалами, определенными лишь как обобщенные функции. [c.590]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология