Инвариантные функционалы

Разумеется, функция Ф определена неоднозначно с точки зрения окончательных результатов имеющаяся неоднозначность, однако, не играет роли. Тем не менее возникает вопрос можно ли выбрать функции Ф в наиболее сепарабельном , или наиболее классическом , виде. Конечно, количественный критерий для такого выбора нельзя связать ни с одной из наблюдаемых величин, ибо последние инвариантны при замене одной функции Ф на другую. Однако все же существует несколько возможностей математической формулировки указанного критерия выбора, и такой критерий, как энтропия, возможно, обеспечивает максимальную сепарабельность. Критерий энтропии заключается в следующем. Среди всех примитивных функций Ф, соответствующих данной волновой функции , возьмем ту, которая минимизирует энтропийный функционал [c.52]

Выделим из (19) функционал е) инвариантный при за- [c.63]

Приемлемость такой формы записи для учета взаимодействия с внешним окружением достигается здесь за счет введения интеграла по точной 4-форме, так как этот интеграл можно с помощью теоремы Стокса превратить в поверхностный интеграл. Очевидно, что не любая из точных 4-форм подходит для этой цели, и результат будет зависеть от выбора уравнений Эйлера — Лагранжа во внутренних точках тела. Выбранная точная 4-форма должна оставлять инвариантными уравнения Эйлера — Лагранжа классической теории упругости, так как вся эта теория исходит из функционала действия [c.96]

Как только мы допустим неоднородность действия структурной группы 30(3)1>Т(3), от нас потребуется чрезвычайная осторожность, так как мы начинаем игру с основами ньютоновой механики. Действительно, в механике Ньютона каждая частица имеет три поступательные и три вращательные степени свободы относительно соседних частиц, так что только одна частица в данный момент времени может быть отнесена к инерционной системе отсчета. Поэтому во избежание грубых ошибок нам потребуется пересмотреть все основные положения механики Ньютона. Поиск новой основы — нелегкая задача без верного ориентира в миллиардах возможных альтернатив. К счастью, вариационные принципы и теоремы Нётер обеспечивают самосогласованный формализм, оставляющий инвариантным функционал действия при действии на него группы законов сохранения, которым должны удовлетворять все решения полевых уравнений. Если действовать дальше в том же духе, то требование инвариантности функционала действия при действии на него яеоднородной группы 5 0(3)р>Т(3) будет гарантировать [c.16]

Вторая проблема связана с тем, что записанное выражение относится только к случаю одномерного нагружения. Более полное рассмотрение, обобщающее записанное выражение для трехмерных деформадий, было дано Грином и Ривлином [23]. В их работе рассматривается не ползучесть, а релаксация напряжений. Принимается, что напряжение в момент времени f зависит от градиентов смещений, осуществлявшихся в N моментов времени в интервале от О до I. После рассмотрения ограничений, связанных с требованием инвариантности свойств материала в условиях вращения элементов среды как жесткого целого, Грин и Ривлин при ТУ, стремящемся к бесконечности, получают мульти-интегральное выражение для описания общего случая нелинейных вязкоупругих явлений. Их результат относится к анализу процесса релаксации. В общем случае оказываются невозможными какие-либо простые преобразования записанных таким образом выражений с тем, чтобы перейти к формуле для ползучести. Это связано с тем, что в функционал для напряжения входят градиенты смещения. Поэтому компоненты тензора напряжений, выраженные в фиксированной координатной системе, оказываются зависящими от вращения элементов среды. [c.203]

Покажем, как можно доказать теорему 2.1 в определенном случае без замечания 1 к ней) предельным переходом при с1 ооу> из й-мерной проблемы можнтов. Будем считать без ограничения общности, что 0=1. Пусть Р — конечномерное педпространство Ф, инвариантное относительно инволюции —. Рассмотрим сужение функционала 5 на Р " с Ф 5п,р = Р п 2-ь)- Очевидно, последовательность 5р = (5 ,р) =,о будет моментной определенной, причем представление (2.6) для нее эквивалентно представлению (2.3) определенной конечномерной моментной последовательности. Таким образом, можно считать, что у нас имеется для формула вида (2.6), которая, как легко понять, переписывается следующим образом [c.437]

Заметим, что при анализе модулированных фаз удобно исходить из выражений термодинамических потенциалов в координатном пространстве. Для получения потенциалов, пригодных в окрестности некоторой лифшицевской точки, можно использовать следующий прием. Вначале следует сконструировать потенциал из компонент параметра порядка в самой лифшицевской точке для некоторого НП, описывающего основную (не модулированную) структуру. Затем следует добавить к этому выражению градиентные члены (первой, второй и т.д. степени), инвариантные относи- ел >но группы симметрии исходной фазы. Они и расширяют область применимости потенциала с исходной точки на некоторую ее окрестность. Теоретико-групповая номенклатура параметра порядка для этой окрестности становится уже не актуальной, поскольку дальнейший анализ фаз, получающихся минимизацией функционала, переносится на решение соответствующего дифференциального уравнения. [c.184]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология