Гильбертово преобразование

Принцип причинности, выражаемый условием (4.1.9), приводит к так называемым дисперсионным соотношениям или соотношениям Крамерса—Кронига, которые отражают тот факт, что вещественная и мнимая части частотной характеристики линейной системы, инвариантной относительно времени (рис. 4.1.2), могут быть вычислены одна из другой с помощью преобразования Гильберта [4.7, 4.10, 4.18—4.21] [c.127]

Преобразования Гильберта и дисперсионные соотношения [c.109]

Функция / (со) называется преобразованием Гильберта функции / ( u). Например, следующие функции являются преобразованиями Гильберта одна другой [c.111]

Если функция / (( )) принадлежит классу при г >- 1, то преобразование Гильберта существует почти всюду и [c.112]

Из определения преобразования Гильберта вытекают следующие его свойства. [c.112]

Двукратное преобразование Гильберта есть просто изменение знака функции / ( ) = — / (со). [c.112]

Если / (со) я f (со) — функция и ее преобразование Гильберта, то при любых вещественных а > О и р преобразованием Гильберта функции / (асо + Р) является функция / (асо р). Кроме того, / (—со) = — / (—со). [c.112]

Выкладки, содержащиеся в формулах (3.11) — (3.14), свидетельствуют о том, что функция / (со) и ее преобразование Гильберта / (со) являются значениями, которые принимают на вещественной оси действительная и (с точностью до знака) мнимая части функции Ф (г) комплексного переменного г = со + 7-Непосредственно проверяется, что функция Ф (г) аналитична всюду, где существует интеграл (3.13), т. е. в верхней полуплоскости при 7 0. С этой точки зрения говорят, что функции / (со) и — / (со) являются граничными значениями действительной и мнимой частей функции Ф (г), аналитической в верхней полуплоскости. При этом под границей понимается вещественная ось. [c.112]

Справедливо и обратное если задана некоторая функция, аналитическая в верхней полуплоскости, то ее граничные значения связаны преобразованиями Гильберта. Чтобы показать это, рассмотрим интегральную формулу Коши [c.112]

Выше уже говорилось, что интегралы вида (3.14), определяющие преобразование Гильберта, нужно понимать в смысле главного значения, если они в обычном смысле не существуют. При этом главное значение понимается либо как предел [c.113]

Таким образом, (со) и т) (со) при всех условиях должны быть парой функций, связанных преобразованием Гильберта, и физические требования к ним и соответствующим релаксационным мв-делям не должны нарушать этого формального условия. [c.115]

Вводя комплексную частоту, можно убедиться, как и выше, что веш,ественная и мнимая части интеграла в (3.27) связаны преобразованиями Гильберта. [c.116]

Пример (3.15) содержит как раз ту пару функций, которые в данном случае являются преобразованиями Гильберта друг в друга. [c.118]

Динамический модуль может восстанавливаться по динамической вязкости с помощью преобразования Гильберта (3.25), и нет необходимости рассматривать его отдельно. [c.124]

Особенно полезной теорема I оказывается при использовании ее в сочетании с дисперсионными соотношениями Кронига — Крамерса [3, Ц-, 12]. Как известно, в силу линейности и причинности соотношения Кронига — Крамерса позволяют связать действительную и мнимую части обобщенной комплексной восприимчивости с помощью двух интегральных преобразований, родственных преобразованию Гильберта [13]. Указанные интегральные преобразования в случае оптической активности могут быть использованы для связи действительной и мнимой частей комплексной вращательной способности Ф [3] [c.267]

Введем также комплексный потенциал Ф = ф + х] (где /-функция, гармонически сопряженная с ф). В преобразованной плоскости течения для Ф имеем смешанную краевую задачу теории аналитических функций, когда на одних отрезках действительной оси задано значение КеФ, а на остальных отрезках нормальная производная этой величины обращается в нуль. Введем еще аналитическую функцию Р (Q = dФ dt , играющую роль комплексной скорости в плоскости . Согласно [76], для Р Q имеем частный случай задачи Гильберта, когда на части границы области г) >0 определения f ( задается значение КеГ, а на остальной части границы-значение 1тР. Кроме того, Р(1 ) должна быть ограничена во всех точках верхней полуплоскости [за исключением координат концов отрезков, в которых ограничен интеграл от Р ( ), т. е. Ф ( ], а предел Р (У должен быть конечен при - оо, что в наших условиях из физических соображений всегда вьшолняется. [c.53]

Поясним, ЧТО конкретный выбор операторов /г С ( ], нами фактически не был использован. Для любой последовательности операторов Оп (1Н ) ке (Н ) такой, что Ат Оп — оператор Гильберта — Шмидта в 2 О и С ->1,п->оо, слабо в (Н ), процедура перенормировки приводит к тому же ответу — это вытекает из сходимости преобразований Фурье v J , которая имеет место при описанных условиях. [c.610]

Примечание. Ограничение на hs заключается в том, что ее особенности в комплексной плоскости л находятся в отрицательной полуплоскости. Эквивалентная постановка в терминах преобразований Гильберта приводится в [546, 33 и 175]. Решение [c.349]

Преобразование Гильберта, позволяющее получать и проводить анализ спектров АМ- и ЧМ-огибающих вибросигналов случайной и гармонической вибрации, исследуя модуляционные параметры. [c.603]

При использовании преобразования Гильберта в приложениях важно знать, существует ли для данной функции такое преобразование. Функция / (со), по определению, принадлежит классу Lr при г > О, если существует ицтеграл [c.111]

Теорема о существовании преобразования Гильберта формулируется следующим образом 147J. [c.111]

Шумовые составляющие обоих процессов на выходе перемножителя независимы и имеют одинаковые энергетические спектры. Если произвести обратное преобразование Гильберта второго процесса, то восстановится процесс. [c.196]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология