Модель полиномиальная

Первый подход (он был рассмотрен выше) предполагает планирование всего эксперимента сразу до начала экспериментальной работы на объекте. Затем ставится эксперимент в соответствии с построенным планом. Эти планы связаны в основном с определением полиномиальной модели процесса и одновременным выявлением оптимальных условий его ведения, поэтому такое планирование принято называть экстремальным планированием эксперимента [18]. Для введения в план экстремального эксперимента качественных факторов применяют сложные планы, получаемые совмеш епием латинских квадратов и кубов с факторным экспериментом 2 ", где п — число факторов [19]. В химической технологии широкое применение планирование эксперимента получило при изучении диаграмм состав—свойство [12, 20]. [c.97]

В моделях второй группы априорная информация о процессе используется в наименьшей степени. Обычно это полиномиальные уравнения, связывающие между собой режимные координаты и выходные переменные. Это эмпирические зависимости, использующие качественные представления о характере влияния режимных переменных на результаты процесса. В некоторых случаях эти модели получают путем линеаризации соответствующих уравнений моделей первой группы. [c.86]

Известно множество разнообразных полиномиальных моделей каталитического крекинга, каждая из которых адекватна конкретной реализации процесса и в конкретных условиях его протекания. Так в работе [901 предложена регрессионная модель выхода бензина каталитического крекинга, линейная как относительно идентифицируемых неизвестных коэффициентов модели, так и относительно аргументов. В качестве независимых переменных модели используются расходы сырья, рисайкла и шлама, температура и уровень кипящего слоя в Р1 и температура подогрева сырья. Модель справедлива в узкой области изменения переменных. [c.99]

Вероятностно-статистический метод направленного эксперимента требует для разработки математической модели минимального количества информации, хорошо работает при высоком уровне шумов и позволяет получить уравнение, в котором выявлено влияние каждой переменной на целевую функцию. Полученное уравнение может быть проверено на адекватность по экспериментальным данным. Поэтому методу присущи и недостатки полиномиальный вид уравнения не содержит информации о первообразной функции, но позволяет управлять процессом уравнение, полученное для одного конкретного реактора, не может быть применено к другому требует выбора необходимой информации для математического описания процесса. [c.139]

Выбор типа регрессионных моделей для практического применения должен производиться с учетом физических законов, определяющих течение процесса. Если анализ физических законов показывает, что соответствующие переменные связаны линейной зависимостью, применение полиномиальной модели регрессии второго порядка приведет лишь к искажению модели, особенно, если эта модель используется для описания областей, находящихся вблизи границы или за пределами интервала имеющихся экспериментальных данных. Если же физические законы указывают, например, на кубическую зависимость, то полиномиальные модели регрессии третьего порядка являются более подходящими, чем линейные. [c.88]

Полиномиальные модели второго порядка. В общем виде полиномиальная модель множественной регрессии второго порядка выглядит так [c.89]

Чтобы преобразовать полиномиальную модель второго порядка в линейную, введем обозначения [c.89]

Нами проведены исследования по влиянию компонентного и гранулометрического составов наполнителя с привлечением метода математического планирования эксперимента с отысканием полиномиальных моделей. В качестве компонентов рассматривались графит и термоантрацит, обработанный при 1300° С как наиболее приемлемое сырье для производства электродов диаметром 1200 мм в настоящее время. Гранулометрический состав наполнителя определялся содержанием зерен —10-)-2,5 мм и тонкой фракции. Влияние отсевных фракций не рассматривалось, т. к. известно увеличение нестабильности грансостава шихты с введением этих фракций. [c.13]

С использованием значений функций отклика в точках плана эксперимента, приведенных в табл.П-3-3, и уравнений (439) для расчета коэффициента Р модели второго порядка (438) на.ходим для описания свойств отвержденной ФФС полиномиальные модели, в которых исключены незначимые коэффициенты. [c.460]

С использованием полученных полиномиальных моделей (444)-(448) и формул (109), (6), (189), (429) и (437) в контрольных точках плана эксперимента, показанных на рис.П-3-2,б, (точка плана с тремя индексами у,находится в середине грани тетраэдра с вершинами /, у и к) рассчитаны свойства отвержденной ФФС. [c.461]

Как видно из табл.П-3-4, относительная пофешность прогноза свойств отвержденной ФФС не превышает 1,7 %, что является вполне приемлемым для использования полиномиальных моделей как с целью определения реальной структуры отвержденной ФФС, так и степени влияния типа идеальной структуры на свойства ФФС. В частности, на рис.П-3-3 в качестве примера показана фафическая интерпретация полиномиальной модели температуры стеклования ФФС (444) в области изменения соотношения идеальных структур 1, 3 и 5 (при отсутствия идеальной структуры 4). Как видим, изолинии [c.461]

До тех пор, пока число изучаемых факторов невелико, проведение полного факторного эксперимента не вызывает затруднений. Однако с ростом числа факторов число необходимых опытов резко возрастает. Например, для 7 факторов требуется уже 2 = 128 опытов. Однако с точки зрения тех целей, которые ставит перед собой планирование эксперимента, в проведении такого большого числа опытов нет необходимости. Действительно, для моделирования зависимости отклика от факторов, каждый из которых варьируется лишь на двух уровнях, целесообразно использовать полиномиальную модель первой степени (см. уравнение 12.4-5). В этом случае необходимо оценить лишь 7 параметров, описывающих действие каждого фактора, а также величину свободного члена. Если использовать для этого все 128 значений отклика, то модель имеет 128 — 8 = 120 степеней свободы, что очевидно излишне. [c.498]

Для описания зависимости отклика от величин факторов мы будем использовать или содержательные (физико-химические), или формальные (обычно полиномиальные) модели. В любом случае используемая математическая модель должна адекватно описывать как линейные, так и нелинейные поверхности отклика. Моделирование нелинейных зависимостей возможно лишь в том случае, если задавать значения факторов как минимум на трех уровнях. Поэтому трехуровневые факторные планы называют также планами построения поверхности отклика. Для обозначения трехуровневых планов используют ту же символику, что и для двухуровневых. Так, план полного А -факторного трехуровневого эксперимента обозначают как 3 . На рис. 12.4-6 изображена схема плана 3 . [c.503]

Из оценки параметров для полиномиальной модели второго порядка получено следующее уравнение [c.508]

Как можно учесть взаимное влияние факторов при построении полиномиальной математической модели [c.517]

Такие преобразования можно осуществлять на основе либо содержательной физической, либо формальной математической модели (например, полиномиальной). Типичным примером содержательной модели может служить функция Кубелки—Мунка, применяемая в спектроскопии диффузного отражения для преобразования измеренной величины отражения с целью получения линейной зависимости от концентрации [c.566]

Полиномиальные уравнения, хотя и не несут в себе физического содержания, при описании бинарных систем обладают ценным качеством при достаточном числе оцениваемых параметров они могут воспроизвести весьма сложные термодинамические согласованные концентрационные зависимости экспериментальных коэффициентов активности. В подобных случаях они могут превосходить по качеству корреляции бинарных данных другие более поздние и современные модели растворов [205]. [c.199]

При построении модели используются линейная, гиперболическая, экспоненциальная и полиномиальная зависимости [c.314]

Параметры полиномиальных моделей / —23,232 (.-114,947 [c.153]

Однако уравнения регрессии оказываются очень ценными, если их использовать для решения экстремальных задач — определения оптимальных условий протекания технологических процессов, оптимальных составов приготовления смесей, для статической оптимизации управляемых объектов и ряда других задач. Математическая модель в виде уравнения регрессии весьма удобна, так как позволяет легко проводить ряд математических операций (методом наименьших квадратов, наращиванием полинома), а также дает возможность широко использовать ЭВМ при обработке экспериментальных данных. Отметим также, что именно появление ЭВМ подняло ценность полиномиальных моделей объемы вычислительных работ при расчете коэффициентов регрессии достаточно велики и ранее это ограничивало возможности статистических исследований. [c.194]

Уравнение регрессии — математическая модель процесса, полученная посредством математико-статистической обработки экспериментальных данных и представленная в полиномиальной форме. [c.266]

Результат эксперимента на сложном объекте обычно есть величина случайная. Существует много причин, приводящих к тому, что результаты наблюдения и измерения, сделанные в экспериментах, оказываются случайными величинами. Иногда случайность предопределяется самой физической сущностью явлений процессы происходят на молекулярном или атомном уровнях, а измеряются макроскопическими приборами. Неучтенные факторы, шум объекта также приводят к тому, что в результате повторных измерений в большинстве реальных экспериментов получаются отличающиеся друг от друга значения измеряемых величин. Поэтому при обработке и анализе экспериментальных данных используют методы Математической статистики. Так, для полиномиальной модели (2) получают так называемые выборочные коэффициенты регрессии Ьд, 6/. Ьц, [c.6]

С познавательной точки зрения полиномиальная (регрессионная) модель не представляет особого интереса. Зная оценки коэффициентов отрезка ряда Тейлора, нельзя восстановить исходную функцию, аналитическое выражение которой остается неизвестным исследователю, и, следовательно, невозможно получить информацию о механизме процесса. Полиномиальные модели справедливы только для объекта, на котором проводился эксперимент. В практическом отношении полиномиальные модели очень полезны и широко используются при решении задач оптимизации и управления химико-техноло-гическими процессами. [c.6]

Полиномиальная модель очень удобна, так как позволяет улучшать аппроксимацию, повышая порядок полинома, приводит к линейной системе нормальных уравнений при определении коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов. [c.157]

В главе изложены методы планирования эксперимента, направленного на поиск экстремума в условиях, когда механизм процесса неизвестен. В этих случаях используют полиномиальную модель процесса. [c.267]

Показано, что распределение мономодально и мохет быть представлено полиномиальной моделью неполной третьей степени. [c.91]

Модели второго типа - статистические представляют собой полиномиальные зависимости, коэффициенты которых отыскиваются статистическими методами. Чаде всего здесь применяется методы линейного регрессионного анализа. [c.34]

В окрестности оптимума полиномиальная модель множественной регрессии второго порядка при двух управляемых переменных имеет вид [c.25]

Метод оценки параметров, рассмотренный в разделе 4.4.1.2, может быть обобщен и на случай полиномиального вида модели. Однако подобный тип полиномиальной регрессии всегда следует применять с осторожностью. Необходимо четко представлять себе, что п точек всегда могут быть описаны полиномиальным уравнением степени /г — 1. Это описание, однако, может не иметь смыс- [c.169]

Наиболее простыми для такого решения задач создания материалов являются полиномиальные модели (ПМ). Обычно область (3) выбирается небольшой, и зависимости (1) достаточно точно могут быть аппроксимированы регрессионными ПМ (РПМ) 2-го порядка, для построения которых используются соответствующие методы планирования эксперимента на кубе. [c.770]

Сложным вопросом является также и выбор самих аппроксимирующих зависимостей. В некоторых случаях зависимости, ан-проксимирушщие экспериментально измеренные физико-химические свойства, являются модельными, при этом возникает проблема стандартизации этих моделей. В других случаях, когда данные аппроксимируются какими-либо эмпирическими зависимостями, необходимо решать задачу выбора вида зависимости, оптимально приближающей экспериментальные данные, для каждого физикохимического свойства. Известны попытки выбора таких зависимостей [37], однако в целом использование полученных разнородных данных затрудняется. Поэтому целесообразен выбор какой-либо эмпирической зависимости, аппроксимирующей оптимальным образом достаточно большое подмножество требуемых физико-химических свойств. В работе [34] большинство зависимостей физикохимических свойств от температуры аппроксимировалось полиномиальными уравнениями, однако выбор такой аппроксимации был сделан не на основе анализа оптимальности, а исходя из практических соображений. В целом направление дальнейшего прогресса в этой области заключается, очевидно, в использовании сплайнов для аппроксимации физико-химических данных. [c.229]

Эта группа моделей представляет собой совокупность полиномиальных уравнен, 1Й, связывающих режимные координаты с критерием ( . ли его кo iпoнeнтaми) и ограничениями. В основе этих моделей лежат базирующиеся на физико-химических закономерностях представления о характере влияния конкретной режимной переменной на результаты процесса. [c.98]

Упрощенная полиномиальная модель, учитывающая качество сырья, была использована для прогнозирования выхода бензина крекинга керосиногазойлевой фракции при фиксированном режиме в реакторе [961 [c.100]

Здесь в скобках представлена полиномиальная модель Оо — константа (скаляр) а, Ь, с — вектор-столбцы постоянных коэффициентов Хреж — вектор-строка наблюдаемых режимных координат и показателей качества сырья и я — вектор-строки управляющих воздействий Ф —фактор, учитывающий необратимую потерю активности катализатора с учетом периодических добавок [ом. выражения (111-54), (111-55)]. [c.121]

В задаче стабилизации показателей качества предусмотрено использование линейных полиномиальных моделей [54, 57]. Управление производится по замкнутой схеме в супервизорном режиме, когда управляюшее воздействие представляет собой задание локальному регулятору. [c.147]

Необходимо соблюдать осторожность и не допускать примб-нення регрессионной модели для областей, находящихся за пределами интервала полученных экспериментальных данных, так как это может привести к ошибочным выводам. Следует также учитывать, что полиномиальные модели регрессии более высокого порядка не всегда можно преобразовывать путем привязки к средней точке координат. [c.89]

Не останавливаясь на деталях, отметим, что проверка работоспособности алгоритма управления показателем текучести расплава полиэтилена выполнялась с помощью имитационного моделирования на ЭВМ ЕС-1022. На рис. 4.10 показана блок-схема связей основных программных модулей, используемых при испытании. В качестве имитационной модели объекта управления применена квазидпнамическая полиномиальная модель. Параметры модели определялись на основе средних значений переменных, которые определены на стадии статистического анализа экспериментальных данных, а также с применением оптимизационного метода покоординатного спуска. Имитация возмущений осуществлялась изменением параметров модели объекта управления. [c.189]

Преобразования дгшных можно осуществлять и формальным образом, например, с помощью абстрактной полиномиальной модели, подобно тому, как это делается при планировании эксперимента для построения поверхности отклика. Рассмотрим обращенную градуировочную модель, согласно которой экспериментальные значения оптической плотности а нелинейно связаны с концентрациями. Это можно выразить, например, в виде квадратичной модели [c.567]

Jh 0,025 мкг/мл соответственно. Описано применение спектрофотометра с детектором-видиконом, оснащенным ЭВМ, позволяющим определять одновременно несколько элементов. Экран видикона установлен в фокальной плоскости монохроматора сигнал с видикона поступает в оптический многоканальный анализатор, который формирует 500-канальный спектр. В работе прибора предусмотрены программы для учета мешающих влияний, коррекции фона, внутреннего стандарта, оценки полиномиальных моделей методом наименьших квадратов и т. д. Приведены результаты одновременного определения натрия, калия, лития и кальция [755]. [c.128]

Итак, полиномиальные модели можно оценить как полезное < редство корреляции экспериментальных данных для бинарных систем, в том числе систем со сложным характером межмолекулярных взаимодействий, в ограниченном интервале температур. В этом качестве они и сейчас сохраняют свое значение. Их недостатки при описании многокомпонентных систем вряд ли устранимы и, хотя математический подход к проблеме время от времени продолжает развиваться [207], наибольшее признание получают Модели, выведенные из определенных физических предпосылок. [c.199]

К первому типу относятся модели, связывающие выходы продуктов пиролиза с параметрами, влияющими на них. Обычно— это зависимости полиномиального вида [65—67]. Они применимы только к печи, змеевику и сырью таких видов, для которых и были получены. Эти модели не обладают возможностями экстраполяции за пределы изменения независимых переменных, использованных при обработке данных, поскольку не имеют физического смысла. Так, было проведено исследование [65] работы печи для пиролиза этана с настенным расположением змеевика (0108x6,5 мм), с использованием метода планирования эксперимента. Превращение этана описывалось реакцией первого порядка и для константы скорости этой реакции получено выражение [c.29]

Полиномиальная модель необходима для интерполЯ ционного йпределения скорости заполнения матрицы и следовательно, размера зоны питания в циклограмм при проектировании любых роторных таблеточных ма шин. Ограничением служит величина интервалов варьи рования (см. табл. 5). Чтобы подставить натуральны значения отдельных факторов в полиноминальную мо дель, необходимо перевести их в кодированное значе ние по формуле [c.90]

Для градуировки спектрометров могут использоваться те же приемы и способы, что и в других вариантах атомно-эмиссионного спектрального анализа. Однако с развитием вычислительной техники все шире используются статистические регрессионные методы аппроксимации градуировочньж зависимостей многофакторными математическими моделями различного вида. Некоторые из них были рассмотрены ранее (см. 14.2.1). Применяют также градуировочные характеристики полиномиального типа, в виде степенных многочленов и др. [c.416]

Восстановление изображения. Восстановление (restoration) изображения обычно означает его подгонку под некоторую модель. В ТК это чаще всего выражается в виде аппроксимации, например полиномиальной, временного развития температуры, о чем шла речь в п. 5.10. [c.178]

Уравнение регрессии (VIII.4) широко применяется для построения статистических моделей статики объектов химической технологии. С точки зрения исследования механизма процесса, его физикохимических свойств полиномиальная модель не несет необходимой информации. Действительно, зная лишь численные значения коэффициентов ряда Тейлора, нельзя восстановить искомую функцию ни тем более дифференциальные уравнения, описывающие процесс. [c.194]

Как уже отмечалось, всегда стремятся к созданию линейной модели, что может быть достигнуго за счет линеаризации. Так, линеаризация элементарной модели означает применение полиномиального разложения модели по степеням составляющих и сохранение в полученном ряду только нулевых и первых степеней. [c.71]

Индекс F изменяется от 12,5 для чисто парафинового сырья до 10 — для сырья, содержащего выводимую из реактора рециркулирующую фракцию. Были попытки найти корреляцию между F и скоростью крекинга некоторых видов сырья, а также октановым числом полученрюго бензина [14, 15]. В дальнейшем авторы [16] разработали полиномиальные модели, связывающие выходы продуктов с содержанием парафинов, нафтенов и ароматических углеводородов в сырье. Эти модели имеют следующий вид [c.121]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология