Метод вариационного исчисления

Методы вариационного исчисления ( см. главу V) обычно используют для решения задач, в которых критерии оптимальности представляются в виде функционалов (I, 27) и решениями которых служат неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статической оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации. [c.32]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Расчеты оптимальных условий проводятся математическими методами (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина) или часто различными методами направленного поиска [c.69]

Таким образом, эти два класса процессов — нестационарные и с распределенными параметрами — и составляют область применения методов вариационного исчисления в химической технологии. [c.195]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

Уравнения (IV,167) — (IV,169) являются уравнениями Лагранжа — Эйлера описываемой вариационной задачи, которые можно непосредственно получить при помош,и вариационного исчисления 107 Конечно, приведенный здесь вывод этих уравнений нельзя считать строгим и он иллюстрирует только связь изложенных здесь методов с методом вариационного исчисления. [c.142]

На первый взгляд представляется, что необходимым условие(м является обеспечение максимальной суммарной скорости реакции (т. е. разности прямой и обратной скорости) в любом поперечном сечении. Это условие было получено автором [4] методами вариационного исчисления, однако доктор Хоря предложил более простое решение 2. [c.142]

Очевидно, задача состоит в. нахождении минимума V при фиксированных значениях N и г па выходе из реактора. Для этого необходимо минимизировать интеграл, что достигается методом вариационного исчисления. Только в простейшем случае, рассмотренном в предыдущем параграфе, минимизация интеграла может быть сведена к максимизации г в зависимости от температуры. В более сложных реакциях, когда г является функцией как состава, так и температуры, необходимо воспользоваться более сложным вариационным методом. [c.150]

Задача оптимального распределения нагрузок может быть решена либо методами вариационного исчисления, либо динамического программирования [44], [c.125]

В настоящее время для численного поиска оптимального управления объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями, наибольшее применение находят прямые методы вариационного исчисления [I] и принцип максимума Понтрягина [2]. [c.115]

Для того чтобы использовать методы вариационного исчисления, введем в качестве вариационного параметра линейную комбинацию коэффициентов [c.77]

В этом разделе рассмотрено решение методами вариационного исчисления задачи расчета оптимального температурного профиля в реакторе идеального вытеснения для параллельных реакций первого порядка [c.234]

Для решения задач первой группы, т.> е. когда функция выгоды зависит только от состояния объекта, используются методы математического программирования, в то время как для задач второй группы применяются методы вариационного исчисления, динамическое программирование, а такн е принцип максимума (стр. 163)-. [c.73]

Будем считать сначала, что необходимо оптимизировать интеграл (216). Эта задача является типичной задачей вариационного исчисления. Однако прямое применение классических методов вариационного исчисления невозможно в связи с тем, что на область изменения переменных налагаются ограничения (4). Эти затруднения можно обойти следующим образом [20, 21]. [c.36]

Будем для простоты считать, что имеется только одно ограничение типа (4). При помощи искусственного приема избавимся от ограничений и в результате сможем применить методы вариационного исчисления. Введем следующую функцию [c.36]

При решении полученного уравнения используют метод вариационного исчисления, причем коэффициенты с выбирают таким образом, чтобы общая энергия частицы была минимальна, а выделяющаяся энергия соответственно максимальна [c.56]

Метод вариационного исчисления. В задачах оптимизации хими-ко-технологических процессов нередко критерии оптимальности представляются в виде функционалов, решениями которых являются искомые функции. В этих случаях задача заключается в нахождении экстремума функционала, зависящего от одной или нескольких [c.247]

Указанная задача может быть решена методом динамического программирования. Нахождение оптимального Состояния системы достигается постепенно, путем многошагового изменения ее переменных, т. е. путем многошагового решения, В классических методах (вариационные исчисления) процесс решения представляется, по существу, как некоторый единый шаг. При методе динамического программирования оптимальные решения принимаются для каждого шага (т. е. в каждом состоянии системы). Таким образом, удается многомерную задачу свести к одномерной. [c.202]

Вычисление оптимальных функций управления при проектировании химических реакторов проводят различными способами. В одних случаях для этого ис-пользуют метод вариационного исчисления в других метод динамического [c.351]

В девятой главе рассмотрены методы оптимизации, предлагаемые для расчета ступенчатых и непрерывных систем. Здесь под ступенчатыми понимаются многостадийные процессы, происходящие, например, в последовательности реакторов и т. п. Для рещения задачи оптимизации таких систем предлагаются методы вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования. После описания этих методов рассматривается возможность их применения для различных задач. Изложены принципы решения нестационарных задач. В заключение проводится сравнение методов оптимизации, описанных в четвертой и девятой главах, и даются некоторые рекомендации по их использованию. [c.8]

Все указанные выше задачи имеют конечное число переменных от 10 или 20 в общей задаче (фиг. 4.2) до нескольких сотен в некоторых задачах линейного программирования. Возникают и другие задачи, в которых число переменных бесконечно. Например, производительность трубчатого реактора может зависеть от распределения температур вдоль него и может быть наибольшей для некоторого частного распределения. Распределение— это непрерывная кривая, имеющая бесконечно много значений. (Представьте температуру, определенную в п эквидистантных точках вдоль реактора, и пусть п стремится к бесконечности.) Производительность будет изменяться, если температура изменяется в любой точке вдоль оси. Математические методы для решения этих задач — это методы вариационного исчисления и динамического программирования Они рассматриваются в гл. 9. [c.89]

Ниже будет рассмотрена задача, поставленная выше. Другие физические задачи приводят к таким же математическим формулировкам например, реактор, температура в котором должна изменяться как функция времени. Иногда при постановке задачи мы будем накладывать ограничения на и, тогда решение задачи будет связано с теми методами вариационного исчисления, которые были недавно получены Понтрягиным [23] и др. В 8 будет показано, как ряд связанных между собой задач, которые мы рассматриваем, может быть приведен к определенной математической форме. [c.295]

Ступенчатые системы в данном случае будут как бы мостом между методами гл. 4 и методами вариационного исчисления. В принципе могли бы быть использованы рассмотренные ранее методы. Однако, когда дискретная система в конце концов разделена, число параметров оказывается столь большим, что непосредственное использование этих методов становится неэффективным. Поэтому было затрачено много труда, чтобы отыскать методы для ступенчатых систем, учитывающие специфику данной проблемы. [c.296]

Мы рассмотрели несколько методов для решения одной и той же задачи—максимизации или минимизации функционала. В частности, были описаны методы динамического программирования и методы вариационного исчисления, связанные с принципом максимума Понтрягина. Как и следовало ожидать, между различными методами решения этой задачи существует тесная связь. [c.320]

В такой форме интеграл 1 26) совпадает с интегралом (216), если условие (4) выполняется. Если же условие (4) будет нарушено, то интеграл (26) сразу намного возрастет. Ясно, что поскольку будет отыскиваться минимум интеграла (26), то точка и и1,...,ид) не должна будет намного выходить из области ). Причем, чем больше к, тем на меньшую глубину она будет выходить из области В, Поскольку ищется минимум интеграла без каких-либо ограничений на координаты, то в этом случае уже можно применять методы вариационного исчисления. [c.36]

Используя классический метод вариационного исчисления запишем выражение для функции Лагранжа с учетом ограничения (V, 107) [c.158]

Метод динамического программирования применим к любым многостадийным процессам, в которых на каждой стадий надо принимать решения для оптимизации всего процесса. Среди работ, в которых этот метод использовался для оптимизации химических реакторов, прежде всего надо отметить цикл работ Р. Арпса, которые затем были обобщены в его монографии . При полющи указанного метода Р. Арис рассмотрел оптимизацию последовательности реакторов идеального смешения адиабатических полочных реакторов с охлаждением потоков между полками теплообменниками (или исходным реакционным газом, либо газом, отличным от исходного), а также оптимизацию реактора идеального вытеснения. В частности, он получил ранее найденные методом вариационного исчисления уравнения оптимальной температурной кривой в реакторе идеального вытеснения для общего случая. [c.10]

В случае старения нагрузки следует распределять пропорционально константе скорости реакции-, в случае отравления — для решения задачи распределения следует пользоваться методами вариационного исчисления или динамического программирования. [c.165]

Если уравнение (VI. 10) не имеет решений в области О <С т классический метод вариационного исчисления не дает решения задачи распределения. В этом случае для решения задачи (VI. 2— 1.3) воспользуемся принципом максимума для закрепленного времени [c.170]

К аналогичному выводу можно прийти, применив методы вариационного исчисления. [c.44]

Статьи Гоулда с сотр. затрагивают проблему оптимизации управления реактором как нелинейной системы. В работе Бичера и Гоулда обсуждается возможность динамической оптимизации при помощи цифровых машин. Пользуясь методами вариационного исчисления, они вывели систему уравнений Эйлера— Лагранжа, решаемую для определения оптимального пути, по которому должен следовать процесс в реакторе после внесения возмущения. [c.120]

По шакомимся с помощью приближенных методов вариационного исчисления с основами количественного расчета этой системы. За основу примем приближение Борна — Оппенгейме-ра движение ядер и электронов происходит независимо друг от друга каждому заданному состоянию ядра соответствует определенная энергия электронов. Вследствие сравнительно большой массы ядра погрешность расчета очень мала (например, по ван Флеку для Н2+ составляет <0,0075 эВ). Энергетические пере-ходы можно грубо оценить следующим образом электронные переходы —от 1 до 10 эВ колебательные — 10 эВ, крутиль- [c.76]

Решение может быть получено с помощью методов вариационного исчисления или на основе принципа максимума Л. С. Понтря-гина. В решении учитывается, что при управлении с обратной связью существует зависимос1ь вектора управления и (1) от вектора X (О состояния. )та зависимость устанавливается с помощью симметричной матрицы Р (/) изменяющихся во времени коэффициентов регулятора. [c.232]

Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея—Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166] этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. Как мы видели, метод [c.148]

Второй раздел химической кибернетики, занимающийся разысканием оптимальных условий проведения химического процесса, пшроко использует как классические методы вариационного исчисления, так и новейшие достижения современной математики — динамическое программирование и принцип максимума. В качестве простейшего примера можно указать уже упоминавшийся выше случай параллельных реакций с разными энер ГИЯМИ активации. При осуществлении подобного процесса в каталитическом реакторе идеального вытеснения выгодно повышать температуру катализатора вдоль слоя по мере выгорания исходного вещества. Оптимальное распределение температуры в слое для реакции получения окиси этилена рассчитано в работе Слинь- [c.470]

Физическая модель электронного отроения молекул, какие бы гипотетические элементы ока ни заключала в себе, получает в квантовой химии математическое описание и дальнейшее изучение модели уже проводится математическими методами. Здесь нет возможности п необходимости касаться истории привлечения для теоретической работы различных математических методов (вариационного исчисления Уангом в 1928 г., теории групп Ван Флеком и Малликеном в начале 30-х годов, теории графов в 60-х годах и т. д.), но по-настоящему революционизирующее влияние на развитие квантовой химии оказало появление новой вычислительной техники. [c.93]