Вычислительная системы линейных уравнений

Метод построения интерполяционного полинома х), изложенный выше, не является единственным. При наличии вычислительных машин он весьма удобен, поскольку сводится к системам линейных уравнений, программы решения которых, как правило, имеются для каждой машины. Однако при ручных расчетах или с помощью клавишных машин его использование сопряжено со значительными трудностями, особенно при высоких степенях полинома. [c.301]

Вычислительная томография. В отличие от обычных эхо-импульсных методов формирования изображений методы реконструктивной (вычислительной) томографии позволяют строить томографические изображения локальных скоростей и ослаблений ультразвука. Вычислительные методы реконструирования изображения по полученным данным (проекциям) - общие с радиационной томографией, поэтому поясним здесь идею лишь в самом общем виде. Построение изображения по некоторому набору экспериментальных данных (луч-сумм, проекций) основано на фундаментальном свойстве системы линейных уравнений достаточно иметь число линейно-независимых уравнений (число измеренных луч-сумм) не меньше числа неизвестных (числа точек изображения). [c.295]

С другой стороны, из цифровой машины можно получить с небольшими затратами результат с точностью до шести или восьми значащих разрядов, чего нельзя сделать на аналоговых машинах. Диапазон задач, которые может решить цифровая вычислительная машина, также широк. Можно, например, решать большие системы линейных уравнений, производить инверсию матриц, выполнять итеративные процедуры для решения систем нелинейных уравнений или исследовать на максимум функции нескольких переменных. Аналоговые вычислительные машины плохо приспособлены к любой из таких задач. [c.27]

В общем случае указанные вычислительные задачи решаются методами математической теории оптимальных процессов, а при замене дифференциальных уравнений равновесия (или совместности деформаций) системой линейных алгебраических уравнений — методами линейного программирования с использованием соответствующих стандартных или специальных подпрограмм для ЭВМ. [c.330]

В последнее время был выполнен ряд работ по численному решению системы дифференциальных уравнений (3-1-4), (3-1-5) с учетом изменения коэффициентов переноса от влагосодержания и температуры с использованием электронно-вычислительных машин. В частности, в работе Р. И. Гавриловой [Л. 8а] было показано, что поля влагосодержания и и температуры t влажных тел при переменных коэффициентах переноса имеют вид, аналогичный полям ия t, полученным при решении линейной системы дифференциальных уравнений влаго- и теплопереноса. Поэтому решения системы линейных уравнений переноса могут быть использованы для качественного анализа механизма процесса сушки. [c.135]

Неявные методы важны для решения жестких систем дифференциальных уравнений, которые типичны для задач, связанных с моделированием процессов горения, главным образом, из-за химической кинетики (см. 7.3). Хотя один шаг по времени в неявной схеме требует ббльших вычислительных затрат (из-за необходимости решения системы линейных уравнений), чем в случае явной схемы, более высокая устойчивость неявных схем делает возможным ббльшие шаги по времени и, следовательно, в неявной схеме требуется меньшее число шагов. В результате получается значительный выигрыш во времени, необходимом для вычислений. [c.142]

Если ж основная трудоемкая часть работы по обработке экспериментального материала (вычисление коэффициентов корреляции) может быть проведена на вычислительной машине, то нет необходимости строить корреляционные графики. Выделение наиболее существенных факторов для составления системы линейных уравнений, чтобы снизить порядок ее, проводят по значимости коэффициентов корреляции выходного параметра с входными переменными. [c.184]

В случае налагающихся спектров состав анализируемой пробы находится с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений. Данными для решения являются интенсивности некоторых выбранных пиков пробы и массовые номера этих пиков. Общее время анализа составляет около 1—1,5 ч, из которых несколько минут идет на запись масс-спектрометра, а остальное время идет на снятие показаний с масс-спектра и вычисление (Л. 5-21]. Поэтому система автоматического преобразования данных спектров в цифровую форму, удобную для расчета вручную или с помощью вычислительных машин, резко сокращает время анализа. [c.120]

Форма же самой -той МО, т. е. в соответствии с формулой (1-23), набор из N коэффициентов J (/=1, 2,.. ., Ы), называемый также -тым собственным вектором с. системы уравнений (1-24), определяется далее путем решения этой системы после подстановки в нее одного из допустимых значений е,.. Как поиск собственных чисел, так и вычисление собственных векторов системы линейных уравнений всегда можно выполнить стандартными методами линейной алгебры. Сейчас практически все действующие электронные вычислительные машины оснащены программами, которые сами находят все г,, и 5,., если предварительно вычислены матрицы и [49—52]. [c.26]

Широкие фракции асфальтенов содержат очень разнородные структуры. Для установления наиболее вероятных структурных формул высокомолекулярных углеводородов, или для углеродного скелета, М. А. Бестужев и М. Пьер (1968 г.) разработали математический метод, основанный на применении классической теории ( плоских графов ), позволяющей установить систему линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование этой системы с помощью электронно-вычислительной машины дает в весьма короткий срок область возможных структурных формул даже в случае (что наиболее часто встречается на практике) неполной информации относительно всех структурных элементов и их связей, всего около 40 переменных величин. [c.87]

При нелинейной изотерме изменение концентраций влияет на время пребывания молекул в реакторе. Так, если изотерма выпуклая, то уменьшение концентраций в импульсе для реакции 1-го порядка будет увеличивать степень превращения. Если изотерма адсорбции вогнута, то уменьшение концентраций будет сопровождаться уменьшением времени пребывания, что приведет к уменьшению степени превращения. Современная теория этого вопроса, к сожалению, настолько не разработана, чтобы можно было количественно рассматривать описанные выше процессы без использования вычислительных машин. Особое место занимают линейные системы (имеются в виду простые реакции первого порядка с диффузией и кинетикой сорбции, описываемой линейными уравнениями). В этом случае существенная часть различий между стационарными и нестационарными процессами стирается и становится возможным их детальный анализ. [c.194]

Математическое моделирование физических явлений обычно выражается в составлении уравнений в частных производных. Нередко эти уравнения сводятся к обыкновенным дифференциальным либо потому, что имеется всего одна переменная, либо за счет применения специальных методов, таких, как преобразование подобия или метод разделения переменных. Доступность быстродействующих цифровых вычислительных машин и наличие общего метода решения дифференциальных уравнений позволяют рассматривать такого рода задачи без тех грубых упрощений, которые часто приходится допускать, чтобы получить аналитическое- решение. Исходные задачи могут быть нелинейными и содержать несколько зависимых переменных. Однако должным образом выполненная линеаризация таких задач часто приводит к ряду сходящихся последовательных приближений, хотя в общем случае сходимость его гарантировать невозможно. Поэтому вначале имеет смысл обсудить метод решения системы линейных дифференциальных уравнений и проиллюстрировать метод линеаризации. [c.446]

Аналоговые вычислительные машины удобно использовать при моделировании процессов, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений. В АВМ реальные переменные, характеризующие физико-химический процесс (концентрация, температура, давление), заменяются машинными переменными — напряжениями электрического тока, с которыми в АВМ проводят те же математические операции (сложение, вычитание, интегрирование и т. д.), что и с реальными переменными при математическом описании процесса. [c.266]

Систему (УП.З) нужно решить для следующих граничных условий при Тр —О, 1м—1мо, 1п=1по, 0 = 1, а Тр меняется от О до Трп. Укажем, что аналитическое решение системы (УП.З) приводит к системе экспоненциальных уравнений (см. гл. I) и не облегчает моделирования, так как решение системы экспоненциальных уравнений с использованием современной цифровой вычислительной техники требует примерно такого же машинного,времени, что и решение системы дифференциальных уравнений. При использовании аналоговой техники решение системы линейных дифференциальных уравнений оказывается значительно более простым. [c.269]

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат функции лишь одной независимой переменной. Линейные уравнения (и их системы) могут быть решены аналитически. Нелинейные уравнения чаще всего целесообразно решать на ЭВМ, причем аналоговые вычислительные машины специально предназначены для решения систем дифференциальных уравнений [6]. На аналоговой машине решение получают очень быстро, но точность его невелика. При необходимости получить более точное решение обращаются к цифровым ЭВМ. [c.45]

Таким образом, использование потарелочных балансов и стандартных программ для решения системы линейных алгебраических уравнений, а также описанных выше алгоритмов расчета процессов ректификации и абсорбции позволяет разработать детальный алгоритм расчета любой сложной системы колонн со связанными потоками. Реализация такого алгоритма относится к области вычислительной математики и поэтому более детально не рассматривается. [c.91]

При изучении линейного пиролиза возникает задача об определении скорости разложения вещества в нестационарных условиях. Обычный подход к решению такой задачи заключается в следующем. Рассматривается система дифференциальных уравнений и граничных условий, описывающих процесс разложения. При этом находят профили температуры, концентрации н т. д. Удовлетворяя условиям задачи (граничным и начальным), а также дополнительному условию , выбранному из физических соображений, находят скорость разложения как величину, обеспечивающую удовлетворение дополнительного условия . При таком подходе мы получаем слишком подробную информацию (значение температуры й концентрации в каждый момент времени в каждой точке пространства), в то время как требуется найти интегральную характеристику— линейную скорость разложения. Оказывается возможным решить в конечном виде отдельные линеаризированные задачи. Для нелинейных задач требуется применение вычислительных машин. [c.5]

Формально математическая задача расчета режима колонны при заданной совокупности внешних условий состоит в решении системы нелинейных уравнений высокого порядка. Прямые методы ее решения, известные из численного анализа, приводят к громоздким вычислениям, доступным лишь вычислительным машинам большой мощности. Поэтому обычно применяются методы, использующие особенности структуры системы уравнений математического описания. Если тепловые потоки не учитываются, материальные балансы представляются относительно известных составов линейными уравнениями [см. ч. I] [c.320]

Решение этой системы относительно неизвестных концентраций С, проводилось методом обращения матрицы коэффициентов при неизвестных С [Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева Вычислительные методы линейной алгебры , ФМ, 1963]. Получены следующие расчетные уравнения для вычисления концентраций кислот в растворе [c.292]

На быстродействующей электронно-вычислительной машине Минск-22 по заданной программе составлялась и решалась система линейных условных уравнений [c.104]

При этом система уравнений, оставаясь по-прежнему линейной, требует для своего решения гораздо больше вычислительных блоков (более чем в 2 раза). Наилучшие примеры применения этого метода содержатся в статьях Пигфорда [c.115]

Строго говоря, получение точных решений уравнений (68) предполагает бесконечный базис функций, т. е. требует решения бесконечной системы уравнений. Но, как показал Рутан и как подтверждает обширная расчетная практика, удовлетворительного приближения можно достичь и при конечном базисе АО. При этом многое зависит от выбора базиса — его размеров и качества. Расширяя базисный набор путем добавления новых линейно-независимых функций, можно достичь такой ситуации, когда вычисляемые характеристики системы (орбитальные энергии, наборы коэффициентов и т. д.) окажутся нечувствительными к дальнейшему расширению базиса. В этом случае говорят о достижении хартри-фоковского предела. Предельный базисный набор АО дает очень точные результаты, почти такие же, как при численном интегрировании уравнений Хартри — Фока. Однако увеличение числа АО в базисе сопровождается существенным возрастанием вычислительных трудностей. Поэтому в реальных расчетах, особенно сложных многоатомных систем, используют базисы укороченные по сравнению с предельными. [c.180]

Автоматизированный вывод системы дифференциальных, интегральных или конечных уравнений (линейных, нелинейных, с сосредоточенными или распределенными параметрами). Эта процедура реализуется на основании характеристических функциональных соотношений диаграммных элементов. 2. Автоматизированное построение блок-схем вычислительных алгоритмов математического описания ФХС на основании специальной системы блок-схемных эквивалентов соответствующая система формализаций ориентирована на применение современных операционных систем и языков программирования (например, типа РЬ-1). 3. Построение сигнального графа ФХС (если это необходимо) на основании специальной системы сигнал-связных эквивалентов. [c.21]

Решение систем уравнений (П1,54) и (111,55) проводится на вычислительных машинах. Коэффициенты массопередачи Ку) и Ку) , коэффициенты продольного перемешивания /)(, и и линейные скорости потоков 1Д(, и и д, приведенные в системах уравнений (111,54) и (П1,55), определяются экспериментально. [c.267]

Уравнение (6.7) можно решать аналитически, численно или с помощью вычислительной машины. Определим фазовую траекторию сначала для линейной системы второго порядка [c.176]

Если контроль проводится при п значениях обобщенного параметра, то можно составить 2п уравнений, связывающих параметры объекта и сигнала. Если эти уравнения линейно-независимы, то они позволяют определить 2п параметров объекта. Обычно эти уравнения считают линейными, что справедливо при малых вариациях параметров объекта (чувствительности к параметрам объекта постоянны). Система уравнений решается вычислительным устройством либо в виде микроЭВМ, либо в виде аналогового сумматора с масштабными коэффициентами на входах. Коэффициенты обычно определяют экспериментально с помощью набора стандартных образцов так, чтобы на выходе сумматора подавить влияние какого-либо фактора. При изменении номинальных параметров объекта необходимо полностью перестроить аналоговый вычислитель. Использование микроЭВМ или микропроцессоров позволяет решать не только линейные, но и нелинейные системы уравнений, а также легко изменять прОфамму при изменении параметров объекта. [c.412]

Вся процедура описания экспериментальных данных может быть существенно механизирована с помощью обычных численных методов, которые становятся все более популярными по мере распространения быстродействующих ЭВМ. Обычно как критерий описания выбирается метод наименьших квадратов, но применяемое аналитическое определение нельзя использовать, так как теоретическая зависимость параметров нелинейна. При наличии большой вычислительной машины минимизация среднеквадратичного отклонения может быть выполнена непосредственно численным методом [104]. Если такие вычисления невозможны, то используется аналитический метод последовательных приближений [183—1836]. Первое приближение для параметров потенциала берется, например, из графического метода, затем относительно этих параметров производится разложение в ряд Тейлора. При сохранении первых членов разложения относительно корректирующих поправок к параметрам потенциала получается система линейных уравнений. Если первое приближение параметров оказывается слишком грубым, то всю процедуру можно повторить, начиная со второго приближения, полученного в первом цикле. Уолли и Шнейдер [183а] применяли этот метод для определения параметров потенциала из вторых вириальных коэффициентов, а также в расчетах для некоторых инертных газов. Этот же метод расчета применялся для метана и закиси азота [1836]. [c.247]

Так как система уравнений (9.2) содержит члены второго порядка i[E]- [S] и fe (n+i)[E] [Р], она нелинейна и получить аналитическое решение данной системы при произвольных соотношениях констант скоростей реакций и концентраций реагентов не представляется возможным. Решения подобных систем уравнений могут быть найдены или путем численного интегрирования на цифровых вычислительных машинах [1] или моделированием на аналоговых вычислительных машинах [2]. Однако в некоторых частных случаях систему уравнений (9.2) можно превратить в линейную систему, которая может иметь аналитическое решение. В настоящее время при анализе кинетики ферментативных реакций, протекающих в нестационарном режиме, наибольшее развитие получили два подхода, основанные на предпосылках, упрощающих кинетическое рассмотрение [c.187]

Но в этом случае требуется много времени на выполнение счетных операций. Для решения системы уравнений с 10 неизвестными с помощью вычислительных машин типа Вильнюс , Селатрон и других аналогичных машин требуется 8—10 ч, тогда как с помощью обратных матриц можно определить 10 неизвестных за 30 мин. Поэтому достигаемое небольшое снижение погрешностей определения с помощью системы линейных уравнений не оправдывается. В табл. 41 представлены обратные матрицы для расчета характеристических сумм (хо, x , хг, Хз, Х4, xs, Хе, Хма) парафиновых, MOHO-, би-, три-, тетра-, пента-, гексациклических нафтеновых и моноциклических ароматических УВ во фракциях нефтей с числом атомов углерода на среднюю молекулу 14, 16, 20, 24, 28, 32. Для определения группового состава в последнем столбце обратных матриц даны коэффициенты чувствительности К сумм пиков характеристических ионов. Эти коэффициенты рассчитаны на основании значений характеристической суммы и чувствительности максимального пика. [c.308]

Все математические операции проводили на электронно-вычислительной машине БЭСМ-4. Для пол-учения системы линейных уравнений провели линеаризацию нелинейных зависимостей [c.55]

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связц между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью . Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе Примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощг.ю специальной замены переменных. [c.495]

Как уже было отмечено, при синтезе алгоритмов стабилизации было применено численное моделирование системы в целом с одновременным применением метода Розенброка для определения оптимальных параметров в алгоритмах стабилизации. Для ограничения времени, необходимого для расчетов на вычислительной машине, математическая модель реактора была упрощена. При упрощении мы исходили из полной метаматической модели реактора в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных [215], которая решалась на ЭВМ. Затем численные решения были аппроксимированы в форме последовательного соединения нелинейной статической модели и линейной динамической модели (рис. IX.10). Аппроксимированная модель была использована при оптимизации параметров алгоритмов стабилизации. [c.366]

Уравнения (11.109) и (11.110) представляют собой системы линейных алгебра ическнх уравнений с п неизвестными Яг. В случае небольших значений п решение их не вызывает особых трудностей. При достаточно больших п решение этих уравнений может производиться с помощью электроннных вычислительных машин. [c.196]

При большом количестве веществ получается, естественно, система из большого-числа уравиепий. Вычисление детерминантов, с помощью которых наиболее удобно-решать такую систему уравнений, в этом случае является весьма трудоемкой работой. Электронных же вычислительных машин, (оторые можно использовать для решения-систем линейных уравнений, очень часто но бывает под рукой. [c.79]

Применение электронных вычислительных машин сделало возможным определение теплового поля компрессора в целом [204]. Для этого i используется метод тепловых балансов основных элементов компрессора (цйлиндра, глушителя, нагнетательной трубки, корпуса электродвигателя, механизма движения, кожуха и др.), фреона в цилиндре, всасывающем и нагнетательном каналах, а также масла. При работе компрессора в установившемся состоянии его температурное поле описывается системой линейных алгебраических уравнений, для решения которой нужно знать условия тепдообмена между элементами компрессора, [c.115]

Топологическая модель в форме диаграммы связи, во-первых, наглядно отражает структуру системы и, во-вторых, служит ее исчерпывающей количественной характеристикой. Построенная диаграмма связи технологического процесса является исходной для всех дальнейших формальных процедур преобразования диаграммы в другие формы описания объекта в форму дифференциальных уравнений состояния, в форму блок-схем численного моделирования, в форму передаточных функций по различным каналам (для линейных систем), в форму сигнальных графов и др. Каждая из этих преобразующих процедур реализуется в виде соответствующего вычислительного алгоритма на ЦВМ и будет подробно рассмотрена в книге. [c.4]

Информационная насыщенность и функциональная емкость элементов и связей ФХС в сочетании с эвристическими приемами построения топологических структур ФХС, понятием операционной причинности, правилом знаков, формально-логическими правилами совмещения потоков субстанций в локальной точке пространства и правилами объединения отдельных блоков и элементов в связные диаграммы позволяют создать эффективный метод построения математических моделей ФХС в виде топологических структур связи (диаграмм связи). Топологическая модель ФХС в форме диаграммы связи, во-первых, наглядно отражает структуру системы и, во-вторых, служит ее исчерпывающей количественной характеристикой. Путем применения чисто формальных процедур диаграмма связи без труда трансформируется в различные другие формы описания ФХС в форму дифференциальных уравнений состояния в форму блок-схемы численного моделирования (или вычислительного моделирующего алгоритма) в форму передаточных функций по различным каналам (для линейных систем) в форму сигнальных графов. Каждая из этих преобразующих процедур реализуется в виде соответствующего вычислительного алгоритма на ЭВМ и будет подробно рассмотрена в книге (см. гл. 3). [c.9]

Такое явление называется расходимостью. При этом как аналоговые, так и цифровые вычислительные машины быстро приходят г. режим аварийной остановки. В задачу исследователя не входит вмявление математических причин расходимости решения линейных и нелинейных уравнений, он должен лишь осознавать, что система уравнений может быть плохо скомпонована, из-за чего появятся трудности при получении решения. [c.34]

Метод Ньютона — универсальная основа для разработки алгоритмов гидравлического расчета. Присущая ему линеаризация системы уравнений на каждом шаге вычиашгельного процесса позволяет эффективно использовать особенности топологической структуры расчетной схемы цепи и многократно обращаться к линейным преобразованиям к контурным или узловым величинам. Это резко снижает размерность системы уравнений, которую фактически надо решать, и дает возможность для компактного представления к обработки исходной к промежуточной информации путем сетевой интерпретации вычислительных и логических операций. Кроме того, линеаризация позволяет использовать богатейший опыт алгоритмизации расчетов линейных электрических цепей. [c.105]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология