Периодические решения

Не существует периодических решений уравнений химической кинетики [24]. [c.118]

Прп некоторых значениях параметров в системе (8) и при достаточно малом е в системе (7) возникают автоколебания. Динамическая спстема (8) имеет довольно сложный фазовый портрет, может иметь до пяти стационарных точек, допускает существование устойчивых и неустойчивых периодических решений. Для определения констант предложен следующий метод. Прп некоторых значениях параметров стационарное решение теряет устойчивость, и из него зарождается устойчивое периодическое решение. При дальнейшем изменении парциального давления это решение опять переходит в устойчивую стационарную точку. Таким образом, можно выписать четыре уравнения для определения стационарных точек, два условия на линеаризованную задачу, характеризующие зарождение и исчезновение колебаний, четыре уравнения для скоростей реакции (измеряемых в эксперименте) и их производных, два уравнения для периодов зарождающихся колебаний. Как показывают расчеты, эти уравнения позволяют определить все константы, входящие в уравнения. При [c.88]

Сходство уравнения Шредингера с обычным волновым уравнением неполное. В уравнении Шредингера имеется мнимое число, и это обстоятельство отражает не только чисто математическую сторону уравнения. Оно указывает на то, что уравнение Шредингера может иметь периодические решения, хотя (3.28) и содержит первую производную по времени (тогда как обычное волновое уравнение содержит вторую производную). Наличие первой производной по времени указывает на сходство уравнения Шредингера с уравнениями физики, описывающими процессы, идущие с рассеянием величин, например с уравнением теплопроводности. [c.44]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

Периодическое решение этого дифференциального уравнения второго порядка получается двойным интегрированием [c.83]

Система уравнений (6.49) и (6.50) позволяет найти в и вд Если эти уравнения не имеют положительных вещественных решений для и Ад, то колебания в исследуемой системе отсутствуют. Если колебания с параметрами Шд и являются устойчивыми, то в системе устанавливаются автоколебания. В прикладных задачах устойчивость колебаний может быть проверена по физической картине процессов, протекающих в системе, или могут быть использованы методы исследования устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений (11. [c.200]

В настоящей работе основное внимание уделяется колебаниям в химических реакциях и колебательным (периодическим) решениям соответствующих моделей. Коротко рассматриваются некоторые сведения по теории колебаний, однако только как справочный материал без детального обсуждения. Обсуждается только современное состояние науки в данной области, и поэтому многие публикации, на первый взгляд казалось бы имеющие отношение к делу, но по существу не удовлетворяющие целям настоящей работы, не рассматриваются в данной [c.9]

В двумерном пространстве, в плоскости, наиболее поразительное решение — это замкнутая кривая, названная Пуанкаре предельным циклом. Предельный цикл ограничен и замкнут и представляет собой периодическое решение рассматриваемых в настоящей книге динамических систем. [c.69]

Системы п-мерные (п>3). Уже для трехмерной системы становится очевидным, что однозначные предельные циклы уступают место множественным периодическим решениям. При высоких размерностях могут встречаться и более запутанные решения. В частности, такими решениями могут быть гиперповерхности с различными характеристиками. [c.71]

Для случая динамических систем, приводящих к различным формам решений (например, устойчивым точкам наряду с периодическими решениями), важно в дополнение к переменным и их поведению рассмотреть такие понятия, как параметры. Параметрами можно назвать и переменные , однако по существу роль параметров отличается от роли переменных. Можно считать параметрами коэффициенты величин, входящих в динамическое уравнение, или степень переменной или константы, включенных в уравнения. Параметры при их изменении могут влиять на решения системы, так что в некотором интервале значений параметров поведение системы различно, однако такое влияние параметров на поведение системы не является обязательным. [c.73]

Наиболее обычным параметром реагирующей химической системы служит скорость реакции. Можно провести исследование описанных в литературе моделей, изучая их параметры. В частности, проводя бифуркационный анализ модели реакции, мы рассматриваем изменения параметров и на основе этих изменений можем предсказать появление или исчезновение периодических решений. [c.73]

Дополнительная важная информация о локализации рассмотренного решения проистекает из так называемого негативного критерия Бендиксона (см. [122], гл. 3). Эта теорема утверждает, что любое периодическое решение должно пересекать кривую [c.219]

Если точка неустойчивости еще не достигнута, то стационарное состояние устойчиво и частоты нормальных мод комплексны (этот случай схематически изображен на рис. 9.2). По общепринятой терминологии, мы имеем дело с устойчивым фокусом . Выше предельной точки стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. В этом случае система из любого состояния приближается со временем к такому периодическому решению, характеристики которого — период и амплитуда — определяются однозначно самим нелинейным дифференциальным уравнением ). [c.220]

В этой книге мы будем иметь дело в основном с последним слу-чаем и лишь эпизодически с решением дифференциальных уравнений Периодические решения физических задач рассматриваться не будут В качестве примера приближения непериодической функции рассмотрим детерминированную функцию s t) времени t, которую будем называть сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций. Детерминированный сигнал является функцией, которая [c.33]

Когда кривая, изображающая решение на фа.зовой плоскости, замкнута, она представляет периодическое решение или, скорее, семейство периодических решений с различными фазами. Такая замкнутая кривая решения является предельным циклом, если все другие кривые решения (по крайней мере внутри некоторой притягивающей области) стремятся к ней. Это означает, что все решения дифференциальных уравнений (внутри этой области) в конце концов становятся периодическими, причем период и амплитуда, определяемые уравнением, у них одинаковы, в то время как фаза зависит от начальных условий частного решения. Другими словами, предельный цикл представляет собой асимптотически устойчивую орбиту в фазовом пространстве, соответствующие ему периодические решения называют орбитально устойчивыми. Они не являются асимптотически устойчивыми в обычном смысле, поскольку разность фаз между ними никогда не исчезает. [c.304]

Эти свойства макроскопических уравнений влияют на флуктуации относительно периодических решений. Такое влияние можно вычислить более подробно , дело затрудняет лишь отсутствие явных решений (11.8.3). Здесь мы просто наметим качественное описание. [c.306]

Черн а ков, П. В., О периодических решениях уравнения теплопроводности, Известия высш. учебных заведений, Математика, [c.666]

Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768—1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики Особенно важны они для трех приложений а) для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, возбужденных щипком, или для передачи электромагнитных волн по волноводам или кабелям, б) как операционный способ решения дифференциальных уравнений, например, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно перевести с помощью преобразования Фурье в алгебраические уравнения, в) для приближения непериодических функций. [c.33]

Хотя уравнение (15,1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (15,1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (15,1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции ij3(i) в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике. [c.66]

Периодическое решение данного уравнения с периодом 2я/р, определяется как у (t) = Fi sin (pt + ф]) F sin Zpt + фГ), где Fu ф1, Ft, фГ — постоянные. Для их определения подставим искомое периодическое решение в уравнение (4.43). Проведя преобразования интегральных слагаемых и приравняв коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях одинакового аргумента, получим следующую систему уравнений относительно F, ф1, F , ф1 [c.151]

Анализ показывает, что сосредоточенная система (7.9), отвечающая механизму (М), имеет в широком интервале температур Т и давлений р , р три стационарных состояния < х < (два устойчивых — х 2 , х и одно неустойчивое — х ) [83]. При этом наряду с однородными х , xf , xf существуют и периодические решения, которые и представляют собой диссипативные структуры. Для рассматриваемой задачи существует предельный случай, когда периодическое решение вырождается в одиночную волну. Это решение соответствует тому, что на поверхности катализатора реализуется одно из устойчивых однородных стационарных состояний, а в некоторой конечной области состояние приближается к другому устойчивому однородному стационарному состоянию (не достигая его). Эта неоднородность и может быть интерпретирована как макрокластер на новерхности катализатора, нанример пятно СО на Og либо, наоборот, пятно 0 на СО. [c.308]

Доказательство. Если и х, t) — положительное периодическое решение с периодом Т>0, то hit) = hit + Т), что противоречит условию dhXt)Jdt < О на решениях, отличных от стационарных. [c.111]

Шобухов A.B. Существование и единственность бифуркационного периодического решения в системах типа "реакция-диффузия" И Математическое моделирование. 1991.-Т.З.- N 3,- С. 70-84. [c.17]

Эта модель интересна тем, что она имеет различные периодические решения и в ней возможен стохастический режим, причем зарождение динамического хаоса происходит через каскад бифуркации удвоения периода предельных циклов (по сценарию Фейгенбаума) [4]. [c.143]

Анализ такой модифицированной модели Гарела-Росслера вычислительны.ми. методами показал сдвиг бифуркационных значений управляющих пара.метров с изменением топологии периодических предельных циклов. Так, существующий в невозмущенной системе при а=0, Ь=3,5 с=1,0 однократный предельный цикл в новой модели деформируется в зашумленное периодическое решение, близкое к [c.143]

Коэффициенты чувствительности для параметров, таких, как константы скорости, качественно подобны коэффициентам, показанным на рис. 26 для обоих осцилляторов, т. е. функциям незатухающих колебаний в зависимости от времени. Исходное решение для осциллятора Лотки — Вольтерра взято равным периодическому решению, справедливому для ку = к2 = = 1,0ик = к = 0,0. Если к и к отличны от нуля, то колебания будут затухать или полностью прекратятся. Следовательно, эта исходная точка является точкой бифуркации в двух направлениях к мк ъ пространстве параметров. Следует ожидать, что коэффициенты чувствительности дС /дк , дС/дк будут качественно отличаться от коэффициентов чувствительности для параметров к — к , но фактически такие качественные различия не наблюдаются. Однако при использовании для выделения чувствительностей периода дт/дк и дт/дк метода, описанного в предыдущем разделе, возникали трудности, связанные с численными расчетами, которые не встречалисвт1ри расчетах дт/дку, дг/дк и дт/дк . В действительности с помощью этого метода невозможно найти величины дт/дк и дт/дк . Эти величины, по сути, не являются хорошо определенными для этой задачи, поскольку вариации величин к и к вдали от исходной нулевой точки приводят к тому, что периодическая фунышя становится неустойчивой. [c.429]

Решения математической модели. Периодическим решением с несколькими максимумами, как показали авторы, является складчатый (folded) предельный цикл (рис. 26). [c.46]

В 1968 г. Лефевром [66] была предложена гипотетическая модель, основанная на бимолекулярной реакции. Эта модель для некоторых значений параметров имеет периодическое решение, представляющее собой предельный цикл. [c.51]

В табл. 4 суммированы все рассмотренные здесь реакции, включая их модели и периодические решения моделей. Для каждой реакции, указанной в левой колонке, приведена литература, которая стимулировала научный поиск колебаний в реакции (вторая колонка), и литература, в которой приведена математическая модель для этой реакции (трет1>я колонка). Класс колебаний указан в четвертой, последней колонке. [c.65]

И выгнутый, и вогнутый предельные циклы могут быть преобразованы (растянуты) в круг, и, тгким образом, единственным периодическим решением двумерной динамической системы является предельный дикл. Предельный цикл ограничен как со стороны оси х, так и со стороны оси у. Кроме того, по определению предельный цикл — это замкнутая кривая. [c.69]

Эта модель имеет периодическое решение. Проводя исследования с использованием бромид-селективного элек- [c.99]

Такудис и др. [191] предложили модель для бимолекулярной реакции Ленгмюра — Хиншельвуда с появляющимися на отдельной стадии реакции двумя свободными местами на поверхности. Предполагается, что имеет место конкуренция при адсорбции поверхностью двух хеми-сорбирующихся соединений. Было найдено, что в случае двумерной модели, в которой в качестве параметров использованы скорости реакций, обнаруживаются колебания в системе. Рассмотрены также бифуркации этой модели. Такудис и др. [192] описали метод получения необходимых и достаточных условий для наличия колебательных решений в реакциях на поверхности при постоянной температуре и разработали аналитический метод для бифуркационного анализа периодических решений. [c.120]

Проходит ОТ стационарной точки на конечном расстоянии. Таким образом, только в точке нейтральной устойчивости периодическое решение находится в окрестности стационарной точки, и при этом в окрестности стационарного состояния имеется бесконечное множество периодических траекторий Этот результат является общим для всех моделей, содержащих две переменные (X, V) н имеющих точку сверхустойчивости . Как следует из (14.86) и (14.87), стационарная точка лежит на кривой с11у / = 0. Выше состояния предельной устойчивости эта кривая и, следовательно, периодическое решение проходят на конечном расстоянии от стационарной точки. [c.220]

Если вместо уравнений (32) - (34а) можно применять приближенные уравнения (36) - (38), что осуществимо при высокой концентрации постороннего электролита и в отсутствие специфической адсорбции реагирующих частиц, то математическое рассмотрение фарадеевского импеданса выглядит довольно просто. При таких обстоятельствах фарадеевский импеданс можно считать независимым от нефарадеевского (двойнослойного) импеданса. В случае процессов переноса заряда при смешанном диффузионно-кинетическом контроле фарадеевский импеданс можно получить из периодического решения уравнений (36) - (38), (40), (41) с угловой частотой со, полагая = =-Fpsin ot. Если отклонение от равновесия мало (Inl < 5 мВ), то [c.242]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология