Целые аналитические функции

Стоит напомнить некоторые результаты, касающиеся целых аналитических функций. [c.198]

Целые аналитические функции [c.198]

Причиной всеобщей озабоченности состоянием природной среды является факт обнаружения в экологических системах (в основном в биосфере) значительных антропогенных изменений (вызванных деятельностью человека). Для оценки степени негативных изменений вводится понятие экологического мониторинга — системы наблюдений и контроля за изменениями в составе и функциях различных экосистем. Поскольку химическое загрязнение является основным фактором неблагоприятного антропогенного воздействия на природу, наблюдение и контроль за состоянием окружающей среды предполагает исследования атмосферного воздуха, почвы, водоемов на наличие загрязняющих химических веществ, а также изучение радиационного загрязнения, вызывающих нарушение сложившегося экологического равновесия в природе. Следовательно, в основе экологического мониторинга лежит химический анализ. А целью аналитической [c.14]

Пусть целая аналитическая функция f z) имеет нуль порядка m в точке О и пусть (а ) — последовательность других ее нулей, расположенных в порядке возрастания модулей, в которой каждый нуль повторен столько раз, какова его кратность. При Л > О положим [c.198]

Этот интеграл можно, конечно, найти численно, однако во многих случаях интегрирование можно провести и аналитически. Если, например, все числа у, — целые, то функция г ( ) представляет собой полином от и может быть представлена в виде [c.95]

При экспериментальном изучении адсорбции в различное время был предложен целый ряд экспериментальных изотерм , т. е. простых аналитических функций [c.273]

При использовании данного метода предполагалось, что распределение температур описывается каким-либо аналитическим выражением (прямая линия, парабола, экспонента и т. д.) с некоторым числом варьируемых параметров. Это выражение затем было подставлено в уравнения кинетики (3), и с целью максимизации функции Xz tf) к параметрам и общему контактному времени был применен метод поиска экстремума. [c.345]

Аналитическая обработка экспериментальных данных по уравнению (125) с целью выделения функции источников позволяет определить число раздробившихся частиц и размеры частиц, способных раздробиться, а также число частиц, получившихся в результате дробления. Таким образом, температура слоя влияет лишь на элементарный акт дробления, и с ее помощью можно регулировать число образующихся новых центров грануляции. Разработанная методика модельных опытов с водой позволяет оценить возможность образования новых центров грануляции при различных температурах слоя [c.267]

Вследствие того, что распределение концентраций на различных участках образца описывается различными функциями (П.13) и (П.17) или (П.18), то после интегрирования этих зависимостей распределение концентрации выражается кусочно-аналитическими функциями (их производные различного порядка в отдельных точках X, удаленных от конца образца на целое число зон длиной I, испытывают разрыв). [c.72]

Решение уравнения (2. 103) для определения потенциальных функций Ф<г- Фг1> Фгл и Ф,, по заданным граничным условиям (задача Неймана) в общем случае трехмерной задачи встречается в настоящее время с еще не разрешенными трудностями. В целях получения наглядного представления о формах движения для отдельных составляющих поля скоростей использовали упрощенную теоретическую модель лопастного колеса, переходя от задачи трехмерной к задаче плоской — двухмерной. Для центробежного лопастного колеса такой теоретической моделью является колесо с плоскопараллельными стенками и цилиндрическими (с образующими, параллельными оси) лопастями (рис. 37). Переход к плоской задаче позволяет применить теорию аналитических функций комплексного переменного для определения потенциальной функции в замкнутой области по значению нормальной производной на ее границах. [c.62]

Еще одно удивительное свойство аналитических функций связано с контурными интегралами. Мы не будем объяснять, что это такое. Для нашей цели достаточно знать, что контурные интегралы могут отличаться друг от друга либо выбором кривой в комплексной плоскости (контура), по которой они берутся , либо подынтегральной функцией, либо тем и другим. Это понятие играет важную роль в теории вещественных функций нескольких переменных и переносится на комплекснозначные функции двух вещественных переменных, поскольку последние можно рассматривать как пару вещественных функций. [c.71]

Далее отметим, что каждая не тождественно равная нулю аналитическая функция обращается в нуль как некоторая целая степень если /(а) = 0, то найдется номер п 1 такой, что в окрестности точки а [c.72]

При (а — l)d, являющемся целым числом, гамильтониан гауссовского автомодельного распределения порождается экспоненциально быстро убывающим потенциалом, т. е. является короткодействующим. Отвечающая ему функция на -мерном торе является вещественно-аналитической. В таком случае естественно рассматривать собственные гамильтонианы, соответствующие вещественно-аналитическим функциям. Легко проверить, что при этом не возникает новых условий устойчивости гауссовских распределений. [c.188]

Для иллюстративных целей удобно выбрать для iio(/t ) простую аналитическую функцию, чтобы решение имело простой вид. Выбор [c.202]

Второй член правой части, к сожалению, не может быть выражен никакой аналитической функцией. Но, поскольку мы задались целью найти лишь тенденцию линий тока (охарактеризовать их в первом приближении), [c.96]

Возникающее при радиоактивном распаде -излучение соответствует рентгеновскому излучению такой же длины волны и поэтому не дает никаких дополнительных преимуществ. В аналитических целях может быть использовано поглощение а- и р-частиц другими веществами. При этой, например, можно поместить источник а-частиц в ионизационную камеру и пропустить через нее поток анализируемого газа. При постоянном давлении газы по-разному поглощают излучаемые частицы, поэтому полученные данные являются функцией состава газа. Путем сравнения с результатами, полученными для газовой смеси известного состава, находят точные значения количеств компонентов. [c.388]

Для дальнейшего нам необходимо уметь выразить факториал (например, х ) аналитически через известные функции. Для этой цели можно воспользоваться выражением, известным как приближение Стирлинга. С очень высокой степенью точности величина х = х х — 1) (х — 2). . . 1 равна [c.124]

Уравнение (III.68) или (III.70) не решается аналитически ни в случае изотермической реакции с порядком, отличным от первого, ни в случае неизотермической реакции (даже первого порядка). Решение этого уравнения для зерен плоской и сферической формы при различной кинетике процесса проводили численными методами с помощью ЭЦВМ [23] . Основной целью расчета является вычисление фактора эффективности как функции определяющих параметров процесса. [c.126]

Процедура автоматизированного учета включает следующие этапы декомпозицию исходного геометрического образа ФХС на составляющие опорные поверхности или контуры в виде отрезков прямых, элементов кривых, участков поверхностей построение топологического образа (портрета) геометрических особенностей ФХС на основе специально разработанной системы топологических элементов и правил их коммутации между собой преобразование топологического портрета в логическую функцию (предикат), записанную с помощью уравнений опорных геометрических элементов (контуров и поверхностей) определение аналитической формы ЛАО в зависимости от требуемых функциональных свойств реализация ЛАО с целью получения в численной или аналитической форме информации о пространственно-геометрических характеристиках ФХС [21]. [c.93]

Проверка устойчивости, основанная на собственных значениях матрицы (IX, 206), выполняется непосредственно, когда Р и Р заданы в явном виде, но эти функции задаются аналитически только в исключительных случаях, поскольку для этого необходимо получить явное выражение для интеграла уравнений формы (VI, 21). Так как в общем случае неизбежно численное интегрирование, то более удобно выразить искомый якобиан в обозначениях функций /1 и /2 уравнений (VI, 27). С этой целью Рейли и Шмитц (1966 г.) определили матричную переменную [c.225]

Метод градуировки. Целью количественного анализа является определение содержания какого-либо элемента или соединения X. Поэтому необходимо точно знать функциональную зависимость между измеряемой величиной у и содержанием х (рис. Д.194). Желательно, чтобы эта зависимость не была многозначной (а). В случае двузначной зависимости, например для активной составляющей метода осциллометрии, нужно определить, в какой области должно находиться значение у для получения правильных результатов для х (б). Даже однозначная функциональная зависимость не всегда является идеальной (в), так как при наличии кривизны функции существует сильная зависимость чувствительности измерений от содержания компонента. Такая ситуация возникает, напр/ мер, при подавлении максимумов первого рода в постояннотоковой полярографии при определении содержания примесей поверхностно-активных веществ в воде. В таких случаях используют специальные приемы, например измеряют объем пробы, при добавлении которого сигнал уменьшается наполовину. Фиксируют значение у и определяют X при соответствующем разбавлении пробы. Как правило, для аналитических определений необходимо наличие однозначной линейной функциональной зависимости (г). Тогда градуировочный график можно описать уравнением у = ув+Ъх. При х =0, т. е. в отсутствие определяемого компонента, у=ув, поэтому ув называют сигналом фона. Причинами возникновения сигнала фона могут служить примеси определяемых компонентов в реактивах и растворителе, а также наложение сигналов, перекрывающих сигналы определяемых компонентов. Сигнал фона стараются в каждом конкретном случае уменьшить (при- [c.455]

Определим обьгтным образом след оператора, действующего на конечномерном пространстве ). Нетрудно проверить, что tr = 6(m, п). Следовательно, Ъ т, п) можно оценить в терминах собственных значений оператора L( ). Заметим, что каждое собственное значение оператора L( ) является собственным значением оператора определенного как оператор Е для взаимодействия ф("). Мы знаем из доказательства теоремы 5.26, что отображение Ф Е — целая аналитическая функция на пространстве, где 0 > 0. В частности, существует такое г > О, что при достаточно больших п оператор имеет только одно собственное значение, по модулю превосходящее г . Это собственное значение А( — положительное и простое при п оо оно стремится к А = ехрР . Следовательно, при достаточно больгних п [c.122]

Можно ожидать, что с ростом числа молекул в кластере резко увеличивается число его (близких по энергии, но топологически различных) конфигураций. Нет никакой возможности провести их систематический поиск квантовомеханическими методами, поэтому даже специалисты в области квантовой химии широко используют для этой цели аналитические потенциальные функции. Так, в работе [380] были проведены расчеты кластеров, содержащих до восьми молекул воды. Было найдено, что для п, равных 3, 4 и 5, оптимальными являются плоские гомо-дромные циклы. (Напомним, что, согласно распространенной [c.134]

Из сказанного выше следует, что в замкнутой системе можно определить скорость реакции по некоторому компоненту (а для реакци11, описываемых на протяжении всего процесса одним стехиометрическим уравнением, тем самым и скорость реакции в целом), если известны зависимости п (/) и У (/). В случае процесса, проходящего при постоянном объеме, достаточно знать зависимость с (/) для этого компонента. Нахождение скорости в момент времени / сводится к нахождению производной с1пии или производной с1с М в момент времени В большинстве случаев аналитический вид функции, описывающей найденную в эксперименте зависимость п (/) или с (/), заранее не известен. Поэтому для нахождения производной в момент времени t эти функции в окрестности / аппроксимируют какой-либо аналитической функцией, например степенной, с эмпирически подобранными параметрами, а затем вычисляют производную от этой функции. [c.38]

Сходство хроматографа Цвет-2000 с приборами серии Цвет-500 ограничивается аналитическими функциями и конструкцией аналитического блока. Задание параметров режима и управление хроматографом в процессе анализа осуществляются на основе совершенно других технических решений и средств. Алгоритмы процесса обработки имеют много общего, поскольку реализуют те же общепринятые в хроматографии методы градуировки и расчета концентраций, но в целом программное обеспечение хроматографа Цвет-2000 более развито, имеет существенные особенности и представляет дополнительные возможности, отсутствующие в приборах Цвет-500М . Кроме того, использован другой принцип организации общения оператора с прибором. [c.149]

Из определения по ятия скорости слелует, что в замкнутой системе скорость реакини по некоторому компоненту Хг (а для реакций, описываемых на иротяженин всего процесса одним стехио-метрическим уравнением, тем самым и скорость реакции в целом) можно определить, если известны зависимости /г,- 1) и V (/). В случае процесса, проходящего ири постоянном объеме, достаточно знать зависимость [X,] (/) для этого компонента. Определение скорости в момент времени сводится к определению производной щ/(И или производной [Х ]/й / в момент времени I. Если аналитический вид функции и,- (О или [X,] а) заранее не известен, то необходимо аппроксимировать экспериментальную зависимость в окрестности 1 какой-либо аналитической функцией, например степенной, с эмпирически подобранными параметрами, а затем вычислить производную от этой функции. [c.57]

Мы не задаемся целью провести здесь полный обзор работ, посвященных МВР при разных механизмах полимеризации как мы уже упоминали, их очень много, и одно их перечисление заняло бы очень много места. Укажем лишь, что одновременно с развитием усовершенствованных статистических методов расчета, как естественная реакция па громоздкость получающихся при этом выражений, появился ряд работ — в первую очередь здесь надо назвать Бизли [27], — авторы которых избрали путь отказа от детализированных МВР, заменив их сравнительно простыми приближенными функциями, легко проверяемыми па опыте. Бизли ввел свою функцию для описания кинетики разветвлений в полиэтиленах высокого давления ( 2, гл. 4) другую функцию предложил Тунг [28], а позже — Веслау [29] уже для циглеровских полиэтилепов. Существенное различие этих функций, однако, заключается в том, что распределение Бизли имеет очень ясный кинетический смысл, а распределения Тунга и Веслау в общем лишены его. Но зато они обладают тем практическим достоинством, что позволяют подогнать экспериментальное МВР под простые аналитические функции. Разумеется, такой подход при бесспорном экспериментальном удобстве таит в себе известную опасность, так как отнимает у экспериментатора возможность регулировать распределение (смысл параметров модельных рас- [c.21]

Довольно часто молекулярновесовое распределение в полимерах можно описать аналитическими функциями с двумя или более параметрами. В литературе описано большое число функций распределения по молекулярным весам. Одии из них были получены из рассмотрения кинетики процесса полимеризации, другие — эмпирическим путем в целях удовлетворительного описания экспериментальных кривых распределепия. Те несколько аналитических функций, которые будут использованы в дальнейшем при обсуждении обработки данных фракционирования, приводятся ниже. [c.337]

Исследование простых (одно-два) и сложных (более двух уравнений в базисе) химических равновесий в растворе осуществляется, как правило, путем эксперимептальпого изучения зависимостей одного или нескольких свойств раствора как целого в функции его аналитического состава. Конечной целью исследования обычно является определение стехиометрии химических форм в растворе и (или) оценка констант соответствующих химических равновесий базиса. Для количественного решения задачи необходимо в явном, неявном или параметрическом виде записать функциональную взаимосвязь измеряемого свойства и аналитического состава в рамках предварительных конкретных представлений о системе . Фундаментальные для данной области положения, позволяющие записать указанную связь, немногочисленны и полно передаются тремя группами уравнений 1) уравнения материального баланса (МБ) 2) уравнения связи равновесных концентраций стехиометрически связанных форм, т. е. уравнения закона действующих масс (ЗДМ) 3) уравнения связи измеряемого свойства раствора как целого и парциальных вкладов в это свойство конкретных химических форм раствора. [c.20]

Описанное локальное поведение характеризует аналитические отображения. Можно доказать, что если некоторое непрерывное отображение / локально взаимно однозначно в плоской области О всюду, кроме изолированных точек, в которых оно имеет характер целой степени, то существует непрерывное и взаимно однозначное преобразование О, которое преобразует / в аналитическую функцию. Отметим еще, что гиперболически аналитические отображения обладают в известном смысле противоположными свойствами. В самом деле, как видно из формул (15) предыдущего раздела, их якобиан 4ф (х - - у) х — у) может менять знак [c.73]

Такой интеграл можно рассчитать аналитически. В данном случае наиболее простым будет применение численного интегрирования как менее трудоемкого и обеспечивающего достаточную для технических целей точность. Выбрав шаг интегрирования Аа = 0,05, сопоставим полученные значения подынтегральной функции I/ = (3 — а) / (0,126 — 0,327а + 0,150а2) [c.320]

Целью введения Л-функций является разработка конструктивного приема приведения геометрической информации к аналитическому виду. Сложный геометрический объект представляется в виде организованной совокупности простейших (опорных) геометриче. [c.12]

Основная задача изотермической динамики адсорбции в неподвижном слое адсорбента была сформулирована академиком М. М. Дубининым [6] и заключается в предвычисленин основных функций процесса динамики адсорбции (L, t) и a(L, t) на основе знания уравнения изотермы адсорбции и основных коэффициентов уравнения кинетики. Задача определения параметров изотермы ТОЗМ и эффективных коэффициентов внутренней диффузии на основе минимального экспериментального материала решена нами в предыдущих разделах. Здесь рассмотрим математическую модель однокомпонентной изотермической динамики адсорбции в неподвижном слое зерен адсорбента для реальных сорбционных процессов. Вообще, как и при моделировании любых физических процессов, в динамике адсорбции принято использовать модели различной сложности в зависимости от поставленной цели. Цель нашей работы — получение аналитических решений системы уравнений, описывающих реальный динамический процесс в системе адсорбируемое вещество — адсорбент как в линейной, так и нелинейной области изотермы с учетом различных размывающих эффектов. Аналитические решения позволят сравнительно легко проанализировать зависимость процесса от основных физико-химических параметров, определяющих равновесные и кинетические свойства системы, а также переходные функции процесса. Математическая модель однокомпонентной динамики адсорбции в неподвижном слое зерен адсорбента включает следующие основные уравнения. [c.58]

Существенной чертой определения направления наискорейшего спуска является вычисление производных минимизируемой функции дЗ/дхи д31дх2, дЗ/охп. Для этой цели можно использовать два способа. Первый, аналитический способ состоит в том, что с помощью обычных правил дифференцирования находятся выражения для производных. Второй, чис.ценцын способ определения состоит в том, что производные подсчитываются с помощью соответствующих разностей [c.129]

В [55] проведено аналитическое сравнение эффективности градиентного метода и метода случайного поиска с постоянным одинаковым рабочим шагом для случаев, когда 3(Х) — линейная функция и 3(Х) — квадратичная функция. При этбм установлена предпочтительность метода случайного поиска при числе оптимизируемых параметров больше трех и расстоянии X исходной точки от цели, превышающем пятикратное значение [c.135]

Для аналитических целей реакцию изомеризации следует проводить таким образом, чтобы окончание ее совпало с моментом максимального накопления первичного продукта реакции. Этот максимум удобно определять как функцию степени превращения исходного углеводорода. Обычно-этот максимум соответствует 90—95%-НОЙ степени превращения исходного углеводорода, что и является оптимальной величиной при селективной изомерп-зации. Однако в случае исследования смесей сложных углеводородов, особеино нефтяного происхождения, определенпе их степени превращения не всегда является возможным. Для того чтобы точно контролировать действительную степень изомеризации исследуемых углеводородов, к ним добавляют углеводороды, являющиеся кинетическими реперами, определяющими степень воздействия катализатора на исследуемые углеводороды. Такими реперами служат уже известные соединения — зтилциклопентан или этилциклогексан, анализ степени превращения которых в условиях опыта не представляет особых затруднений. Определяя степень превращения репера, нетрудно затем рассчитать и степень превращения исследуемых углеводородов, для чего, очевидно, необходимо знание их относительной константы скорости реакции. Ранее (см. главу 4, табл. 51) было показано, что для серии реакций типа [c.318]

Мы монгем получить спектр масс вещества, являющийся функцией структуры молекулы. Таким образом, спектр масс веществ можно использовать., в аналитических целях. [c.857]

Коэффициент вязкости в уравнении сохранен потому, что попже будет рассмотрен метод приближенного описания течения аномально-вязкой жидкости. Если известна функция Н (х), то приведсннос bhuj Дифференциальное уравнение можно разрешить аналитическим или численным методом относительно Р (х), не прибегая к МКЭ. Однако целью данного раздела является демонстрация метода МКЭ. Поэтому, следуя Мееру 1261, покажем шаг за шагом, как находится решение. [c.598]

Как указано выше, уравнение Фрейндлиха является эмпирическим уравнением. Кроме того, это уравнение, представляющее собою уравнение параболы, не может объяснить почти прямолинейного нарастания адсорбции, не зависящего от концентрации. Очевидно, почти прямолиней 1ЫЙ участок изотермы, отвечающий малым давлениям или концентрациям, может быть получен с помощью уравнения Фрейндлиха только в том случае, если 1/ге = 1. Точно так же горизонтальный прямолинейный участок изотермы, отвечающий высоким давлениям или концентрациям, может быть получен только при 1/га = 0. Таким образом, показатель 1 /п по существу должен являться сам функцией р или с. Поскольку 1/га принимается постоянным и лежащим в пределах 0,2—1 для адсорбции из газовой среды и 0,1—0,5 для адсорбции из растворов, уравнение Фрейндлиха пригодно только для интервала средних давлений или концентраций. Аналитически адсорбционные изотермы в целом гораздо лучше описываются известным уравнением Ленгмюра, которое подробно рассматривается далее. [c.85]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология