Аттракторы странные

Рис. 4.5. Переход от предельных циклов к странному аттрактору в модели (4.5.8) по [24] при Р = 0,1

Странный аттрактор модели [c.137]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЯХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ [c.415]

Построено двумерное отображение для периодически возмущенного осциллятора, представленного линейной периодической передаточной функцией с отрицательным угловым коэффициентом. Итерирование отображения при малой интенсивности возмущения и изменения частоты обнаруживают регулярную структуру окон с малым целочисленным периодом колебаний. В больщинстве окон существуют две различные моды колебаний, иногда с разными периодами. При увеличении интенсивности возмущения все окна фрагментируются в результате бифуркаций удвоения периода, вне окон существует странный аттрактор. [c.415]

С учетом новых физических представлений о неустойчивости процесса испарения воды с поверхности суши удалось построить простую нелинейную динамическую модель климата, состоящую из 14 уравнений первого порядка, имеющую странный аттрактор [Найденов, Кожевникова, 2002]. Некоторые необычные природные явления можно объяснить именно тепловой неустойчивостью испарения в открытых физических системах [Мучник, 1985]. [c.42]

Поставим вопрос о существовании странного аттрактора для системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.2.1) [c.136]

Рассмотрим простейший вариант системы (4.2.1) и покажем существование у нее странного аттрактора. [c.137]

Иначе обстоит дело, если число переменных, характеризующих состояние динамической системы, больше или равно трем. Помимо устойчивых стационарных точек и предельных циклов, эта система может обладать также странными аттракторами, которые устроены весьма необычным образом. Они представляют собой бесконечную притягивающую линию, уложенную в конечном объеме фазового пространства. [c.139]

Странные аттракторы могут возникать из предельного цикла в результате бифуркаций удвоения. Чтобы проиллюстрировать эту возможность, мы воспользуемся примером, приведенным в работе [24], где рассмотрена динамическая система вида [c.139]

Другой интересный класс явлений связан с понятием странный аттрактор . Аттрактором называется область фазового пространства, в которую стремятся со временем все траектории (из некоторой конечной или бесконечной области притяжения данного аттрактора). Странный аттрактор отличается от простых аттракторов (устойчивых особых точек и предельных циклов) тем, что все его траектории неустойчивы и с течением времени перемешиваются, оставаясь в пределах области аттрактора. Отметим, что простых аттракторов в этой области не существует. Динамическое поведение системы, обладающей странным аттрактором, представляется непредсказуемым, ква-зистохастическим (см. [6—81). [c.13]

У —[Ь (г — 1)] /, 2 -V г — 1 при i оо начинается конвективное движение жидкости, возникают стационарные ячейки Бенара (рис. 7.16, б). Наконец, при а>Ь-1-1иг>а(а + + > 4- 3)/(о -Ь 1 — Ь) решение не выходит ни на стационарный, ни на периодический режим. Такое решение показано на рис. 7.16, Ь. Таким образом, система из трех уравнений (7.20) описывает стохастические процессы без введения каких-либо флюктуирующих сил. Решение, показанное на рис. 7.16, Ь называют странным аттрактором. Аттракторы — это множество значений, на которые система выходит при оо. Поскольку до модели Лоренца аттракторы обычно представляли как множество изолированных особых точек или замкнутых кривых на фазовой плоскос- [c.321]

РАЗРАБОТ1СА ПРИНЦИПОВ СОЗДАНИЯ ЭНЕРГОРЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА, МЕТОДОВ СИНЕРГЕТИКИ, НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ, ГИБКОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ (Колебания в режиме странного аттрактора в реакторе с рециклом в процессе получения экстракционной фосфорной кислоты) [c.37]

При расчете процесса разложения апатита по второй технологической схеме с рециклом получили, что фазовые траектории лежа на странном аттракторе. На рис. 2 приведены фазовая траектория решения системы уравнений математической модели процесса получения ЭФК в десятисекционном экстракторе. Глобальный фазовый портрет второй технологической схемы напоминает странный аттрактор Лоренца. Видно, что фазовая траектория имеет два неустойчивых предельных цикла. Фазовые траектории, начинающиеся справа, накручиваются на правый предельный цикл, затем через некоторое время, осуществляя автоколебания, сдвигаются влево и накручиваются на левый предельный цикл. Через некоторое время начинается сдвиг вправо, и траектория вновь накручивается на правый предельный цикл и т. д. Наличие рецикла приводит к наложению на собственные автоколебания системы за счет обратной связи между механизмами разложения апатита и кристаллизации дигидрита сульфата кальция еще и колебаний, связанных с наличием цикла в экстракторе. Механизм колебаний за счет обратной связи по кинетике процесса был описан выше. Когда система, пройдя левый предельный циют, стремиться выйти на устойчивое положение - отрицательный режим по SO3, рецикл дает повышение концентрации SO3, что заставляет систему двигаться вправо, накручиваясь на правый предельный цикл. Затем система, проходя через правый предельный цикл, за счет образования пленки стремится ко второму устойчивому состоянию - повышению концентрации SO3 и понижению концентрации СаО, но рецикл приводит к понижению концентрации SO3, и фазовая траектория сдвигается влево. Было рассчитано, что странный аттрактор наблюдается при времени цикла в интервале 30-60 мин. При этом увеличение рецикла (время цикла менее 30 мин) приводит к уменьшению расстояния между предельными циклами, а уменьшение рецикла (время цикла более 60 мин) приводит к увеличению этого расстояния. Увеличение рецикла [c.44]

Природа динамики, существующей в полосе, разделяющей два каскада бифуркаций (рис. 2, в), была изучена путем построения графика зависимости от sin (2irFi ) для фиксированных значений параметров. Результирующий график, показанный на рис. 4, имеет характеристики странных аттракторов , таких, как аттракторы двумерного отображения Хенона [14] и дифференциального уравнения Дуффинга (см. [15]). [c.420]

Понятие странного ( хаотического ) аттрактора (введенное Рюэлем и Таксисом) и вопрос о классификации странных аттракторов при использовании показателей Ляпунова рассмотрены в [16 ]. — Прим. перев. [c.420]

Другая точка зрения на моделирование перемежаемости может Ьыть основана на понятии о странных аттракторах. Проблеме странных аттракторов посвящен специальный сборник переводов Странные аттракторы под редакцией Синая и Шильникова [1981], а также обзоры Рабиновича [1978] и Монина [1978]. [c.29]

Основной результат, достигнутый в этой области, можно сформулировать следующим образом. Решения детерминированных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с числом уравнений, равным или большим трех, часто оказываются плохо прогнозируемыми (и стохастическими с точки зрения экспериментатора) даже в том случае, когда решение существует и единственно и, следовательно, в лом решении не возникает никаких особенностей. Такая структура решений обусловлена тем, что каждая фазовая траектория неустойчива (т.е. с течением времени расстояние между двумя первоначально бли чими фазовыми траекториями экспоненциально растет). Множество фазовых траекторий (странный аттрактор) компактно в том смысле, что все его точки не выходят за пределы некоторого конечного фазового объема. Для неконсервативных систем фазовый объем (точнее, лебегова мера) равен нулю, подобно тому, как равен нулю объем турбулентной жидкости при Re OO. Распределение фазовых точек также напоминает распределение точек, принадлежащих турбулентной жидкости, в физическом пространстве. Связь между странными аттракторами и фракталями прослеживается вполне отчетливо (Мандельброт [1976 ). [c.29]

Определение хаоса . Хаотические процессы широко распро-страпены в различных областях физики, химии, биологии турбулентное течение, газовый разряд в лазере, реакция Белоусова — Жаботинского и т. д. С появлепием быстродействуюш,их ЭВМ исследователи получили эффективный инструмент для математического моделирования таких процессов. Интерес к проблеме хаоса особенно возрос после опубликования работ Лоренца [1] и Фей-генбаума [2] по странным аттракторам дифференциальных уравнений и дискретных отображений. [c.173]

Приведем здесь определение странного аттрактора, которое понадобится нам в дальнейшем. Любой аттрактор (в том числе и странный, хаотический) есть притягивающее мноял ество предельных точек. Рассмотрим дискретное отображение [c.174]

На рис. 2 показана зависимость показателя Ляпунова Ь от Я. Отрицательные значения Е(Х) соответствуют периодическому, положительные — странному аттрактору. Нулевые значения (Л) свидетельствуют о точках бифуркации одних периодических решений в другие. В более сложных моделях нулевые значения максимального показателя Ляпунова указывают на наличие в системе аттрактора типа тор (квазинериодический аттрактор). [c.176]

Так как при расчете хаотических решени1г у нас нет сходимости машинного решения к теоретическому X , мы не мажем быть уверены в сходимости погрешности бХд к ЬХ", а следовательно, п к Ь Все остальные известные определения хаоса и странного аттрактора [2, 4] эквивалентны их определению через показателн Ляпунова и поэтому также не могут быть использованы для идентифицирования тина решения исходной математической модели (1) по полученному машинному решению. [c.178]

Исследованию осциллятора Дюффинга посвящена монография [Мун, 1990] область со = 0,8, о = 0,15, 0,1 / 0,3 представляет интерес для исследования. В этой области наблюдаются переход от периодического режима к хаотическому, периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при/= 0,3. Нетривиальную (хаотическую) реакцию решений уравнения Дюффинга на внешнее гармоническое возбуждение иллюстрирует рис. 4.2,<г. Размерность возникающего странного аттрактора сильно зависит от параметра 6 и изменяется в пределах от 2,1 до 2,8. Например, при/= 0,16, со = = 0,8333, 6 = 0,15 корреляционная размерность аттрактора равна 2,14. Границы области притяжения устойчивых стационарных точек уравнения Дюффинга ( 1) также являются фрактальными. [c.138]

Революционное воздействие новых идей этих наук (неустойчивость и множественность режимов, самоорганизация в пространстве и времени, детерминированный хаос, автоколебания и автоволны, странные аттракторы, фракталы) на широкие области естествознания привели к тому, что в науке о Земле стало осознаваться, что столь сложная и неоднородная система, как наша планета, развивается по нелинейным законам. Это в полной мере относится и к ее гидросферной оболочке, так как физические процессы, происходяш ие в природных водах, суш ест-венно нелинейны. Именно нелинейными механизмами формирования водного баланса самого моря и громадного (3,5 млн кв. км) его бассейна постараемся объяснить резкие и неожиданные изменения уровня моря. [c.264]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология