Диаграмма бифуркационная

Анализ характера равновесных кривых на рис. 2.2 показывает, что идеальный вертикальный дисперсный поток может существовать в виде двух основных состояний или режимов. Возможность существования у дисперсного потока двух различных режимов, связанных с наличием двух корней уравнения, описывающего равновесное движение частиц, была впервые обоснована в работе [155]. Первому режиму на бифуркационной диаграмме соответствуют ветви кривых равновесия, лежащие справа от бифуркационной кривой (2.82), что аналитически можно записать следующим образом [c.94]

Как и бифуркационная диаграмма режимов (см. рис. 2.2), график на рис. 2.9 для выбранных конкретных значений коэффициентов I и п вьшолняется только до значений р°, не превышающих приблизительно 0,6, что соответствует плотной упаковке твердых сфер. Однако, поскольку качественный характер кривых сохраняется и для капель и пузырей, допускающих течения с более высокими значениями 1/ °, кривые на рис. 2.9 построены до <<5° = 1. [c.117]

Определение числа стационарных состояний и влияния значений параметров на это число иногда заметно облегчается благодаря использованию так называемой бифуркационной диаграммы— кривой, связывающей значение какого-нибудь из параметров с координатой стационарного состояния . [c.65]

Один из способов построения бифуркационной диаграммы для рассматриваемой системы заключается в следующем. [c.66]

Из уравнений (П1,2) исключаем величину для чего находим ее из уравнения Р = 0 это приводит к равенству (И1,5) подставляем это выражение в уравнение Q = 0. Разрешая полученное соотношение относительно параметра уо, получаем уравнение бифуркационной диаграммы [c.66]

Найденная таким путем бифуркационная диаграмма для параметра /о проходит через начало координат и располагается [c.66]

Рис. 111-4. Бифуркационная диаграмма реактора непрерывного действия (реакция типа А В).

Пользуясь бифуркационной диаграммой, весьма просто определить стационарные состояния, которыми обладает система при заданном значении уо для этого достаточно найти точки пересечения бифуркационной диаграммы с горизонтальной прямой, соответствующей выбранному Уо. На рис. И1-4 это построение выполнено для случая, когда система имеет три стационарных состояния. [c.66]

II построим по этому уравнению на плоскости г/s, i/o бифуркационные диаграммы для параметра г/о. На рис. 111-16 показано, какой вид имеют эти диаграммы при различных значениях ц (Hi < Ц2 < Цз)- При достаточно малых значениях р бифуркационная диаграмма имеет два экстремума — максимум и минимум для диаграммы, соответствующей значению ц = Л2, они обозначены буквами D у F. [c.86]

Бифуркационные диаграммы позволяют проследить за тем, как меняется число положений равновесия при изменении зна- [c.86]

Рассмотрение бифуркационных диаграмм исследуемой системы показывает, что при всех значениях параметров, не являющихся бифуркационными, она имеет либо одно, либо три положения равновесия. [c.87]

Для динамических систем первого порядка бифуркационные диаграммы позволяют определить не только число положений равновесия, но и их устойчивость. [c.87]

Чтобы убедиться в этом, запишем правую часть уравнения (111,336) в виде г ](у, а), где а — параметр, для которого будет строиться бифуркационная диаграмма. Координаты положений равновесия определяются уравнением [c.87]

Отсюда видно, что <Зф/<3 г/,,<0, если dyo/dys>Q, т. е. устойчивы те положения равновесия, для координат которых функция i/o(i/.0 является возрастающей. Участки бифуркационных диаграмм, соответствующие устойчивым положениям равновесия, показаны на рис. 1И-16 сплошными линиями, соответствующие неустойчивым — пунктирными. [c.88]

Рис. 111-19. Бифуркационные диаграммы реактора непрерываемого действия (реакция типа АВ).

Возможные варианты вида бифуркационных диаграмм при различных значениях х и закрепленных значениях Я и р показаны на рис. П1-19 сплошными линиями ( х < х" < Хд"у Из рис. П1-19 ясно, что при всех значениях параметров, не являющихся бифуркационными, система имеет одно или три положения равновесия. [c.91]

Чтобы выяснить это, вычислим абсциссу точки перегиба тон бифуркационной диаграммы, которая является границей между бифуркационными диаграммами с двумя экстремумами и бифуркационными диаграммами без экстремумов. [c.91]

Построим на плоскости уо кривую, определяемую уравнением (111,49) (см. рис. 111-19, пунктирная линия) она будет проходить через экстремумы бифуркационных диаграмм, что очевидно из способа, которым было получено соотношение [c.94]

В качестве примера рассмотрим случай взаимного расположения кривых, изображенный на рис. П1-23 (бифуркационная диаграмма проведена пунктиром). При выбранном значении ус система имеет три положения равновесия, из которых среднее — седло (точка С). [c.96]

Теперь нужно выяснить смысл областей, на которые разбивается плоскость Уо, Хо этими кривыми. Для осуществления этой цели необходимо обратиться к плоскости у , Уо и рассмотреть соответствующее каждому варианту взаиморасположение кривых Д = О, а = О и бифуркационных диаграмм. Пример такого взаиморасположения (однако с привлечением лишь одной бифуркационной диаграммы) был приведен на рис. П1-23. [c.98]

Чтобы определить число положений равновесия, построим бифуркационную диаграмму для параметра уо- С этой целью разрешим уравнение (111,66) относительно х и, подставив полученное выражение в (111,67), найдем зависимость г/п от Уз. Запишем ее [c.105]

На рис. III-26 показаны возможные варианты бифуркационной диаграммы. Если изменяется только параметр xq, то изображенные кривые соответствуют значениям < o" [c.105]

Бифуркационные диаграммы располагаются в полосе, образуемой двумя параллельными прямыми биссектрисой [c.105]

Положения равновесия, близкие к первой прямой, отвечают практически полному отсутствию реакции, близкие ко второй прямой, — почти 100%-ной конверсии. Заметим, однако, что этот случай в действительности невозможен, так как при температурах, соответствующих достаточной близости бифуркационной диаграммы и ее асимптоты, может произойти термическое разложение мономера, неучтенное в используемой модели. [c.106]

Рис. 111-26. Бифуркационные диаграммы полимеризационного реактора.

Из рис. 111-26 ВИДНО, что бифуркационная диаграмма может иметь до четырех экстремумов и, следовательно, система (111,65) может обладать одним, тремя или пятью простыми положениями равновесия. [c.106]

Из сказанного следует, что изменение режима при исчезновении сложного положения равновесия может носить скачкообразный характер и сопровождаться гистерезисной зависимостью координат положений равновесия от параметров. Это можно проиллюстрировать бифуркационной диаграммой (рис. 1У-21). [c.149]

Рнс, 1.7. Бифуркационная диаграмма для системы с одной переменной X [c.35]

Определение числа стационарных состояний и влияния значений параметров на это число облегчается использованием бифуркационной диаграммы — кривой, связывающей значение какого-нибудь из параметров с координатой стационарного состояния (по терминологии теории управления такая кривая называется статической характеристикой исследуемого объекта). [c.229]

Найденная таким образом бифуркационная диаграмма для параметра Ко проходит через начало координат и располагается в полосе между своей асимптотой [c.230]

Бифуркационная диаграмма позволяет определить число стационарных состояний пр>и фиксированных значениях параметров и проследить за тем, как меняется это число при изменении значений параметров. [c.230]

Пусть, например, Ко Ко- Проведя прямую Ко= Ко. видим, что она трижды пересекает бифуркационную диаграмму, следовательно, при Ко = Ко реактор имеет три стационарных состояния А, В и С. При увеличении параметра Ко положения равновесия А и С сближаются, при Ко = Ко сливаются, а затем исчезают. При уменьшении Ко то же самое происходит с положениями равновесия С и В при [c.230]

Рис. 8.13. Бифуркационная диаграмма реактора непрерывного действия (реакция 1-го порядка)

Верхняя диаграмма — бифуркационное множество, соответствующее развертке эллиптической омбилической точки. Дополняя эту диаграмму тремя типами конфликтных структур, получаем часть структурной диаграммы для молекулярной системы С Н . Приведены также поперечные сечения этой структурной диаграммы, показывающие характернь[й молекулярный граф для каждой структурной области. Пунктирные линии на молекулярных графах обозначают взаимопере-сечения поверхностей цикла с плоскостью симмегрии. В случае < О связевь[й путь соединяет два углеродных атома в голове моста, образуя структуру с конденсированными циклами для конфигураций, лежащих в пределах гипоциклоиды. В случае и< > О эти два углеродных атома не связаны, и в результате получаем клеточную структуру, ограниченную тремя циклами. [c.62]

Нас будет интересовать, как изменяется характер движения в системе при изменении параметров до и Рсо- Построим так называемую бифуркационную диаграмму — кривые 5до, со)=0 на плоскости > до< при различных значениях Усо- Здесь - корень уравнения (2.79) или значение объемной концентрации дисперсной фазы в состоянии равновесия. Для движения твердых частиц в жидкости в режиме Ньютона (и =1,78, /=0, Рд>Рс) подобная диаграмма представлена на рис. 2.2 в интервале значений [0,1]. Значения лежащие за пределами ЭТОГО интервала, лишены физического смысла. Для других систем (жидкость—жидкость, газ-жидкость) и режимов движения частиц качественный характер бифуркационной диаграммы не изменяется. Однако следует иметь в виду, что для твердых частиц диаграмма вьшолняется только для значений <р°, соответствующих состоянию плотной упаковки, т. е. до V 0,6. Для деформируемых частиц предельные значения <р° могут быть порядка 0,9 и даже вьпые. [c.91]

Рис. 111-16. Бифуркационные диаграммы реактора не-ирерывиого действия для случая реакции нулевого порядка.

Из ЭТОГО равенства видно, что знак выражения (Эф/(Зг/ зависит от знака множителя daldy . Следовательно, участки бифуркационной диаграммы а (у,) соответствуют устойчивым или неустойчивым положениям равновесия в зависимости от того, изображают они возрастающую функцию у, или убывающую. [c.88]

Вопрос об устойчивости положений равновесия, которыми обладает система при фиксированных значениях параметров, может быть решен путем выполнения следующих построений на плоскости у,, построим по уравнению (III, 7) бифуркационную диаграмму. Проводим горизонтальную прямую для заданного значения уо. Находим точки ее пересечения с бифуркационной диаграммой каждая из них соответствует положению равновесия и нногда для краткости будет называться положением равновесия. [c.95]

С этой целью рассмотрим бифуркационные диаграммы реактора непрерывного действия, изображенные на рис. ПМ9, Хотя этот рпсунок относится к случаю реакции типа А- В, можно убедиться, что бифуркационные диаграммы реактора непрерывного действия при протекании реакции типа пА- В и полимеризационного реактора, имеющего не бо-лее трех положений равновесия, имеют тот же характер. [c.149]

Очевидно, при а=а, когда критерий эволюции или кинетический потенциал равны нулю, происходит потеря устойчивости, и возможен скачкообразный переход в качественно новое состояние мембранной системы. Зависимость переменных хну от управляющего параметра а называют бифуркационной диаграммой, а состояние при а=а — бифуркационной точкой. На рис. 1.7 показана бифуркационная диаграмма для системы с одной переменной х в бифуркационной точке происходит переход с нижней ветви устойчивых состояний в область неустойчивости, т. е. из области I в области III или V (см. также рис. 1.6). Переходы типа узел — фокус (1- П) возможны на термодинамической ветви состояний, т. е. ао<а< а при этом нарушается лишь монотонный характер приближения к стационарному состоянию, возникают затухающие колебания концентраций. Как отмечалось выше, термодинамический критерий эволюции в виде соотношения (1.24) фиксирует условия, где возможны переходы в новые состояния, но не определяет новую структуру мембраны. Последнее возможно на основе анализа неустойчивости, если известен конкретный вид функций Fx x, у) и Fy(x, у) т. е. описание кинетики в йепи химических превращений в мембране. [c.34]

Стационарное состояние системы характеризуется равенством притока и расхода переносного компонента. Решение уравнения (1.35) в условиях стационарности Рх х, г/)=0] при различных значениях управляющего параметра а представлено в графической форме на рис. 1.8 там же дана бифуркационная диаграмма процесса х=х а). При а <а<.а2 мембранная система имеет два различных устойчивых стационарнв1х состояния, расположенных на верхней (т. 3) и нижней (т. 1) ветвях бифуркационной кривой, и одно неустойчивое (т. 2) на промежуточном участке этой кривой. Если исходное стационарное состояние расположено на нижней ветви (т. В), то по мере роста а особая точка смещается вправо по фазовой диаграмме при этом происходит монотонное приближение к новому значению концентрации компонента х. При а = аг возможна потеря устойчивости (т. А) и скачкообразный переход А—А в новое состояние с другим значением х. Аналогичный скачок В—В с верхней ветви на нижнюю наблюдается при а = а]. [c.36]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология