Бифуркации удвоения периода

В этом параграфе речь пойдет о переходе к хаотическому движению по сценарию, называемому субгармоническим каскадом и представляющему собой последовательность бифуркаций удвоения периода. Мы уже упоминали бифуркацию этого типа, разбирая возможные типы потери устойчивости траектории при анализе матрицы Флоке. Качественно перестройку фазовой траектории, соответствующую бифуркации удвоения периода, иллюстрирует рисунок 2.24. Предельный цикл после бифуркации замыкается только на втором витке, удваивая тем самым период движения системы в фазовом пространстве. [c.74]

Построено двумерное отображение для периодически возмущенного осциллятора, представленного линейной периодической передаточной функцией с отрицательным угловым коэффициентом. Итерирование отображения при малой интенсивности возмущения и изменения частоты обнаруживают регулярную структуру окон с малым целочисленным периодом колебаний. В больщинстве окон существуют две различные моды колебаний, иногда с разными периодами. При увеличении интенсивности возмущения все окна фрагментируются в результате бифуркаций удвоения периода, вне окон существует странный аттрактор. [c.415]

При малых значениях параметра [г система (4.5.9) содержит устойчивый предельный цикл (рис. 4.5, а). При достижении некоторого критического значения ii предельный цикл превращается в сложенную вдвое восьмерку (рис. 4.5, б). При этом происходит удвоение периода предельного цикла — фазовая траектория теперь замыкается, совершив два оборота. При последующем увеличении параметра л наблюдается быстрая смена дальнейших удвоений, в результате которых фазовая траектория начинает замыкаться лишь после четырех, восьми, шестнадцати и большего числа оборотов. Значения параметра х = [iyi, при которых происходят очередные бифуркации удвоения, образуют последовательность, сходящуюся к конечному пределу [c.139]

Простые детерминированные системы не только оказались способными (вопреки наивным ожиданиям) генерировать внутренний шум. Было показано также, что возможны и другие маршруты, ведущие к хаосу не только через последовательность бифуркаций Хопфа ). Были описаны по крайней мере два главных альтернативных сценария переход к турбулентности через перемежаемость [1.22] и через удвоение периода [1.23—28] (более поздние обзоры на эту тему см. в работах [1.29, 30]). Следует также отметить, что, когда управляющий параметр диссипативной системы изменяется непрерывно и систематически, хаос не обязательно является предельным типом поведения, возникающим после того, как будут исчерпаны более когерентные режимы на бифуркационных диаграммах. Например, в модели Лоренца, служащей приближенным описанием неустойчивости Бенара [1.31], хаотические области чередуются с регу- [c.17]

Эта модель интересна тем, что она имеет различные периодические решения и в ней возможен стохастический режим, причем зарождение динамического хаоса происходит через каскад бифуркации удвоения периода предельных циклов (по сценарию Фейгенбаума) [4]. [c.143]

Так 1га примере кристаллизации МРВ - двухосновного фосфита свинца исследовали поведение системы в зависимости от скорости протока (от 0.018 до 36 л/час). С увеличением скорости протока реагентов у,) наблюдаются такие качественные картины изменения концентрации Г ГРВ (период колебаний которых представлен в таблице 1) ка1с переход от стационарного состояния через бифуркации удвоения периода к хаотическому (рис.1) и дaJгee через окна перемежаемости, вновь к хаотическому поведению, затем при скорости прилива выше 18 л/час к вынужденному управляемому поведению системы с периодом 2Д1. [c.165]

Увеличение интенсивности возмущения при постоянной частоте возмущения обычно приводит к фрагментации всех типов окон в результате бифуркаций удвоения периода. На рис. 2 показана судьба окна около Г = 2 и на рис. 3 — около Г = 3 и 3,5. Единственная бифуркация (см. рис. 2, б) приводит к периоду 4 с каждым вторым подпериодом идентичной длины. Это также является примером сосуществования осцилляций с различной кратное- [c.419]

При бифуркации удвоения период автоколебаний возрастаёт вдвое, а частота становится вдвое меньше. В. результате в спектре автокорреляционной функции появляются дополнительные линии на частотах, кратных соо/2. После бесконечного числа бифуркаций удвоения для 1 > р-оо спектр автокорреляционной функций оказывается сплошным. [c.140]

Во втором случае, собственное значение также действительно, но пересекает окружность в точке -1. Момент перехода соответствует ситуации, когда траектория через раз снова попадает в прежнюю точку. Это так называемая бифуркация удвоения периода (субгармоническая бифуркация). Она может быть нормальной и обратной. При нормальной субгармонической бифуркации решение заменяется новым устойчивым периодическим решением с удвоенным периодом (см. параграф 1.7), при обратной бифуркации возникает временная перемежаемость, когда долгие интервалы почти периодического движения сменяются хаотическими осциляциями. [c.54]

Прежде всего, странный аттрактор может возникнуть в случае бифуркации типа сборки, при этом перемешивание траекторий осуществляется за счет срывов изображающей точки с краев сборки. Другой путь возникновения странного аттрактора — это следующие друг за другом бифуркации удвоения периода колебаний влеав-тономной автоколебательной системе. Последовательность бифуркационных значений некоторого параметра сходится лри этом [c.24]

Следует отметить, что все перечисленные выше бифуркации могут быть реализованы в системах второго порядка. Имеется много примеров динамических систем на плоскости, в которых не только отдельные бифуркации, но и весь набор фазовых и периодических портретов весьма близок к рассмотренному нами. Трехмерность фазового пространства рассматриваемой системы позволяет ожидать и чисто трехмерных бифуркаций, например, удвоение периода колебаний, приводящее при накоплении удвоений к развитию квазистохастичности. Однако проведенное исследование подобных бифуркаций не обнаружило. [c.262]

Расчеты показали, что при увеличении градиента давления стационарные режимы течения могут потерять устойчивость, и в системе возникают периодические автоколебания. Модель (7.24) допускает и детерминированные хаотические колебания, установление которых происходит по универсальному сценарию М. Фейгенбаума, через каскад бифуркаций последовательного удвоения периода. При дальнейшем увеличении градиента давления движение вначале упорядочивается, а затем вновь хаотизи-руется. [c.239]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология