Инвариантность уравнения Шредингера

ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА [c.124]

Требуется показать, что уравнение Шредингера инвариантно относительно этого преобразования. [c.128]

Доказательство. Так как уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования симметрии, то достаточно показать, что преобразования симметрии гамильтониана всегда образуют группу. [c.129]

Пусть теперь оператор А таков, что он переводит любое решение Ф временного уравнения Шредингера вновь в решение этого уравнения Ф = /4Ф. В этом случае говорят, что временное уравнение инвариантно относительно А, или инвариантно при преобразовании Л. Далее, если временное уравнение инвариантно относительно оператора Л и он не зависит явно от времени, то/4 и Н коммутируют АН = НА, что показывается без труда. [c.192]

Операторы, относительно которых временное уравнение Шредингера для заданной квантовой системы является инвариантным, образуют группу А, В,. .. Действительно, если АФ и ВФ -решения временного уравнения, то в силу инвариантности решением будет и В(АФ), т.е. оператор С = ВА также принадлежит группе С. Тождественная операция, очевидно, принадлежит С и является ее единицей, а вот что касается обратных операторов, то здесь положение хитрее по крайней мере, если они существуют, то также принадлежат С. (Останавливаться на доказательстве этого утверждения не будем). Группа О, образованная операторами, коммутирующими с оператором Гамильтона, называется группой уравнения Шредингера. Рассмотрим множество собственных функций X, оператора А е О. Это множество можно разбить на подмножества тех функций, которые принадлежат одному и тому же собственному значению оператора Л [c.195]

Оператор/4 при действии операций симметрии преобразуется тем или иным способом так, оператор Гамильтона остается без изменений (ведь рассматривается группа операций, относительно которых уравнение Шредингера инвариантно), так же как не меняются по отдельности операторы кинетической и потенциальной энергии. Следовательно, операторы Я, ТиУ полносимметричны относительно операций группы симметрии. В то же время оператор дипольного момента таковым не [c.224]

Случайное вырождение в кулоновском поле является следствием дополнительной симметрии гамильтониана кроме сферической. Такая симметрия допускает разделение переменных в уравнении Шредингера как в сферической, так и в параболической системах координат. Уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом инвариантно относительно группы четырехмерных вращений 0(4). Всякое отклонение от кулоновского потенциала снимает случайное вырождение. Например, если в (38,8) за- [c.179]

Как известно, уравнение Шредингера для физической системы должно быть инвариантным к симметричным преобразованиям этой системы. Исходя из этого можно легко показать, что состояния системы должны описываться такими собственными функциями, которые либо лишь меняют знак при совершении опе- [c.42]

При решении этого уравнения, как и соответствующего ему уравнения Шредингера для стационарных состояний, получается функция ( 1,. ..,. .., <7т, Ям, t), вообще говоря, не обладающая каким-либо свойством симметрии (наподобие функции в приведенном примере в 1 этой главы). Однако в силу инвариантности оператора Гамильтона относительно перестановки координат частиц функция Р т также является решением уравнения (XI.5). [c.166]

Таким образом, по остальным квантовым числам имеется вырождение. С чем же оно связано В гл. II мы уже говорили о том, что кратность вырождения Энергетических уровней зависит от симметрии системы. Группа симметрии атома водорода — это непре рывная группа 0(3), т. е. уравнение Шредингера а определяемая им структура энергетических уровней остаются неизменными — или, как говорят, инвариантными— относительно любых вращений в обычном трехмерном пространстве. Иными словами, группа симметрии атома водорода совпадает с группой си>1-Метрии шара — как его ни поверни, он все время будет совмещаться сам с собой. Вот именно эта шарообразность атома водорода и приводит к тому, что энергия не зависит от магнитного квантового числа т. Это было установлено в первые же годы существования квантовой механики (1925—1926 гг.). [c.106]

Поведение волновых функций при выполнении операций группы симметрии определяется только функцией (ф) [см. уравнение (П1,5-10)]. Как радиальная функция / (г), так и функция 0 (9) инвариантны по отношению к этим операциям. Решение уравнения Шредингера дает [c.101]

Если потенциалы электромагнитного поля не зависят от времени, то, основываясь на только что сказанном, непосредственно получаем, что стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (8.1.12) будет калибровочно инвариантным, т. е. после калибровочного преобразования уравнение НЧ = Ч сохранит свой вид Н = Т. Если, напротив, электромагнитные потенциалы зависят от времени, то этот общий случай требует дальнейшего исследования. При этом сразу легко получить [c.260]

Структурные связи — это динамические инварианты системы. Они ассоциируются с инвариантностью уравнений движения относительно некоторых групп преобразований. В квантовой механике уравнением движения, как известно, является уравнение Шредингера. Это уравнение, записанное для многоэлектронной системы, инвариантно относительно ряда групп преобразований, а именно относительно группы перемещений в пространстве системы как целого, группы некоторых ортогональных преобразований и группы перестановок тождественных частиц. [c.98]

Рассмотрим на примере трехэлектронной системы ограничения на решения уравнения Шредингера, вытекающие из инвариантности гамильтониана относительно перестановок электронов. Применяя к данному случаю соображения, изложенные в 4.2,. заключаем, что решения уравнения [c.91]

Названные возбуждения описываются уравнениями механики или уравнением Шредингера, или же спиновым обменным гамильтонианом во всех случаях мы ймеем уравнение, инвариантное относительно трансляций решетки. [c.83]

Трансляционная инвариантность приводит, как впервые показал Блох (1928г.), к очень важному результату для любой волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера (или его классическому, или квантовому эквиваленту), [c.83]

Вырождение уровней с разным / ( случайное вырождение ) в трехмерном гармоническом осцилляторе связано с тем, чго уравнение Шредингера (37,2) допускает разделение переменных как в прямоугольной, так и в сферической системе координат, следовательно, оно инвариантно относительно группы преобразований, более широкой, нежели группа трехмерных вращений. В этом легко убедиться, если записагь уравнение Шредингера с потенциалом (37,15) в представлении чисел заполнения [c.175]

Обычно момент измеряется в единицах /г/2п поэтому спин можно описать с помощью квантового числа которое принимает два значения 72- Не следует считать, что спиновый момент обусловлен действительным вращением электрона около его ОСИ Дирак в 1928 г. показал, что спин появляется автоматичен СКИ, как только уравнение Шредингера заменяется релятивистски инвариантным уравнением. Для нас существенно лишь то, что спиновый момент может принимать только два значения и что взаимодействие спинового и орбитального движений обычно настолько мало, что им можно пренебречь. [c.42]

Электронный спин трудно наблюдать отчасти потому, что ему почти наверняка не соответствует реальное вращение. Дирак показал в 1928 г., что явление, ради которого был выдвинут постулат электронного спина, объясняется автоматически без применения этого постулата, если уравнение Шредингера сделать релятивистски инвариантным (здесь вопрос этот разбираться не будет). [c.37]

В чем же здесь дело, ведь время и раньше входило во все уравнения динамики и являлось предметом особого рассмотрения в теории относительности Это действительно так, однако в динамическом описании Системы, как в классическом, так и в квантовом, время играет ограниченную роль, поскольку и уравнение Гамильтона, и уравнение Шредингера инвариантны относительно обращения времени t в Динамика Галилея и Ньютона, как и квантовая механика, не знают различий между прошлым и будущим, не знают эволюции физического мира в их описании мир — это набор траекторий. И. Пригожин по этому поводу замечает ...из всех изменений, происходящих в природе, классическая физика выделяет только движение. Все, что дает классическая физика, сводится к утверждению изменение есть не что иное, как отрицание возникновения нового, и время есть всего лишь параметр, не затрагиваемый преобразованием, которое он описывает. Образ устойчивого мира — мира, избегающего процесса возникновения, вплоть до нашего времени оставался идеалом теоретической физики. Динамика И. Ньютона, дополненная его великими последователями П. Лапласом, Ж. Лагранжем и сэром У. Гамильтоном, представляла собой замкнутую универсальную систему, способную дать ответ на любой поставленный вопрос. Любой вопрос, на который динамика не могла дать ответ, отвергался как псевдопроблема почти по определению [318. С. 41]. [c.436]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология