Хопфа бифуркация,

Следующий метод возмущения (ср. с [10]) представляется особенно простым возьмем двухпеременный осциллятор с предельным циклом и превратим один из его параметров бифуркации Хопфа в медленную переменную, делая его зависимым от одной из двух переменных (т. е. амплитуды) осциллятора. В таком случае, если возникающий предельный цикл обладает свойством быстрого увеличения амплитуды и, кроме того, асимметричен (как в случае, например, релаксационных генераторов), весьма вероятно, что мы найдем притягивающий хаотический оежим. [c.408]

РИС. 1. Поведение траектории в системе, описываемой уравнением (I). а — переменная С рассматривается как параметр 6 — переменная С является медленной переменной в — прототипный поток (см. текст). Стрелка - означат уровень, на котором происходит бифуркация Хопфа. [c.409]

Здесь подсистема Л, В — осциллятор Тьюринга [13]. Она была усилена при помощи медленной переменной аналогично предыдущему случаю. Отметим, что та же самая схема [уравнение (3)] могла быть почти эквивалентным образом интерпретирована как вариант осциллятора [уравнение (1)] с С, Л, занимающими положения Л, В, тогда как роль возмущающего (вызывающего бифуркацию Хопфа) переменного параметра С в уравнении (1) теперь играет боковая переменная В (которая в данном случае будет катализатором). [c.410]

Третий тип перехода возникает при комплексных собственных значениях. В этом случае пара комплексно-сопряженных значений одновременно пересекает единичную окружность. Этот переход отвечает бифуркации Хопфа (возникает блуждание траектории вокруг устойчивой прежде точки). Если бифуркация нормальная, то предельный цикл переходит в тор, если обратная, то вновь возникает перемежаемость. [c.54]

Бифуркации, которые следуют друг за другом по мере увеличения управляющего параметра, могут быть разных типов. В частности, конвективные течения, которые обычно демонстрируют одну или две надкритические бифуркации типа вилки, на некотором этапе, после прохождения точки бифуркации Ландау—Хопфа, становятся нестационарными. [c.28]

Простые детерминированные системы не только оказались способными (вопреки наивным ожиданиям) генерировать внутренний шум. Было показано также, что возможны и другие маршруты, ведущие к хаосу не только через последовательность бифуркаций Хопфа ). Были описаны по крайней мере два главных альтернативных сценария переход к турбулентности через перемежаемость [1.22] и через удвоение периода [1.23—28] (более поздние обзоры на эту тему см. в работах [1.29, 30]). Следует также отметить, что, когда управляющий параметр диссипативной системы изменяется непрерывно и систематически, хаос не обязательно является предельным типом поведения, возникающим после того, как будут исчерпаны более когерентные режимы на бифуркационных диаграммах. Например, в модели Лоренца, служащей приближенным описанием неустойчивости Бенара [1.31], хаотические области чередуются с регу- [c.17]

Бифуркацию рождения предельного цикла из сложного фокуса в отечественной литературе принято называть бифуркацией Андронова — Хопфа.— Прим. ред. [c.17]

Бифуркацией Хопфа называется процесс рождения предельного цикла из точки. Поведение системы вблизи точки бифуркации иллюстрирует рисунок 2.8. На рисунке схематически изображены фазовые траектории при трех значениях управляющего параметра г г < г = г >. [c.51]

Теперь вернемся к вопросу о том, каким должен быть аттрактор хаотического движения. Мы уже упоминали выше, что первый сценарий перехода к Хаосу был предложен Ландау и представлял собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа. Такому движению соответствует аттрактор в виде тора Г . Но уже система с тремя степенями свободы дает сплошной спектр Фурье, что является признаком хаотического движения. [c.63]

Первое решение соответствует колмогоровскому спектру и присутствует в системе при любом значении параметра. Численные исследования системы уравнений (7.22) показали, что при г <г =0.384 колмогоровское решение является устойчивым фокусом системы. При г =г имеет место бифуркация Хопфа, а при г=е =0.395 происходит новая бифуркация, после которой в системе возникает хаос. [c.118]

При анализе поведения решений эволюционных задач при ас важным является вопрос о периодических колебаниях, стабилизации решений к стационарным и об устойчивости этих стационарных решений. Эффективным при доказательстве существования периодических по времени решений эволюционных уравнений является метод бифуркации рождения цикла (БРЦ), предложенный Андроновьпи и Хопфом для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и обоснованный для некоторых параболических систем уравнений [2]). Результаты работ [3,5] позюляют обосновать метод БРЦ и для некоторых гиперболических задач [6,7]. [c.16]

Здесь подсистема А, В (при постоянном — катализаторе, как в системе Михаэлиса—Ментен) является двухпеременным осциллятором с предельным циклом. Это сокращенная версия (гипотеза псев-достационарного состояния) простейшего (трехпеременного) осциллятора типа действующих масс [11]. Переменная С, являющаяся постоянным экзогенным параметром, действует как параметр, вызывающий бифуркацию Хопфа когда величина С велика, система А, В порождает релаксационное колебание треугольной формы с большой амплитудой когда величина С мала, получается только притягивающее стационарное состояние (см. рис. 1, а). [c.409]

Можно считать, что фазовое пространство гидродинамической системы, хотя и имеет большую размерность, все же конечномерно, поскольку нелинейное развитие мелкомасштабных мод, обусловленных бифуркациями высокого порядка, эффективно подавляется диссипативными механизмами вязкости и теплопроводности [81]. Согласно современным воззрениям, бесконечный каскад бифуркаций, предложенный Ландау и Хопфом и уточненный Фейгенбаумом [87], не является необходимым условием хаотизации движения. Уже несколько первых бифуркаций порождают достаточное количество неустойчивых мод, чтобы сделать совокупное движение детально непредсказуемым (сценарий Рюэля и Таккенса [87]). При этом главной причиной стохастизации является чрезвычайно высокая чувствительность системы к начальным условиям две бесконечно близкие в какой-либо момент фазовые траектории могут в дальнейшем разойтись очень далеко. Вместе с тем для слабо диссипативных динамических систем в их фазовых пространствах существует множество неустойчивых траекторий, которые и принято называть стохастическим или странным аттрактором . Топологические типы странных аттракторов могут быть различными, но геометрическим образом этого множества в фазовом пространстве трех измерений может служить многослойная незамкнутая намотка на трехмерном торе [13, 81, 82]. [c.178]

Отметим два важных свойства бифуркации Хопфа. Во-первых, вблизи точки бифуркации период колебаний не зависит от величины надкри-тичности 8-8 -. Во-вторых, амплитуда колебаний (амплитуда предельного цикла) зависит от надкритичности по корневому закону, то есть пропорциональна величине д/1г I. [c.51]

Именно с бифуркацией Хопфа связан первый предложенный сценарий перехода от ламинарного течения к турбулентности (Ландау, 1944г.). Согласно сценарию Ландау переход к турбулентности представляет собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа, каждая из которых приводит к появлению новой частоты. В такой схеме аттрактор представляет собой п-мерный тор с п, стремящимся к бесконечности, и хаос рождается в системе с очень большим числом степеней свободы. [c.51]

Точно также нормальной (суперкритической) называется бифуркация Хопфа, если предельный цикл рождается с нулевой амплитудой и в точке бифур- [c.51]

Необходим аттрактор, который объясняет хаотическое поведение системы в фазовом пространстве низкой размерности (для определенности будем иметь в виду трехмерное фазовое пространство, так как известно, что в трехмерных нелинейных системах возможно существование хаотических режимов). Соответствующий аттрактор был предложен Рюэлем и Таккенсом в 1971г. и назван странным аттрактором. Эти же авторы предложили и сценарий перехода к турбулентности, состоящий в том, что в системе после двух бифуркаций Хопфа (приводящих к появлению в спектре двух независимых частот) происходит третья бифуркация, приводящая к возникновению странного аттрактора (и появлению заполненного спектра). [c.64]

При а =10, Ь = 8/3 ЭТО выражение дает значение г = 24,74. В этой точке имеет место субкритическая бифуркация Хопфа. Особенность поведения системы Лоренца в том, что устойчивый предельный цикл не возникает в ней вовсе (напомним, что согласно сцерарию Рюэля-Таккенса, странный аттрактор возникает после двух бифуркаций Хопфа) и странный аттрактор возникает сразу после первой (обратной) бифуркации Хопфа. Бифурка- -зо ционная диаграмма представлена на рисунке 2.32. Следует отметить. [c.81]

Таким образом, при постепенном увеличении от отрицательных значений к положительным в точке Л = 0 происходит бифуркация устойчивая точка равновесия переходит в устойчивый предельный цикл. Эта бифуркация называется бифуркацией Хопфа (Е. Hopf, 1942 г.). Соответствующая бифуркационная диаграмма приведена на рис. 1.8. [c.31]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология