Математический аппарат

Для изучения стохастических процессов обычно используют математический аппарат теории вероятностей, при помощи которого параметры состояния оцениваются в терминах математического ожидания, а возмущающие параметры характеризуются вероятностными законами распределения. [c.25]

Такая теория должна связать макроскопические кинетические величины с новыми величинами, используемыми для описания молекул. Теория должна, следовательно, связать наши кинетические параметры с более фундаментальными величинами, а также некоторыми универсальными постоянными, такими, как скорость света с, постоянная Планка к шт. п. Хотя решение такой задачи в принципе возможно, но оно слишком трудно. Поэтому целесообразно выбрать менее полную систему молекулярных единиц, такую, чтобы она давала возможность связать макроскопические величины с важнейшими параметрами молекул. Иными словами, следует избрать некоторую целесообразную модель молекулы, достаточно простую для математического расчета и такую, чтобы ее свойства можно было связать с другими экспериментально определенными свойствами молекул. В следующей главе мы познакомимся с некоторыми из таких общепринятых моделей и рассмотрим математический аппарат для их описания. [c.106]

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Основой методов оптимизации химико-технологических процессов служит достаточно подготовленный сейчас математический аппарат, средством реализации которого являются электронные вычислительные машины. На современном этапе важнейшая задача химической технологии заключается в составлении и использовании двух алгоритмов оптимального проектирования процесса и оптимального управления данным процессом. [c.9]

В общем виде количественное описание критериев взаимодействия ГА-технологии можно осуществить, используя хорошо разработанный математический аппарат явлений переноса [394]. [c.58]

Применение разомкнутой системы возможно потому, что существуют графические методы определения влияния обратной связи и регулятора на частотные характеристики всей системы. В случае переходных характеристик уравнения следует решать для каждого отдельного исследуемого случая. Основным при этом является составление полных уравнений процессов, происходящих в замкнутом контуре. Их решение требует весьма сложного математического аппарата. [c.102]

Все это обусловило необходимость появления специалистов нового типа — инженеров-химиков, владеющих современным математическим аппаратом и средствами вычислительной техники и [c.9]

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ВАРИАЦИОННОГО [c.199]

Р е ш е н и е. В этом простейшем случае, конечно, нет необходимости применять математический аппарат принципа максимума, поскольку и так очевидно, что перевод процесса, описываемого ураннением (VII,121), следует производить с максимальной скоростью изменения переменной х, т. е. с предельной величиной управляющего воздействия а, причем знак управления определяется тем, в каком направлении по оси X от начальной точки л расположена конечная точка Однако на данном [c.344]

Запишем сначала соотношения, к которым приводит использование математического аппарата принципа максимума. Согласно общей [c.408]

Следует отметить, что значение линейного программирования не исчерпывается решением задач только указанных типов. Сообщается , что в методах решения задач так называемого выпуклого программирования существенным образом используется вычислительный аппарат линейного программирования. Кроме того, иногда при рассмотрении сложного нелинейного объекта иногда удается представить его математическое описание в некоторых локальных областях изменения независимых переменных приближенными линейными соотношениями. Это позволяет свести исходную задачу оптимизации к задаче линейного программирования. Тем самым становится возможным применять его математический аппарат, который в настоящее время разработан достаточно подробно и при наличии цифровой вычислительной машины обеспечивает решение оптимальных задач весьма высокой размерности. [c.413]

Для описания процесса перераспределения частиц смешиваемых компонентов по ячейкам воспользуемся математическим аппаратом цепей Маркова. Согласно теории цепей Маркова состояние любой системы, включающей ряд связанных между собой элементов, в + [c.240]

Для решения подобных и других задач очень важно вооружить химмотологию соответствующей теорией и практикой моделирования процессов с применением современного математического аппарата и электронно-вычислительной техники. [c.13]

Не все указанные вопросы освещены в настоящей книге, однако инженеру всегда следует иметь в виду общую конечную цель исследования—производство. При изложении постоянно используется математический аппарат, но это не требует от читателя книги специальной подготовки, выходящей за рамки элементарных дифференциальных уравнений и ряда методов числового расчета. Некоторые сведения по математике приведены для справок в главе ХП. [c.15]

Поскольку рассматриваются динамические свойства системы, математическим аппаратом, необходимым для теоретического описания отклика системы на возмущения, должны быть обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения в частных производных. Вследствие того что для динамических [c.109]

Системы управления конкретным процессом могут отличаться по своим возможностям и по степени сложности. Нет необходимости повторять, что степень сложности применяемого математического аппарата сильно меняется при переходе от простой системы регулирования к более сложной. Различают следующие уровни автоматизации в порядке возрастания сложности стабилизация входных параметров, динамическое регулирование выходных параметров, статическая оптимизация как основа настройки систем управления, самонастраивающееся управление и, наконец, динамическая оптимизация. [c.110]

Этот метод называется динамической оптимизацией. Математический аппарат для изучения такой системы обычно включает вариационное исчисление, чтобы получить для каждой [c.119]

В последнее время предложено большое число многопараметрических моделей [76—79]. Разумеется, с увеличением числа параметров растет гибкость теоретической модели, ее приспособляемость к различным условиям, т. е. возможность подгонки ее к конкретным условиям. Однако одновременно усложняется математический аппарат и, что особенно важно, возрастает опасность отклонения модели от действительного механизма продольного перемешивания. [c.31]

Для анализа и сопоставления теоретических моделей структуры потока в колонных аппаратах наиболее эффективен метод моментов. Он характеризуется надежностью, полнотой представляемой информации и простотой используемого математического аппарата. [c.81]

Явление удара отличается сложностью и необходимостью учета большого числа разнообразных факторов — диссипации энергии, распределения масс, конфигурации звеньев, свойств поверхностей контакта и других характеристик, трудно поддающихся математическому описанию. В связи с этим в инженерной практике широко используют приближенные методы, упрощающие задачи при введении ряда допущении п, используя несложный математический аппарат, получить решения, позволяющие правильно оценить усилия, деформации и перемещения, напряжения при ударе, продолжительность соударения. [c.88]

В ходе универсального последовательного анализа (см. рис. 14) прямая кинетическая задача (ПКЗ) решается много раз, но цель, преследуемая ее решением, суш,ест-венно зависит от того, на какой фазе анализа проводится решение ПКЗ. Если ПКЗ решается до постановки обратной кинетической задачи (ОКЗ), то результаты ее решения рассматриваются как некоторое уточнение исходных приближений (блок 4) для более строгой постановки ОКЗ. Если ПКЗ решается в ходе ОКЗ, то в этом случае ее решение есть просто один из формальных элементов процедуры полного решения ОКЗ. Если же ПКЗ решается после решения ОКЗ, т. е. тогда, когда известны механизм сложного процесса и уточненные значения кинетических параметров, то в смысловом аспекте результаты решения ПКЗ есть количественное исследование особенностей и свойств адекватной модели. Заметим, что формальный математический аппарат остается при этом одним и тем же. [c.169]

В некоторых ранних работах параметры L, М и N связаны с числами Дамкелера. Иоздние работы посвящены в основном анализу устойчивости реактора при наличии сильных возмущений и связаны с применением более сложного математического аппарата. [c.212]

Полное исследование поставленной задачи требует применения довольно сложного математического аппарата, но мы можем дать качественное описание результатов, придав им интуитивно ясный смысл. Предположим, что реактор не снабжен нагревательными устройствами, а может работать только в адиабатическом режиме (q (г) = 0) или в режиме полного охлаждения q (t) = q ). Строго говоря, мы могли бы сделать величину q функцией Г, но при этом более реалистическом предположении результаты будут иметь тот же качественный вид. Так как касательная к кривой в точке L имеет наклон, соответствующий q = q, то имеется решение уравнений (Х.15) и (Х.16) с q = q, касающееся кривой в точке L. Это решение начинается прп температуре Т , соответствующей точке М, и можно подумать, что путь реакции MLA является оптимальным. Такое решение действительно было дано в работе Ариса и Блейкмора, однако, как было показано в последующей работе Ариса и Зибепталя, оно ошибочно и должно быть исправлено путем более тщательного анализа задачи (см. библиографию на стр. 316). [c.313]

Гоеттлер и Пигфорд [4] исследовали рассматриваемую в этой главе проблему в режимах быстрой реакции и в переходном режиме от быстрой к мгновенной реакции. Был рассмотрен ряд проме-, жуточных случаев, поскольку реагируют два газа, которые могут иметь различные значения констант скорости k . Действительно, если константы скорости сильно различаются, то при промежуточных значениях времени диффузии для обоих газов может реализоваться не один и тот же режим абсорбции. В частности, если условия мгновенной реакции применимы только для одного газа, то концентрация b жидкого реагента в окрестности границы раздела фаз равна нулю, но другой газ диффундирует за фронтальную плоскость реакции. Привлеченный для решения этой проблемы математический аппарат довольно сложен и Гоетлером и Пигфордом быЛо получено только численное решение для выбранного ряда значений величин, подходящих безразмерных параметров. Общее поведение пока описывается лишь качественно, просто на основе известных физических представлений. [c.115]

Математический аппарат успешно привлечен для анализа пограничнослойной массопередачн в работах Пигфорда [11], Крей-гера и Крамерса [12], Элсера [13], Крамерса и Бика [14] и Астарита [15]. Важно отметить слу- [c.116]

Выше мы рассмотрели основные положения теории молекулярных о)биталей. Она нашла очень широкое применение, так как дает самый общий подход ко всем типам химических соединений. В последнее время эта теория доминирует в теории химической связи и теоретической химии вообще. Ее математический аппарат наиболее удобен для проведения количественных расчетов с помощью ЭВМ. [c.65]

Недостаток работы в том, что авторы приняли для анализа системы допущение все металлорганические соединения в сырье имеют однородный характер распределения по размерам. Наибольший интерес представляет подход, в котором учитывается распределение металлсодержащих соединений в различных компонентах сырья. Однако он связан со значительным усложнением математического аппарата, так как в расчетные зависимости необходимо вводить функции селективности учитьта-ющие селективное проникновение фракций определенного размера в соответствующие поры оптимального размера. В литературе такой подход еще не нашел отражения. Если представить в упрощенной форме, то, например, уравнение (2.28) после включения в него функций распределения молекул и частиц сырья по размерам и распределения размера пор катализатора будет выглядеть следующим образом [c.84]

Отметим также, что некоторые методы специально разработаны пли иаилучшим образом подходят для решения оптимальных задач с математическими моделями определенного вида. Так, математический аппарат линейного программирования специально создан для решения задач с линейными критериями оптимальности и линсш-ными ограничениями на переменные и позволяет решать большинство задач, сформулированных в такой постановке. [c.29]

Принцип максимума (см. главу УП) применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых спстемами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является то, что решение может определяться в виде разрывных функций это свойственно многим задачам оптимального управления, если, например, объект описывается ли-иейиымп дифференциальными уравнениями. [c.32]

Линейное программирование (см. главу VIII) представляет собой математический аппарат, разработанный для решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи обычно встречаются при решении вопросов оптимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, при определении оптимального плана перевозок (транспортные задачи) и т. д. [c.33]

Ряд методов оптимизации, как, например, динамическое программирование, дает достаточную информацию о чувствительности оптимума уже в процессе их использования для решения оптимальных задач. Другие методы менее приспособлены к анализу чувствител ,-ностн оптимума. Лишь для задач линейного программирования имеется до некоторой степени разработанный математический аппарат (параметрическое линейное программирование), позволяюи1Ий изучать поведение оптимального решения при измеиенпи коэффициентов математического описания . [c.39]

Основная идея в применении метода неопределенных .пюжителей для оптимизации рассмотренного выше многостадийною процесса состоит в том, что при решении задачи оптимизации соотношения (IV,90), характеризующие связь входных н выходных параметров и управляющих воздействий на всех стадиях процесса, принимаются как ограничивающие условия, имеющие вид равенств, наложенные на переменные процесса часть из которых входит в выражение критерия оптимальности (IV,88). Это, в свою очередь позволяет использовать для решения оптимальной задачи математический аппарат метода неопределенных множителей Лагранжа (см стр. 139). [c.155]

Вьпле уже брлли рассмотрены трудности, возника[ощие прп решении краевых задач, к которым приводит математический аппарат вариационного исчисления. Однако этим еще не исчерпываются недостатки классического вариационного исчисления. Гораздо более серьезные препятствия на пути решения оптимальной задачи вариационными методами возникают тогда, когда в данной задаче присутствуют ограничения типа неравенств [c.241]

Ниже [3 компактной форме представлены в виде правил использования математического аппарата принципа максимума для решения ко 1кретных оптимальных задач основные результаты, получен-ш е в предыдуш,ем разделе. [c.357]

Вообн1,е говоря, принцип максимума в той фюрмулировке, которая б ,1ла получепа для непрерывных процессов, к дискретным процессам неприменим Однако, несмотря 1ьа некоторое различие в конечных соотношениях оптимальности, представляется целесообразным все же сохранить название нритщип максимума и для дискретных процессов, поскольку математический аппарат решения оптимальной задачи в обоих случаях имеет некоторое сходство. [c.393]

Прп оптимизации дискретных многостадийных процессов использование математического аппарата принципа максимума зачастую оказывается более эффективным, чем нримепенне метода динамического программирования. В особенности это относится к ранению оптимальных задач, где размерность отдельных стадий затрудняет использование вычислительной процедуры метода динамического программирования [c.393]

Примеры, изложенные ниже, не являются сложными, однако па них можно ознакомиться с основными прпема.ми )сн1епня опт)тмал1)-пых задач для дискретных многостадийных процессов с использованием математического аппарата дискретного принципа максимума. [c.402]

Выведем теперь соотношения, определяющие оптимальное управление, которые могут быть получены при использовании математического аппарата классического вариационного исчислепня. В этом случае векторное уравнение математического описания процесса может рассматриваться как система неголономных связей (V,121) для задачи отыскания условного экстремума функцпонала (VI 1,545). [c.409]

Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480]

Освоение вновь строящихся и реконструируемых предприятий показало, что имеются крупные и более мелкие нерешенные задачи техники безопасности и производственной санитарии. Сюда относятся, например, такие важные вопросы, как резервирование производственных площадей для возможного предстоящего увеличения мощностей взамен строительства нового предприятия или резервирование оборудования для увеличения степени надежности и безопасности работы технологических линий, систем и целых производств. Вопросы такого масштаба, выдвигаемые авторами, могут решаться только с привлечением серьезного математического аппарата и средств кибернетики. Но авторы ставят и менее крупные, но тоже важные вопросы, решение которых под силу проектным и конструкторским организациям в процессе их текущей работы. Сюда относится, например, разработка конструкции герметичных самозакрывающихся дверей в тамбур-шлюзах (св. стр. 63), надежного устройства для зажигания факела (см. стр. 160), перекидных клапанов на воздуховодах спаренных вентсистем (см. стр. 209) и др. Таким образом, нам кажется, что книга может дать материал для размышлений проектировщикам, конструкторам и эксплуатационникам. [c.9]

Основная часть математического аппарата динамики процессов заключается в решении систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому исследования в этой области очень важны для инженера, занимающегося автоматическим управлением процессами. Основным введением в данную область, заслуживающим тщательного изучения, являются статьи Стоута и серии статей Стоута и Кохенбургера и Гибсона [c.148]

И еще одна цитата, хорошо передаюи1ая суть споров вокруг проблемы физической интерпретации математического аппарата квантовой механики. В лекции Современное состояние атомной физики , прочитанной в Гамбургском университете в фервале 1927 г. немецкий физик А. Зоммерфельд так характеризовал ситуацию в квантовой теории ...В трехмерном пространстве электрон нельзя локализовать. Это подчеркивает Гейзенберг, а Шредингер иллюстрирует это, размазывая заряд электрона в сплошную пространственную массу. Лично я не верю в этот размазанный, растекающийся электрон уже потому, что вне атома корпускулярно концентрированные электроны, обладающие большой скоростью, с несомненностью могут быть установлены экспериментом. С другой стороны, неоспоримый факт, что сплошные плотности Шредингера при расчете физических и химических действий атома оказывают неоценимую помощь и в этом смысле реальны в большей степени, нежели точечно локализованный электрон старой теории. Весьма возможно, что сплошную плотность заряда и связанный с нею сплошной ток заряда в теории Шредингера мы должны понимать статистически в смысле нескольких важных работ Борна... [c.33]

Квантовая механика — наука в высшей степени математизированная, поэтому для понимания дальнейшего материала книги необходимо, хотя бы в общих чертах, познакомиться с ее математическим аппаратом, чему и будет посвящен настоящий раздел. [c.37]